Взаимосвязи экономических переменных

Взаимосвязи экономических переменных

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

Рубцовский индустриальный институт (филиал) ГОУ ВПО «Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова»

Факультет заочной формы обучения

Кафедра финансы и кредит

Курсовая работа по дисциплине «Эконометрика»

Вариант №3

Выполнил: ст. гр.ФиК-83з(с)

Кривич С.С.

Проверила: Рассказова

Наталья Владимировна

г. Рубцовск 2009 г.

Задание для расчетной работы

Вариант 4.

Исследуется зависимость себестоимости 1 т литья У (руб.) от брака литья Х (т) по 11 литейным цехам заводов:

1. Линейная модель регрессии

В общем виде теоретическая линейная регрессионная модель:

модель регрессия гиперболическая параболическая

Для определения значений теоретических коэффициентов регрессии необходимо знать и использовать все значения переменных х и у генеральной совокупности, что практически невозможно. Следовательно, по выборке ограниченного объема нужно построить так называемое эмпирическое уравнение регрессии

а, b - оценки неизвестных параметров и , называемые эмпирическими коэффициентами регрессии

Следовательно, в конкретном случае

,

где ei - оценка теоретически случайного отклонения

Задача состоит в том, чтобы по конкретной выборке найти оценки а и b неизвестных параметров и . Применим метод наименьших квадратов:

При использовании МНК минимизируется следующая функция

Необходимым условием существования минимума функции Z в точке а и b является равенство нулю частных производных по неизвестным параметрам а и b.

система нормальных уравнений

по полученным формулам будем определять параметры а и b линейной регрессионной модели.

Модель примет вид:

 , .

На основании полученных формул построим линейную модель регрессии для нашей выборки, т.е. исследуем линейную зависимость себестоимости 1 т литья У (руб.) от брака литья Х (т) по 10 литейным цехам заводов.

Результаты вспомогательных расчетов для построения линейной модели регрессии и характеристики качества модели представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Расчетные данные

Примечание: в Excel среднее значение рассчитано с помощью функции «СРЗНАЧ», сумма квадратов - функции «СУММКВ», сумма - функции «СУММ», модуль - функции «ABS».

1. Определим параметры а и b линейной регрессионной модели

Линейная регрессионная модель имеет вид:

 = 126,919 + 16,958 x

Коэффициент b в модели показывает на какую величину изменится у, т.е. себестоимость 1 т литья (руб), если х - брак литья (т) изменится на единицу.

Свободный член а уравнения регрессии определяет прогнозируемое значение у - себестоимости 1 т литья при величине х = 0, т.е. при условии отсутствия брака. В нашем случае а = 126,919 говорит о том, что при отсутствии брака себестоимость 1 т литья составит в среднем 126,919 руб.

Таким образом, зависимость себестоимости 1 т литья у(руб.) от брака литья х (т) по 10 литейным цехам заводов можно представить в виде:  = 126,919 + 16,958 x

. Определим коэффициент корреляции х и у для описания связи между случайными величинами х и у

В Excel коэффициент корреляции х и у можно также определить с помощью функции «КОРРЕЛ», обозначив диапазон данных х и у.

Полученный коэффициент корреляции достаточно близок к 1, что свидетельствует о сильной линейной связи между х и у.

Однако коэффициент корреляции rxy определялся по данным случайной выборки, поэтому он может отличаться от истинного коэффициента корреляции , который соответствует генеральной совокупности. Необходимо проверить значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого используем так называемую нулевую гипотезу Н0. Эта гипотеза подлежит проверке. На ряду с нулевой рассмотрим гипотезу Н1, которая принимается, если отклоняется Н0. Сущность проверки гипотезы заключается в том, чтобы установить согласуются или нет данные наблюдений и выдвинутая гипотеза. При проверке гипотезы выборочные данные могут противоречить гипотезе Н0, тогда она отклоняется. Если же статистические данные согласуются с выдвинутой гипотезой, то она не отклоняется.

Проверка значимости осуществляется по критерию Стьюдента.

Определим расчетное значение:

, где N, равное 10, число наблюдений

По таблице распределения Стьюдента определим теоретическое значение

, где , число степеней свободы ()

, заданный уровень значимости (95%)

|3,367| > 2,306, т.е.

Это свидетельствует о том, что гипотеза Н0 отклоняется в пользу гипотезы Н1. Таким образом, делаем вывод - выборочный коэффициент корреляции значим. Это в свою очередь свидетельствует о статистически значимой связи между себестоимостью 1 т литья (у) и брака литья (х).

. Проверим значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента

Значимость оцененных коэффициентов регрессии а и b проверяется с помощью анализа отношения величины этих коэффициентов к их стандартной ошибке, т.е. рассчитывается t-статистика коэффициентов а и b.

Рассчитаем t-статистику для коэффициента b по формуле:

Стандартную ошибку коэффициента регрессии b рассчитаем по формуле:

, где

 - стандартная ошибка регрессии определяется:

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 1) в формулы:

Рассчитаем t-статистику для коэффициента а по формуле:

Стандартную ошибку коэффициента регрессии а найдем по формуле:

, следовательно |tрасч| > tтеор, что свидетельствует о значимости коэффициентов а и b при уровне значимости 0,05.

. Определим автокорреляцию остатков по критерию Дарбина-Уотсона

Автокорреляция остатков EI является наиболее значимой оценкой, используемой при выборе уравнения регрессии. Если последовательные значения EI коррелируют между собой, то это означает, что имеет место стандартная ошибка вызванная неправильным выбором вида уравнения регрессии.

Определим значение критерия d по формуле:

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 1) в формулу:

По таблице Дарбина-Уотсона определим критические границы d1 и d2 при N=10 и m =1:

d1 = 0,879; d2 = 1,32

<d<4-d2, 1,32<1,384<2,68, следовательно автокорреляция остатков отсутствует.

. Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации в процентах

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 1) в формулу:

,  > 8-10%, следовательно модель неприемлема для прогнозирования, что можно объяснить малым числом наблюдений (N=10). Для того чтобы модель можно было использовать для прогнозирования достаточно увеличить число наблюдений с 10 до 16, тогда <10 %.

Выводы по модели:

Модель достаточно хорошо отражает зависимость между себестоимостью 1 т литья У (руб.) от брака литья Х (т), т.к. автокорреляция остатков отсутствует, коэффициенты значимы, связь сильная, но модель неприемлема для прогнозирования.

. Гиперболическая модель регрессии

Гиперболическая зависимость имеет вид:  

Параметры а и b находятся также как при линейной зависимости (по МНК), но для уравнения , где

Результаты вспомогательных расчетов для построения гиперболической модели регрессии и характеристики качества модели представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Расчетные данные

1.  Определим параметры а и b линейной регрессионной модели

Уравнение регрессии имеет вид:

 или  

Таким образом, зависимость себестоимости 1 т литья у (руб.) от брака литья х (т) по 10 литейным цехам заводов можно представить в виде:

. Проверим значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента

При нелинейной зависимости значимость коэффициентов проверяется также как и при линейной зависимости, но для уравнения приведенного к линейному виду, т.е. для уравнения.

Рассчитаем t-статистику для коэффициента b по формуле:

Стандартную ошибку коэффициента регрессии b рассчитаем по формуле:

, где

 - стандартная ошибка регрессии определяется:

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 2) в формулы:

Рассчитаем t-статистику для коэффициента а по формуле:

Стандартную ошибку коэффициента регрессии а найдем по формуле:

, следовательно |tрасч| > tтеор, что свидетельствует о значимости коэффициентов а и b при уровне значимости 0,05.

. Найдем корреляционное отношение, с помощью которого при нелинейной зависимости определяется теснота связи между двумя случайными величинами х и у.

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 2) в формулу:

Величина корреляционного отношения достаточно близка к 1, что свидетельствует о тесной связи между х и у, т.е. между себестоимостью 1 т литья (у) в руб. и брака литья (х) в т.

. Определим автокорреляцию остатков по критерию Дарбина-Уотсона

Определим значение критерия d по формуле:

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 2) в формулу:

По таблице Дарбина-Уотсона определим критические границы d1 и d2 при N=10 и m =1:= 0,879; d2 = 1,32<d<4-d2, 1,32<2,376<2,68, следовательно автокорреляция остатков отсутствует.

. Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации в процентах

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 2) в формулу:

,  > 8-10%, следовательно модель неприемлема для прогнозирования, что можно объяснить малым числом наблюдений (N=10).

Выводы по модели:

Модель достаточно хорошо отражает зависимость между себестоимостью 1 т литья У (руб.) от брака литья Х (т), т.к. автокорреляция остатков отсутствует, коэффициенты значимы, связь сильная, но модель неприемлема для прогнозирования.

3. Логарифмическая модель регрессии

Логарифмическая зависимость имеет вид:

Параметры а и b находятся также как при линейной зависимости (по МНК), но для уравнения , где

Результаты вспомогательных расчетов для построения логарифмической модели регрессии и характеристики качества модели представлены в таблице 3.

Таблица 3.

Расчетные данные

. Определим параметры а и b линейной регрессионной модели

Уравнение регрессии имеет вид:

 или   

Таким образом, зависимость себестоимости 1 т литья у (руб.) от брака литья х (т) по 10 литейным цехам заводов можно представить в виде:

. Проверим значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента

Значимость коэффициентов будем проверять для уравнения приведенного к линейному виду, т.е. для уравнения.

Рассчитаем t-статистику для коэффициента b по формуле:

Стандартную ошибку коэффициента регрессии b рассчитаем по формуле:

, где

 - стандартная ошибка регрессии определяется по формуле:

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 3) в формулы:

Рассчитаем t-статистику для коэффициента а по формуле:

Стандартную ошибку коэффициента регрессии а рассчитаем по формуле:

, следовательно |tрасч| > tтеор, что свидетельствует о значимости коэффициентов а и b при уровне значимости 0,05.

. Найдем корреляционное отношение, с помощью которого при нелинейной зависимости определяется теснота связи между двумя случайными величинами х и у.

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 3) в формулу:

Величина корреляционного отношения достаточно близка к 1, что свидетельствует о сильной связи между х и у, т.е. между себестоимостью 1 т литья (у) в руб. и брака литья (х) в т.

. Определим автокорреляцию остатков по критерию Дарбина-Уотсона

Определим значение критерия d по формуле:

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 3) в формулу:

По таблице Дарбина-Уотсона определим критические границы d1 и d2 при N=10 и m =1:

= 0,879; d2 = 1,32<d<4-d2, 1,32<2,07<2,68, следовательно автокорреляция остатков отсутствует.

. Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации в процентах

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 3) в формулу:

,  > 8-10%, следовательно модель неприемлема для прогнозирования, что можно объяснить малым числом наблюдений (N=10). Для того чтобы модель можно было использовать для прогнозирования достаточно увеличить число наблюдений с 10 до 15-16, тогда <10 %.

Выводы по модели:

Модель достаточно хорошо отражает зависимость между себестоимостью 1 т литья У (руб.) от брака литья Х (т), т.к. автокорреляция остатков отсутствует, коэффициенты значимы, связь сильная, но модель неприемлема для прогнозирования.

4. Степенная регрессионная модель

Степенная зависимость имеет вид:

Параметры а и b находятся также как при линейной зависимости (по МНК), но для уравнения , где , ,

1.  Определим параметры а* и b линейной регрессионной модели

Уравнение регрессии имеет вид:

Для того чтобы представить зависимость в виде степенной необходимо посчитать а:

, ,

В Excel коэффициент а можно также определить с помощью функции «EXP», выделив ячейку со значением а*.

В результате степенная зависимость имеет вид:

Таким образом, зависимость себестоимости 1 т литья у (руб.) от брака литья х (т) по 10 литейным цехам заводов можно представить в виде:

. Проверим значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента

Значимость коэффициентов будем проверять для уравнения приведенного к линейному виду, т.е. для уравнения.

Рассчитаем t-статистику для коэффициента b по формуле:

Стандартную ошибку коэффициента регрессии b рассчитаем по формуле:

, где

 - стандартная ошибка регрессии определяется по формуле:

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 4) в формулы:

Рассчитаем t-статистику для коэффициента а по формуле:

Стандартную ошибку коэффициента регрессии а рассчитаем по формуле:

, следовательно |tрасч| > tтеор, что свидетельствует о значимости коэффициентов а и b при уровне значимости 0,05.

. Найдем корреляционное отношение, с помощью которого при нелинейной зависимости определяется теснота связи между двумя случайными величинами х и у.

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 4) в формулу:

Величина корреляционного отношения достаточно близка к 1, что свидетельствует о сильной связи между х и у, т.е. между себестоимостью 1 т литья (у) в руб. и брака литья (х) в т.

. Определим автокорреляцию остатков по критерию Дарбина-Уотсона

Определим значение критерия d по формуле:

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 4) в формулу:

По таблице Дарбина-Уотсона определим критические границы d1 и d2 при N=10 и m =1:= 0,879; d2 = 1,32<d<4-d2, 1,32<1,816<2,68, следовательно автокорреляция остатков отсутствует.

. Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации в процентах

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 4) в формулу:

,  > 8-10%, следовательно модель неприемлема для прогнозирования, что можно объяснить малым числом наблюдений (N=10). Для того чтобы модель можно было использовать для прогнозирования достаточно увеличить число наблюдений с 10 до 15, тогда <10 %.

Выводы по модели:

Модель достаточно хорошо отражает зависимость между себестоимостью 1 т литья У (руб.) от брака литья Х (т), т.к. автокорреляция остатков отсутствует, коэффициенты значимы, связь сильная, но модель неприемлема для прогнозирования.

. Параболическая модель регрессии

Параболическая зависимость имеет вид:

Результаты вспомогательных расчетов для построения параболической модели регрессии и характеристики качества модели представлены в таблице 5.

Таблица 5.

Расчетные данные

. Определим параметры а, b, с параболической модели

В Еxcel для того чтобы посчитать определитель необходимо воспользоваться функцией «МОПРЕД».

, ,

Таким образом, зависимость себестоимости 1 т литья у (руб.) от брака литья х (т) по 10 литейным цехам заводов можно представить в виде параболической зависимости:

. Проверим значимость коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента

Как и в случае парной регрессии значимость коэффициентов множественной линейной регрессии с m объясняющими переменными проверяется на основе t-статистики.

, где

стандартное отклонение ,

стандартная ошибка регрессии , m - количество объясняющих переменных модели

Построим матрицу

Транспонируем полученную матрицу (в Excel с помощью функции «ТРАНСП»):

Определим произведение двух построенных выше матриц (в Excel с помощью функции «МУМНОЖ»):

Найдем обратную матрицу к данной и получим матрицу с (в Excel с помощью функции «МОБР»):

Определим стандартную ошибку регрессии по формуле:

, где m = 2

Определим стандартные отклонения по формуле:

,

Определим расчетные значения для коэффициентов множественной регрессии:

По таблице распределения Стьюдента определим tтеор:

|tрасч| < tтеор, следовательно, коэффициенты а, с и b незначимы при уровне значимости 0,05.

. Найдем корреляционное отношение, с помощью которого при нелинейной зависимости определяется теснота связи между двумя случайными величинами х и у.

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 5) в формулу:

Величина корреляционного отношения достаточно близка к 1, что свидетельствует о сильной связи между х и у, т.е. между себестоимостью 1 т литья (у) в руб. и брака литья (х) в т.

. Определим автокорреляцию остатков по критерию Дарбина-Уотсона

Определим значение критерия d по формуле:

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 5) в формулу:

По таблице Дарбина-Уотсона определим критические границы d1 и d2 при N = 10 и m = 2:

=0,697; d2 = 1,641

. Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации в процентах

Подставим результаты предварительных расчетов (см. табл. 5) в формулу:

,  > 8-10%, следовательно модель неприемлема для прогнозирования, что можно объяснить малым числом наблюдений (N=10). Для того чтобы модель можно было использовать для прогнозирования достаточно увеличить число наблюдений с 10 до 15, тогда <10 %.

Выводы по модели:

Автокорреляция остатков отсутствует, связь сильная, но коэффициенты незначимы и модель неприемлема для прогнозирования. Таким образом, модель недостаточно отражает зависимость между себестоимостью 1 т литья У (руб.) от брака литья Х (т). Возможно, необходимо расширить перечень наблюдений или рассмотреть другую выборку из генеральной совокупности.

Спецификация модели

Для того чтобы выбрать зависимость, которая бы наилучшим образом соответствовала реально существующей зависимости между себестоимостью 1 т литья У (руб.) от брака литья Х (т) по 10 литейным цехам заводов необходимо проанализировать данные, представленные в сводной таблице 6.

Сводная таблица 6.

Теснота связи между у и х               rxy=0,776            

Средняя относительная ошибка аппроксимации, в %          

неприемлема

неприемлема

неприемлема

неприемлема

При спецификации модели в первую очередь исключаются модели, в которых имеет место автокорреляция остатков и параметры регрессии незначимы. Автокорреляция остатков отсутствует у всех моделей. Параметры всех построенных регрессий, кроме параболической, значимы. Таким образом, параболическая модель не может быть моделью наилучшим образом отражающей зависимость между х и у - ее из дальнейшего рассмотрения исключаем.

Затем необходимо из числа оставшихся зависимостей выбрать зависимость, имеющую наибольшее значение корреляционного отношения или коэффициент корреляции. Среди наших моделей примерно одинаковая теснота связи между х и у существует в линейной (rxy=0,776) и степенной () моделях.

В подобной ситуации предпочтение отдают той модели, ошибка аппроксимации которой меньше. Но линейная модель является своего рода исключением, т.к. ей отдается предпочтение независимо от величины ошибки аппроксимации. К тому же стоит отметить, что в построенных линейной и степенной моделях значения ошибки аппроксимации достаточно близки (линейная: ; степенная: ). Таким образом, несмотря на то что степенная модель достаточно хорошо отражает зависимость между х и у, предпочтение отдаем линейной модели.

Итак, из всех моделей наилучшим образом отражает реально существующую зависимость между себестоимостью 1 т литья У (руб.) от брака литья Х (т) по 10 литейным цехам заводов - линейная модель. Автокорреляция остатков в данной модели отсутствует, коэффициенты значимы, связь между х и у сильная, но модель неприемлема для прогнозирования. При этом ошибка аппроксимации данной модели достаточно близка к критическому значению - 10 %, поэтому для того чтобы устранить данный недостаток и сделать модель приемлемой для прогнозирования достаточно добавить несколько наблюдений.