Вирішення системи рівнянь, матриць
Завдання 1.
Розв'язати систему рівнянь методом Гауса і за формулами Крамера
Розв’язок:
а). За формулами Крамера:
Знайдемо визначники Δ , Δ
, Δ
, Δ
:
За формулами:
Відповідь: 
б). Методом Гауса:
Складемо розширену матрицю
системи:
Таким чином, початкова
система має бути зображена у вигляді:
Звідси отримаємо:
Відповідь:
Завдання 2. Знайти
власні значення і власні вектори матриці
Розв’язок:
І). Знайдемо власні числа з
характеристичного рівняння:
ІІ). Для кожного 
знайдемо
його власний вектор. Для цього запишемо однорідну систему рівнянь її спільне
рішення.
=> 
=>
=> 
=>
=> 
=>
=>
Завдання 3. І) Знайти
косинус кута між векторами 
Розв’язок:
= {(-4)-(-1),(-2)-(-2),5-1} =
{-3,0,4}
= {(-8)-(-1),(-2)-(-2),2-1} =
{-7,0,1}
Відповідь: 
ІІ) Обчислити об'єм тетраедра
з вершинами в точках A1, A2, A3, A4 і
його висоту, опущену із вершини A4 на грань A1, A2, A3.
Розв’язок:
. Із вершини A1 проведемо
вектори:
A1A2 =
{-2,1,3}, A1A3 =
{-2,-6,7}, A1A4 =
{5,1,11}.
. Обчислюємо змішаний
добуток:
(А1А2, А1А2, А1А4) = 
і знаходимо об'єм тетраедра
за формулою:
Vт. = 
(од.
довжини)³.
. Обчислюємо координати
векторного добутку:
{-11,-20,14}
та його модуль:
. Знаходимо висоту h по
формулі:
h = 
(од.
довжини).
Відповідь: h = 7
од. довжини.
Завдання 4. Прибуток від продажу
деякого товару в двох магазинах виражається функціями y=
-8 + 16x
і y
= - 10 +19x
, де x
- кількість товару
в сотнях штук, а y - прибуток
в тисячах гривень. Визначити, починаючи з якої кількості товару більш
вигідним
становиться продаж
у другому магазині
Розв’язок:
-10+19х >
-8+16х
х >
2
х >
0,667
Отже, при кількості більше 667 штук
в другому магазині прибуток більше.
Відповідь: Більш вигідним стає
продаж у другому магазині починаючи з 668 штук товару.
Завдання 5.
Подані координати вершин трикутника АВС: А (0,1,1), В (4,6,4), С (8,3,3)
Знайти: а) довжину та рівняння медіани АЕ; б)
довжину висоти АД; в) внутрішній кут
С у радіанах з точністю до 0,01; г) площу трикутника; д) рівняння прямої, яка
проходить
через т. Е паралельно прямій АВ.
Розв’язок:
Знайдемо координату точки Е:
Рівняння медіани знайдемо за
формулою:
- рівняння медіани АЕ
Довжина медіани АЕ знаходимо
за формулою:
Координати векторів 
і 
знаходимо
за формулами
СА = (0-8; 1-3; 1-3) = (-8;
-2; -2)
СВ = (4-8; 6-3; 4-3) = (-4;
3; 1)
Внутрішній кут С у радіанах
знаходимо за формулою:
Векторний добуток векторів і знаходимо
за формулою:
Знайдемо площу трикутника
АВС:
Довжина сторони СВ знаходимо
за формулою:
Знайдемо довжину висоти АD:
Знайдемо рівняння прямої, яка
проходить через точку Е (4, 2, 2) паралельно прямій сторони АВ.
Рівняння АВ знайдемо за
формулою:
- рівняння прямої АВ
Рівняння прямої, яка
проходить через точку Е паралельно прямій АВ знаходимо за формулою:
Завдання 6.
Обчислити границі
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
Рішення:
а). 
б). 
в). 
г). 
Завдання 7.
Продиференціювати вказані функції
а) 
; б) 
;
в) 
.
Розв’язок:
а). ;
Відповідь: 
в) .
;
;
;
.
Відповідь: 
Завдання 8.
Провести повне дослідження функції і побудувати її графік
Розв’язок:
.Область визначення 
. Область значення 
. Функція парна,
неперіодична.
. Точка перетину з віссю
оу:
х=0 ; у=1
(0; 1)
у=0 ; х - 1=0
х=1
(1; 0)
. Знайдемо критичні точки:
y`=0
Завдання 9.
Замінивши приріст функції диференціалом, знайти наближено такі значення: а). cos59º б).
Розв’язок:
а) Розглянемо функцію y=cosx
Значення cos59º
відносно мало відрізняється від cos60º.
Тому
.
Скористаємось формулою:
,
де : 
Отримаємо:
Відповідь: 
б).
Розглянемо функцію 
Візьмемо за 
Знайдемо похідну функції:
;
Відповідь: 
Завдання 10. Знайти найбільше та
найменше значення функції двох змінних: z = x2 + y2-xy-xy у замкнутім
трикутнику, обмеженому прямими x
=1, y=
0, x
+3y=
6.
Розв’язок:
. Знайдемо стаціонарні точки:
Отримаємо одну стаціонарну
точку А (1,1). (1; 1) =- 1.
. Знайдемо найбільше і
найменше значення функції, що складається з трьох ліній: x = 0, y = 0, x + y =
3
а) x = 0,, звідси z = y2-y, z
/ = 2y-1 = 0, y = 0,5. Точка B (0; 0,5) належить відрізку ОС. z (0; 0,5) =-
0,25.
б) y = 0,, z = x2-2x = 0, x =
0,5. Точка D (0,5; 0) належить відрізку ОК. z (0,5; 0) =- 0,25.
в) y = 3-x,, z = x2-(3-x) 2-x
(3-x)-x-(3-x) або z = 3x2-9x +6, z / = 6x-9, x = 1,5. Точка Е (1,5; 1,5) лежить
на відрізку КС. z (1,5; 1,5) =- 0,75.
Знайдемо значення функції в
точках перетину ліній.(0,0) = 0, z (3,0) = 6, z (0,3) = 6.
Виберемо найбільше і найменше
значення: zнайб = 6, zнайм =- 1 .
Відповідь: zнайб = 6, zнайм
=- 1
рівняння вектор
косинус функція
СПИСОК
ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Валєєв
К.Г.
Математичний
практикум: Навчальний посібник.
- К.: КНЕУ, 2004. - 682 с.
2. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие. -
М.: Изд-во МАИ,
2000. - 228 с.
3. Жлуктенко
В.І., Наконечний С.І. Теорія ймовірностей і математична статистика. /
Навчально-методичний
посібник в 2-х ч.: Ч.2.
Математична статистика. - К.: КНЕУ, 2000. - 336 с.
4. Кремер
Н.Ш. Высшая математики для экономистов: Учебник для вузов математика для
економістів - 2-е изд. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 471
с.
5. Чупілко
Т.А.,
Хрущ Я.В. Математика
для економістів. / Навчально-методичний посібник
в 2-х ч. Ч.І Вища
математика. - Дніпропетровськ: ДДФА, 2010.-
367 с.