Метод Милна
Метод Милна
Одним из наиболее простых и
практически удобных методов численного решения дифференциальных уравнений
является метод Милна. Метод Милна относится к многошаговым методам и
представляет один из методов прогноза и коррекции. Решение в следующей точке
находится в два этапа. На первом этапе осуществляется по специальной формуле
прогноз значения функции, а затем на втором этапе - коррекция полученного
значения. Если полученное значение у после коррекции существенно отличается от
спрогнозированного, то проводят еще один этап коррекции. Если опять имеет место
существенное отличие от предыдущего значения (т.е. от предыдущей коррекции), то
проводят еще одну коррекцию и т.д. Однако очень часто ограничиваются одним
этапом коррекции.
Пусть дано уравнение:
'= f (x, y) (1)
с начальным условием(x0)=y0 (2)
Выбрав, шаг h положим
xi=x0
+ ih, yi = y(xi), =f (x, y) (i = 0, 1, 2,
…).
Первые 4 значения
начального отрезка y0, y1, y2, y3 находим, применив метод Рунге-Кутта. Тем
самым будут известны y'i (i = 0, 1, 2, 3).
Дальнейшие значения yi =
y(xi) (i = 4, 5, 6, …) определяются по следующей схеме:
) вычисляем
первое приближение по формуле
(i = 4, 5, 6, …) (3)
) значение подставляем в (1) и
определяем
) находим второе
приближение по формуле
(i = 4, 5, 6, …) (4)
милн прогноз коррекция ошибка
Милн показал, что
абсолютная погрешность значения приближенно pавна:
(5)
Поэтому, если , где ε
- заданная предельная погрешность решения, то можно положить и
.
Далее переходим к
вычислению следующего значения , повторяя указанную
выше схему. В случае, если точность ε не
обеспечена, следует уменьшить шаг h и сделать пересчет.
Замечания:
Суммарная ошибка метода
Милна есть величина порядка Метод Милна не обладает
устойчивостью, поэтому его рекомендуют использовать, когда предполагаемое число
шагов не велико.
Дано уравнение с начальным условием . Найдем методом Милна
приближенное значение решения в точке с точностью до
Решение
Метод Милна имеет
глобальную ошибку , это значит, что взяв , получим погрешность
результата порядка , таким образом,
заданная точность практически достигается.
(из начального условия)
Значения найдем явным методом
Эйлера.
Найдем значения , и
Далее используем метод
Милна.
Проверка:
Будем заносить
результаты расчетов в таблицу
|
|
|
|
|
|
0
|
|
-
|
-
|
|
|
1
|
|
-
|
-
|
|
|
2
|
|
-
|
-
|
|
|
3
|
-
|
-
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
Проверка:
Проверка:
Проверка:
Проверка:
Проверка:
Проверка:
|
|
|
|
|
|
0
|
|
-
|
-
|
|
1
|
|
-
|
-
|
|
|
2
|
|
-
|
-
|
|
|
3
|
|
-
|
-
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
|
|
|
6
|
|
|
|
|
|
7
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
|
|
9
|
|
|
|
|
|
10
|
|
|
|
|
|
Напомним, что точное решение
заданного уравнения:
Найдем точное значение :
Заданная точность
достигнута.
Метод требует несколько
меньшего количества вычислений (например, достаточно только два раза вычислить
f (x, y), остальные запомнены с предыдущих этапов), но требует дополнительного
«расхода» памяти. Кроме этого, как уже указывалось выше, невозможно «запустить»
метод для этого необходимо предварительно получить одношаговыми методами первые
три точки.