|
Вид ресурса
|
Число единиц ресурсов,
затрачиваемых на изготовление единицы продукции
|
Запас ресурса
|
|
Р1 Р1
|
Р2
|
|
|
S1
|
2
|
3
|
180
|
|
S2
|
4
|
1
|
240
|
|
S3
|
6
|
7
|
426
|
|
Прибыль,
получаемая от единицы продукции
|
16
|
12
|
|
Необходимо составить такой план
производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет
максимальной.
Решение:
Задача состоит в определении такого плана производства
продуктов Р1 и Р2, при котором прибыль от их реализации
будет максимальной.
Обозначим:
Запас ресурсов:
Обозначим х1 - количество продукта Р1, х2
- количество продукта Р2, f - запасы.
Значения х1 и х2 должны удовлетворять
ограничениям по использованию трёх видов ресурсов S1, S2,
S3.
Так, использование ресурса S1 будет описываться
формулой (2х1+3х2), где
х1 - условное количество ресурса S1 в х1
единицах продукта Р1;
3х2 - условное количество ресурса S1 в х2
единицах продукта Р2.
По условию, данная сумма не должна превышать 180 ед.
Т. е:
х1+3х2≤180
Использование ресурса S2 будет описываться формулой (4х1+х2),
где
х1 - условное количество ресурса S2 в х1
единицах продукта Р1;
3х2 - условное количество ресурса S2 в х2
единицах продукта Р2.
По условию, данная сумма не должна превышать 240 ед.
Т. е:
х1+х2≤240
Использование ресурса S3 будет описываться формулой (6х1+7х2),
где
х1 - условное количество ресурса S3 в х1
единицах продукта Р1;
7х2 - условное количество ресурса S3 в х2
единицах продукта Р2.
По условию, данная сумма не должна превышать 426 ед.
Т.е.:
х1+7х2≤426
По смыслу задачи, х1 и х2 должны быть
неотрицательными - х1≥0 и х2≥0
Составим целевую функцию. Прибыль х1 единиц продукта Р1
составит 16 ден. единиц, а прибыль х2 единиц продукта Р2
составит 12 ден. единиц.
Т.о., целевая функция, которую необходимо максимизировать
записывается в виде:
f = 16х1+12х2
Математически, задача сводится к определению таких значений х1
и х2, удовлетворяющих линейным ограничениям задачи, при которых
функция достигнет максимального значения.
Получаем экономико-математическую модель задачи:
f = 16х1+12х2
2х1+3х2≤180
х1+х2≤240
х1≥0 и х2≥0
экономический математический модель
Задание 2.
Теория массового обслуживания
Мастерская имеет п рабочих мест для
обслуживания клиентов. Поток заявок (клиентов) является простейшим потоком с
плотностью Я [заявки в час]. Среднее время обслуживания одного клиента Тоб
[час]. Клиент, заставший все рабочие места занятыми, становится в очередь
и может ждать неограниченное время, пока его не обслужат.
Параметры п, X, Тоб даны
для каждой задачи в табл.1. Предварительно определив тип системы массового
обслуживания и существование установившегося режима, требуется найти
вероятность наличия очереди роч и среднюю длину очереди Lm.
|
|
Таблица
|
|
|
№ варианта
|
п
|
λ
|
Тоб (час)
|
|
6
|
4
|
2
|
1,6
|
Решение:
. Определим величины
. Находим μ = 1/1,6 = 0,625 и ρ = 2/0,625 = 3,2
3. Если установившийся режим существует, определяем
величину ρ0 - вероятность того, что
все каналы являются свободными, по формуле:
ρ0 = 1/ (1+ρ/1i +ρ2/2i + … + ρn/n! + ρn+1/ (n! * (n-ρ))) =0,012
. Зная ρ0, находим остальные
характеристики системы по формулам:
ρоч = ρn+1/ (n! * (n-ρ)), Lоб=ρ, Lоч=ρn+1/ (n*n! (1-ρ/n) 2) *ρ0, Lсист=Lоч+ρ,
Тсист=1/λ*Lсист, Точ=1/λ*Lоч.
ρ0=3,25/ (8*
(4-3,2)) *0,012=0,63
Lоб=3,2, Lоч=3,25/ (4*8*
(1-3,2/4) 2) *0,012=3сист=3+3,2≈6 заявок
Тсист=1/2*6=3
Точ=1/2*3=1,5
Задачи 3.
Модели управления запасами
3.1
Бездефицитная простейшая модель
Выбрать исходные данные в
соответствии с полученным вариантом.
Найти: оптимальный размер
партии поставки, оптимальный интервал между поставками, число поставок, годовые
затраты, связанные с работой складской системы.
Годовая потребность комбината в
пиломатериалах составляет v м³, затраты на хранение 1 м
в год - s
ден. ед. Затраты подготовительно-заключительных операции, не зависящие
от величины поставляемой партии, связанные с каждой поставкой, равны К ден. ед.
Решение:
Определим оптимальный размер партии поставки (g*)
*=2√ (2Кv) /S=2√
(2*90*3000) /3=424 М3
Определим оптимальный интервал между поставками (τ*)
τ*= g*/V=2√
(2К) / (Sv)
= 2√2*90/3*3000=0,14 (года)
Определим число поставок (n*) в год
*= [v*Т/ g*] = [3000*1/424] = [7,075] =7
Определим среднегодовые затраты, связанные с заказом,
доставкой и хранение продукта (L*)
L*= (2√2КSv) *Т=*= (2√2*90*3*3000)
*1=1273 ден. ед.
Вывод: Оптимальный размер партии поставки составит 424 м3,
в год необходимо осуществлять 7 поставок. При этом среднегодовые расходы
составят 1273 ден. ед.
3.2
Статические детерминированные модели с дефицитом
Выбрать исходные данные в соответствии с полученным
вариантом.
Найти: оптимальную партию поставки, максимальную величину
задолженности спроса, интервал возобновления поставки, годовые издержки
функционирования системы.
Спрос на продукцию инструментального цеха
составляет v
единиц в год. Стоимость хранения составляет s ден. ед. за единицу в
год. Издержки размещения заказа равны К ден. ед.
Неудовлетворенные требования берутся на
учет. Удельные издержки дефицита составляют d ден. ед. за нехватку
единицы продукции в течении года.
|
В6
|
|
V
|
4200
|
|
S
|
512
|
|
К
|
4512
|
|
d
|
3400
|
Решение:
Определим оптимальный размер партии поставки (g*)
*=2√ (2Кv) /S*2√
(1+s/d) =2√ (2*4512*4200) /512*2√
(1+4512/3400) =272*1,5=408
γ*=s/d*2√
(2Кv) /S*2√
(1+s/d) =512/3400* (2√ (2*4512*4200) /512) *1/ (2√1+512/3400)
=40,7
Определим оптимальный интервал между поставками (τ*)
τ*= g*/V=2√ (2К)
/Sv*2√
(1+s/d) = 2√ (2*4512/512*4200) * (2√1+512/3400)
=0,068 (года) =18 дней
Определим среднегодовые затраты, связанные с заказом,
доставкой и хранение продукта (L*).
*=2√ (2КvS) *2√
(1+s/d) = 2√ (2*4512*512*4200) *1/ (2√1+512/3400)
=359028 ден. ед.
Вывод: Оптимальны размер партии поставки составит 408
ед., поставку необходимо осуществлять каждые 18 дней. При этом среднегодовые
расходы составят 359028 ден. ед.
Задание 4.
Корреляционно-регрессионный анализ
Выбрать исходные данные в соответствии с полученным
вариантом.
По выборочным данным исследовать зависимость между
показателями X,
Y и построить парную
линейную регрессионную модель, для чего:
· установить наличие связи
между исследуемыми показателями графическим методом (построить корреляционное
поле);
· для измерения
интенсивности связи между показателями вычислить коэффициент корреляции,
коэффициент детерминации;
· вычислить ошибки
коэффициента корреляции и параметров модели с заданной доверительной
вероятностью;
· оценить значимость
коэффициента регрессии модели по критерию Стьюдента;
· оценить адекватность
модели по критерию F - отношения;
· осуществить прогноз по
полученной регрессионной модели.
Провести анализ данных с помощью пакета Excel, проанализировать
полученные результаты.
|
Х
|
1,1
|
2,3
|
3,5
|
4,1
|
5,7
|
6,6
|
7,3
|
8,5
|
9,8
|
10,1
|
12,0
|
|
Y
|
21
|
26
|
30
|
31
|
39
|
54
|
51
|
63
|
65
|
72
|
78
|
Решение:
Для определения вида зависимости построим корреляционное поле
по имеющимся данным.
Расположение точек на корреляционном поле позволяет
предположить линейную связь между величиной располагаемого дохода и объёмом
частного потребления. Поэтому имеет смысл искать зависимость в виде линейной
функции: y=в0+в1х.
При использовании МНК минимизируется следующая функция 
i-в0+в1х1), т.е. сумма квадратов отклонений
эмпирических значений yi от
расчётных значений должно быть минимальным.
|
80
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
70
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
|
60
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
50
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
.
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
|
|
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
Рис.1. Корреляционное поле.
Согласно МНК для нашего примера воспользуемся следующими
формулами расчёта:
в0=
(
) / (11
в1=11
(
) /11 (
Для нахождения оценок параметров в0 и в1
составим рабочую таблицу, которая содержит исходные данные и промежуточные
результаты.
|
I
|
хi
|
уi
|
хi уi
|
хi 2
|
yi
2
|
(хi-<х>) 2
|
(уi
- <у>) 2
|
|
1
|
1,1
|
21
|
23,1
|
1,21
|
441
|
738,75
|
|
2
|
2,3
|
26
|
59,8
|
5,29
|
676
|
17,22
|
491,95
|
|
3
|
3,5
|
30
|
105
|
12,25
|
900
|
8,7
|
330,51
|
|
4
|
4,1
|
31
|
127,1
|
16,81
|
961
|
5,52
|
295,15
|
|
5
|
5,7
|
39
|
222,3
|
32,49
|
1521
|
0,56
|
84,27
|
|
6
|
6,6
|
54
|
356,4
|
43,56
|
2916
|
0,02
|
5,82
|
|
7
|
7,3
|
51
|
372,3
|
53,29
|
2601
|
0,72
|
7,95
|
|
8
|
8,5
|
63
|
535,5
|
72,25
|
3969
|
4,2
|
219,63
|
|
9
|
9,8
|
65
|
637
|
96,04
|
4225
|
11,22
|
282,91
|
|
10
|
10,1
|
72
|
727,2
|
102,01
|
13,32
|
567,39
|
|
11
|
12,0
|
78
|
936
|
144
|
6084
|
30,8
|
889,23
|
|
Сумма
|
71
|
530
|
4101,7
|
579,2
|
29478
|
120,9
|
3913,56
|
|
Среднее
|
6,45
|
48,18
|
372,88
|
52,65
|
2679,82
|
|
|
Согласно формулам имеем:
в0=
() / (11 = (530*579,2-71*4101,7) / (11*579,2-71*71) =11,844
в1=11
() /11 (
(11*4101,7-71*530) / (11*579,2-71*71) =5,630
Таким образом, регрессионная модель имеет вид: у=11,844+5,630х.
По регрессионному уравнению определим расчётные значения уi=11,844+5,630хi, а также остатки еi = уi - уi.
Значение запишем в рабочую таблицу:
|
i
|
хi
|
уi
|
уi
|
еi
|
еi2
|
|
1
|
1,1
|
21
|
18,04
|
-2,96
|
8,76
|
|
2
|
2,3
|
26
|
24,79
|
-1,21
|
1,46
|
|
3
|
3,5
|
30
|
31,55
|
-1,55
|
2,40
|
|
4
|
4,1
|
31
|
34,93
|
3,93
|
15,44
|
|
5
|
5,7
|
39
|
43,94
|
4,94
|
24,4
|
|
6
|
6,6
|
54
|
49,0
|
-5
|
|
7
|
7,3
|
51
|
52,94
|
1,94
|
3,76
|
|
8
|
8,5
|
63
|
59,7
|
-3,3
|
10,89
|
|
9
|
9,8
|
65
|
67,02
|
2,02
|
4,08
|
|
10
|
10,1
|
72
|
68,71
|
-3,29
|
10,82
|
|
11
|
12,0
|
78
|
79,4
|
1,4
|
1,96
|
|
Сумма
|
71
|
530
|
|
|
108,97
|
|
Среднее
|
6,45
|
48,18
|
|
|
|
Для анализа силы линейной зависимости прибыли от объема
производства найдем коэффициент корреляции по формуле:
Rxy=
=
= 0,9861
Данное значение коэффициента корреляции позволяет сделать выводы о
сильной линейной зависимости между величиной располагаемого дохода и объемом
частного потребления.
Коэффициент детерминации в нашем случае рассчитывается по формуле:
R2=1-
=0,97
Проверим гипотезу о статистической значимости коэффициента
корреляции на основе критерия Стьюдента.
Тнабл = 
=0,9861*√ (11-2) /√ (1-0,9861) =25,07
Определим критическое значение tкр при числе степеней
свободы n-2=9 и уровень значимости α=0,05, tкр=tα,n-2=t0,05, 9=2,26
Так как Т=25,07>tкр=2,26, то гипотеза о равенстве нулю
коэффициента детерминации должна быть отвергнута.
Проверим адекватность модели на основе критерия Фишера.
F=
Определим критическое значение FКР при числе степеней
свободы n-2=9 и уровень значимости α=0,05. FКР= Fα,n-2= F0,05, 9=5,12. Так как
F=312,3> FКР=5,12, то модель адекватна.
Стандартная ошибка регрессии характеризует уровень необъяснённой
дисперсии для однофакторной линейной регрессии (m=1) рассчитывается по формуле:
S=
3,480
Стандартная ошибка параметра в1
уравнения регрессии находится по формуле:
Sв1=
=
=
=
=0,3164
Стандартная ошибка параметра в0 определяется:
Sв0=
=
=
=
=2,2957
На основе стандартных ошибок параметров регрессии проверим
значимость каждого коэффициента регрессии путем расчета t-статистик и их
сравнении с критическим значением при уровне значимости α=0.05 и числом степеней свободы (11-m-1) =9,
tкр=tα/2, 10-1-1=t0,025, 9=2,31
tв1=
=
=17,79
tв0=
=
=5,2
Поскольку | tв1|=17,79>2,31, подтверждается
статистическая значимость коэффициента регрессии в1.
Поскольку | tв0|=5,2>2,31, подтверждается
статистическая значимость коэффициента регрессии в0.
Так как все характеристики модели удовлетворительные, то для
прогноза может быть использовано следующее уравнение:
у=11,844+5,630х
Например, если х=17
у=11,844+5,630*17=107,554