Операции комбинаторики

Операции комбинаторики

1. Из пяти карточек с буквами М, Е, Т, К, А выбирают одна за другой четыре карточки. Найти вероятность, того что получится слово КЕТА

Решение

Пусть событие - из выбранных одна за другой карточек, получилось слово КЕТА. Число всевозможных слов равно числу размещений из 5 букв по 4 буквы (порядок букв важен) . Слово КЕТА может появиться только один раз: одна буква К, одна буква Е, одна Т и одна А. Тогда по правилу умножения, получим, что число благоприятных исходов равно 1. Тогда по определению вероятности:

2. Студент выучил 35 и 40 экзаменационных билетов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он отвечал билет вторым

Решение

Поскольку студент отвечал вторым, то количество билетов которые он знал, могло измениться. Выдвинем гипотезы:

-первый студент вытянул билет, который знал наш студент;

- первый студент вытянул билет, который не знал наш студент.

Вероятности гипотез равны

Пусть событие  наш студент сдал экзамен.

Если первый студент выбрал билет, который знал наш студент, то билетов станет 39, из них наш студент знал 34, тогда  Если же первый студент выбрал билет, который не знал наш студент, то билетов станет 39, из них наш студент знал 35, тогда

По формуле полной вероятности получим:

3. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продается по первоначальной заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначальной заявленной цене будут проданы: а) хотя бы 2 пакета; б) 4 пакета

Решение

Условие задачи можно рассматривать как эксперимент, в котором 2 исхода:  пакет акций продан по первоначальной заявленной цене;  пакет акций продан не по первоначальной заявленной цене. Тогда . Эксперимент состоит из n=9 независимых повторений. Такой эксперимент называется схемой Бернулли из 9 опытов. Пусть  случайное число пакетов проданных по первоначальной заявленной цене. Применим формулу Бернулли:

а) «Хотя бы 2 пакета» означает, что продано либо 2, либо больше. Тогда искомая вероятность равна

Таким образом,

б) Применим формулу Бернулли

4. В коробке 4 белых и 6 черных шаров. Наудачу извлекли три шара. Составить закон распределения случайной величины Х - числа белых шаров среди извлеченных. Найти числовые характеристики

комбинаторика вероятность распределение случайный

Решение

Случайная величина  может принимать значения 0,1,2 или 3. Найдем соответствующие им вероятности , для этого воспользуемся правилом умножения вероятностей. Всего шаров 10, следовательно, число всевозможных способов извлечь три шара из 10 равно

Извлечь 0 белых означает, что все три извлеченных шара черных. Число все возможных способов извлечь 3 черных из 6 равно: . По определению вероятности получим:

Извлечь 1 белый означает, что два извлеченных шара черных, а один белый. Число все возможных способов извлечь 2 черных из 6 равно: , а извлечь один белый из 4 равно . По определению вероятности получим:

Извлечь 2 белых означает, что один извлеченный шар черный, а два белых. Число все возможных способов извлечь 1 черный из 6 равно: , а извлечь два белых из 4 равно . По определению вероятности получим:

Извлечь 3 белых означает, что все три извлеченных шара белые. Число все возможных способов извлечь 3 белых из 4 равно: . По определению вероятности получим:

Таким образом, закон распределения случайной величины  имеет вид:

Функция распределения случайной величины :

если

если

если

если

Найдем математическое ожидание полученной величины:

 дисперсию и среднеквадратическое отклонение:

5. Для исследования потока заявок на производимую продукцию на предприятии измерили интервалы между 100 последовательно поступившими заявками. Результаты сведены в таблицу

На уровне значимости  проверить гипотезу о том, что интервалы между последовательно поступившими заявками можно описать нормальным распределением.

Решение

1. Перейдем от заданного интервального распределения к распределению равностоящих вариант, приняв в качестве варианты  среднее арифметическое концов интервала. Заметим, что в последних двух интервалах количество наблюдений меньше 5, объединим их. Получим распределение:

2. Вычислим выборочную среднюю  и выборочное среднеквадратическое отклонение :

3. Найдем интервалы  учитывая полученные значения и формулу . Для этого составим расчетную таблицу (левый конец первого интервала примем равным , а правый конец последнего интервала ):

4. Найдем теоретические вероятности  и теоретические частоты

, N=100:

. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:

а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу:

б) По таблице критических точек распределения Пирсона, по уровню значимости  и числу степеней свободы  (число интервалов) находим критическую точку

Так как  то гипотезу о нормальном распределении совокупности отвергаем.

6. Дана выборка двумерной случайной величины (n=20).

Требуется:

a)      Построить корреляционное поле.)      Вычислить выборочный коэффициент корреляции.

c)       Составить уравнение регрессии Y на X и построить линию регрессии

Решение

а) На плоскости отмечаем точки с координатами :

б) Вычисляем оценки числовых характеристик:

Тогда выборочный коэффициент корреляции

Следовательно,