Расчет характеристик сигналов и каналов связи
РАСЧЕТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ
ЗАПИСКА
К КУРСОВОМУ
ПРОЕКТУ
“Расчет характеристик сигналов и каналов
связи”
Реферат
Пояснительная записка содержит 30 листов печатного текста, 17
иллюстраций, 5 использованных источника.
Канал связи, практическая ширина спектра, интервал дискретизации, кодовый
сигнал, энергетический спектр, модулированный сигнал, автокорреляционная
функция.
В курсовой работе проведён расчёт основных характеристик трех сигналов;
расчёт интервала дискретизации и разрядности кода, автокорреляционной функции
(АКФ), энергетического спектра, мощности и вероятности ошибки при воздействии
«белого шума». Приведён канал связи на рис. 1.
Содержание
Введение 4
1 Расчёт
характеристик сигнала 7
1.1 Расчет
спектра сигнала 7
2 Расчёт
практической ширины спектра сигнала 13
2.1 Расчёт
полной энергии сигнала 13
2.2 Определение
практической ширины спектра сигнала 13
3 Расчёт
интервала дискретизации и разрядности кода 17
3. 1
Определение интервала дискретизации сигнала 17
3.2 Определение
разрядности кода 18
4 Расчёт
автокорреляционной функции кодового сигнала 22
5 Расчет
энергетического спектра кодового сигнала 25
6 Расчёт
спектральных характеристик модулированного сигнала 26
7 Согласование
источника информации с каналом связи 30
8 Расчёт
вероятности ошибки при воздействии «белого шума» 33
Заключение 34
Список
использованных источников 35
Введение
На современном этапе развития перед железнодорожным транспортом стоят
задачи по увеличению пропускной и провозной способности, грузовых и
пассажирских перевозок, уменьшению времени оборотов вагонов и повышению
производительности труда. Эти задачи решаются по двум основным направлениям:
техническим перевооружением транспортных средств и совершенствованием системы
управления перевозочным процессом.
Значительную роль в деле совершенствования системы управления
эксплуатационной работой железнодорожного транспорта играет развитие всех видов
связи, а также внедрение и поэтапное развитие комплексной автоматизированной
системы управления железнодорожным транспортом (АСУЖТ). Комплекс технических
средств АСУЖТ включает в себя вычислительные центры Министерства путей
сообщения, управлений дорог и отделений, связанные в единое целое сетью
передачи данных.
Совершенствование управления в условиях интенсификации производственных процессов
ведет к росту общего объема информации, передаваемой по каналам связи между
управляющими органами и управляемыми объектами.
Передача информации на железнодорожном транспорте ведется в условиях
воздействия сильных и разнообразных помех. Поэтому системы связи должны
обладать высокой помехоустойчивостью, что связано с безопасностью движения. К
системам связи предъявляют также требования высокой эффективности при
относительной простоте технической реализации и эксплуатации.
Проблема эффективности системы передачи информации состоит в том, чтобы
передать наибольшее или заданное количество информации (сообщений) наиболее
экономически выгодным образом (с точки зрения затрат энергии и полосы частот) в
заданное время. Перечисленные проблемы тесно связанны между собой.
Рассмотрим некоторые определения, необходимые нам в теории.
Информация - совокупность сведений о каком - либо предмете, явлении.
Сообщение - та же информация, выраженная в знаковой форме. Любая
система связи предназначена для передачи информации, которая должна иметь
некоторою неопределенность, иначе передавать ее не имело смысла.
Сигнал - материальный переносчик сообщений. Между сообщением и сигналом должна
быть жесткая функциональная связь.
Канал связи - набор технических средств для передачи сигналов. Разберем
его состав в общем виде. На рисунке показан канал для передачи непрерывных
сообщений.
Разберем назначение блоков приведенного канала связи.
П-1, П1 - преобразователи сообщения в сигнал и
наоборот - сигнала в сообщение .
Непрерывные сообщения можно передавать дискретными сигналами. Операция
преобразования непрерывного сообщения в дискретное называется дискретизацией.
Дискретизация осуществляется не только по времени, но и по уровням.
Дискретизация значений функции (уровня) носит название - квантования.
Кодер сообщения формирует первичный код, каждое сообщение из ансамбля
записывается им в форме двоичного представления. Декодер сообщения осуществляет
обратную задачу. Собственно, на этом этапе преобразований сигнал можно
передавать до потребителя, но в током виде он будет не защищен от помех, и
достоверность передачи будет низка. Поэтому далее идут преобразования,
направленные на повышения помехоустойчивости канала.
Кодер канала по первичному коду формирует помехоустойчивый код. Здесь в
код закладывается определенная избыточность, что позволяет в декодере канала
обнаружить, либо исправить ошибки, возникшие при передачи.
Модулятор определяет вид сигнала, передаваемого по линии связи.
Демодулятор выделяет принимаемый код по модулированному сигналу.
Линия связи - это материальная среда для передачи сигналов (кабель,
радио эфир). Именно здесь (в основном) к полезному сигналу добавляется
непрогнозируемые помехи. Строя модулятор, демодулятор (модем), необходимо
принять меры для борьбы с помехами.
Цифровой преобразователь (ЦАП) служит для восстановления сообщения.
Интерполятор позволяет по сигналу с ЦАП сформировать непрерывный сигнал.
Рисунок 1 - Схема канала связи
1.
Расчёт характеристик сигналов
1.1
Расчет спектров сигналов
Под
спектром непериодического сигнала понимают
функцию частоты , которую получают на основе прямого преобразования
Фурье вида:
(1.1)
Для
обратного преобразования используют формулу вида(1.2):
(1.2)
Модуль спектральной функции
(1.3)
называют
спектром сигнала или спектральной плотностью сигнала.
Аналитическая
запись задаваемых сигналов во временной области имеет вид:
.
(1.4)
где
В.
Данный
сигнал имеет вид, представленный на рис. 1.1, зависимость сведена в табл. 1.1.
. , (1.5)
где
В, с.
Данный
сигнал имеет вид, представленный на рис. 1.2, зависимость сведена в табл. 1.2.
. (1.6)
где
В, с.
Данный
сигнал имеет вид, представленный на рис. 1.3, зависимость сведена в табл. 1.3.
Запишем
спектральную плотность для каждого сигнала :
, (1.7)
, (1.8)
. (1.9)
Модули
спектральной плотности сигналов находятся по формуле (1.3) .
Графики
спектров сигналов , , представлены на рис 1.4, рис 1.5, рис 1.6
соответственно.
Фазa
спектральной плотности находятся следующим образом:
, 1.10)
Таблица
1.1 - Зависимость
t·10-3, c
|
-1
|
-0,6
|
-0,2
|
0
|
0,2
|
0,6
|
1
|
U1(t), В
|
-1,016∙ 10-6
|
3,697∙ 10-6
|
8,486∙ 10-6
|
0,06
|
8,486∙ 10-6
|
3,697∙ 10-6
|
-1,016∙ 10-6
|
Рисунок 1.1 -График сигнала 1
Таблица
1.2 - Зависимость
t·10-4, c
|
-6
|
-5
|
-4
|
-2
|
0
|
2
|
4
|
5
|
6
|
U2(t), В
|
0
|
0,03
|
0,03
|
0,03
|
0,03
|
0,03
|
0,03
|
0,03
|
0
|
Рисунок
1.2 -График сигнала 2
Таблица
1.3 - Зависимость
t∙10-5,c
|
0
|
2
|
4
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
U3(t), В
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
Рисунок
1.3 - График сигнала 3
Рисунок
1.4 - График спектра сигнала 1
Рисунок
1.5 - График спектра сигнала 2
Рисунок
1.6 - График спектра сигнала 3
Рисунок
1.7 - График фазы сигнала 3
2. Расчёт
практической ширины спектра сигнала
2.1
Расчёт полной энергии сигнала
Полная энергия сигнала рассчитывается по формуле:
(2.1)
Найдём
полную энергию для каждого из сигналов , , ,
используя формулы (2.1) и (1.3, 1.4, 1.5), расчет производим в среде MathCad:
В/c. (2.2)
В/c. (2.3)
2.2
Определение практической ширины спектра сигнала
Ограничение
практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты , по заданному энергетическому критерию осуществляется на основе неравенства:
, (2.5)
где
- энергия сигнала с ограниченным вверху спектром.
Значение
определяется на основе известной плотности:
, (2.6)
где
- искомое значение верхней граничной частоты сигнала.
Значение
определяется путём подбора при расчётах на ЭВМ
пользуясь формулами (2.6) и (2.5); и с учетом того, что (согласно заданию). спектр
сигнал связь кодовый
Найдём
и для
каждого из сигналов , , , учитывая (1.7), (1.8), (1.9), расчет производим в
среде MathCad:
В/c. (2.7)
рад/с.
В/c. (2.8)
рад/с.
В/c. (2.9)
рад/с.
Второй
сигнал имеет меньшую граничную частоту ,
следовательно, его и выбираем для дальнейшего анализа и расчёта.
Табличные
зависимости энергии сигналов от частоты приведены соответственно в табл. 2.1,
табл. 2.2, табл. 2.3.
Графики
зависимости энергии сигналов от частоты приведены соответственно на рис 2.1,
рис 2.2, рис 2.3.
Таблица
2.1 - Зависимость
ω·103, c-1
|
0
|
2
|
6
|
10
|
12
|
16
|
20
|
22
|
23
|
W(ω) ·10-8, Дж
|
0
|
4,27
|
12,83
|
21,38
|
25,66
|
34,21
|
42,76
|
47,03
|
49,17
|
Таблица
2.2 - Зависимость
ω·103 c-1
|
0
|
2
|
6
|
10
|
14
|
16
|
18
|
22
|
24
|
W(ω) ·10-7 Дж
|
0
|
5,141
|
8,125
|
8,448
|
8,563
|
8,646
|
8,696
|
8,771
|
8,774
|
Рисунок
2.1 - График зависимости энергии сигнала 1 от частоты
Рисунок
2.2 - График зависимости энергии сигнала 2 от частоты
Таблица
2.3 - Зависимость
ω·103, c-1
|
0
|
10
|
20
|
40
|
60
|
80
|
100
|
200
|
250
|
300
|
W(ω) ·10-5, Дж
|
0
|
1,715
|
3,256
|
5,134
|
6,025
|
6,350
|
6,543
|
6,729
|
6,972
|
7,032
|
7,104
|
Рисунок
2.3 - График зависимости энергии сигнала 3 от частоты
3.
Расчёт интервала дискретизации и разрядности кода
3. 1
Определение интервала дискретизации сигнала
Интервал
дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе
теоремы Котельникова по неравенству:
(3.1)
где
- верхнее значение частоты спектра сигнала,
определяемое в соответствии с разделом 2.2.
кГц.
с.
Зависимость
данного сигнала от времени приведена в табл. 3.1.
График
дискретизированного во времени сигнала рис 3.1.
Таблица 3.1 - Зависимость сигнала от времени
t·10-4, c
|
-6
|
-5
|
-4
|
-2
|
0
|
2
|
4
|
5
|
6
|
U2(t), В
|
0
|
0,03
|
0,03
|
0,03
|
0,03
|
0,03
|
0,03
|
0,03
|
0
|
Рис.3.1
- График дискретизированного во времени сигнала
3.2
Определение разрядности кода
Разрядность
кодов определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню
импульсных отсчётов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона
принимается напряжение самого большого по амплитуде
отсчёта. Нижняя граница диапазона
, (3.2)
где
(согласно заданию).
В.
Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета задается соотношение
мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:
(3.3)
где:
PШ.КВ - мощность шумов квантования при размерной шкале
квантования, Вт.
Известно, что:
(3.4)
где:
D - шаг шкалы квантования.
В свою очередь:
(3.5)
где: D - шаг шкалы
квантования;КВ - число уровней квантования;MAX -
верхняя граница динамического диапазона, В.
С учетом этого:
(3.6)
где: nКВ - число уровней квантования;MIN -
нижняя граница динамического диапазона, В;MAX - верхняя граница
динамического диапазона, В.
Из (3.6) получаем:
(3.7)
где: nКВ - число уровней квантования;MIN -
нижняя граница динамического диапазона, В;MAX - верхняя граница
динамического диапазона, В.
Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых
комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется выражением:
(3.8)
где: m - разрядность кодовых комбинаций.
Отсюда:
. (3.9)
Длительность элементарного кодового импульса определяется исходя из
интервала дискретизации и разрядности кода по выражению
Подставив
в (3.7) значения g=20, UMAX =0,03 В, UMIN =1∙10-3B.
Получим:
.
Затем
по (3.5) найдем шаг шкалы квантовании:
.
Найдём
мощности шумов квантования по (3.4):
Вт.
Найдём
по (3.9) разрядность кодовых комбинаций:
.
Найдем
длительность элементарного кодового импульса по (3.10):
с.
На основании полученного значения разрядности кода и интервала
дискретизации выберем АЦП. Полученным значениям удовлетворяет микросхема
К1107ПВ1. Характеристики микросхемы приведены в таблице 3.2
Таблица 3.2 - Технические характеристики АЦП
Серия
|
Разрядность выхода
|
Тип логики
|
Уровень 1, В
|
Уровень 0, В
|
Fт, tпреобраз.
|
К1107ПВ1
|
6
|
ТТЛ
|
³ 2.4
|
£ 0.4
|
6.5 МГц
|
4.
Расчёт автокорреляционной функции кодового сигнала
Расчет автокорреляционной функции АКФ кодового сигнала зависит от
возможностей применяемых в каналах связи микросхем. Кодовый сигнал
представляется последовательностью “0” и “1”. Эти два значения могут
передаваться двумя способами.
Рисунок 4.1 - Способы образования кодовой последовательности
Последовательность кодов с АЦП имеет вид 101000101000101000101000
Длительность импульса элементарной посылки 8 мкс.
Расчет автокорреляционной функции дал следующие результаты (см. таблицу
1.8)
Таблица 4.1 - АКФ кодового сигнала
t, мкс
|
0
|
183
|
366
|
549
|
corr
|
1
|
-0,5
|
0,25
|
-0,5
|
Для выяснения статистических связей вполне достаточно взять 6 значений
векторов t и corr.
В среде МС по таблице 4.1 сформируем два вектора Vt и Vk:
С помощью функции cspline(Vt, Vk) вычислим вектор VS вторых
производных при приближении к кубическому полиному:
VS = cspline (Vt, Vk)
Далее вычисляем функцию аппроксимирующую АКФ сплайн кубическим полиномом:
kor(t) = interp (VS, Vt, Vk, t)
Если необходимо произвести кусочную аппроксимацию отрезками прямых, что
дает уже ранее примененную функцию corr(t), можно воспользоваться еще одной встроенной функцией МС, а
именно linterp(Vt, Vk, t):
korl (t): = linterp (Vt, Vk, t)
На рисунке 4.2 приведены обе рассчитанные зависимости, сравнивая ход
кривых, можно сделать вывод о степени приближения кубического сплайн - полинома
и расчетных значений.
Рис.
4.2 - График автокорреляционной функции
5. Расчет
энергетического спектра кодового сигнала
Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании
интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной
переменной оно имеет следующий вид:
. (5.1)
Здесь K(t) выше
рассчитанная нормированная функция kor(t), верхний предел T - последнее рассчитанное значение t.
Спектральную характеристику необходимо получить в диапазоне частот,
дающем полное представление о его закономерностях.
Решение интеграла производится в среде МС.
График энергетического спектра кодового сигнала приведен на рисунке 5.1.
Таблица
5.1 - Зависимость
ω·107, c-1
|
0
|
0,09
|
0,18
|
0,36
|
0,54
|
0,72
|
1,08
|
1,17
|
1,26
|
1,35
|
G(w)·10-6, В/Гц
|
2,45
|
1,88
|
0,65
|
-0.03
|
-0,02
|
-0,01
|
0,005
|
0,004
|
-0,01
|
-0,008
|
0,005
|
Рис 5.1 - График энергетического спектра кодового сигнала
6. Расчёт
спектральных характеристик модулированного сигнала
6.1
Общие сведения
Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются
модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи,
электромагнитной совместимости, помехоустойчивости систем. Процесс модуляции
является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра канала. При
гармоническом сигнале - переносчике это преобразование заключается в том, что
спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух
боковых полос. Если переносчик - импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в
окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляции зависят
от полезного сигнала и от вида сигнала-переносчика.
К основным характеристикам модулированных сигналов относятся
энергетические показатели и спектральный состав. Первые определяют
помехоустойчивость связи, вторые, прежде всего, полосу частот, занимаемую
сигналом. Классический модулятор имеет два входа. На один подается
гармонический сигнал - переносчик, на другой - полезный сигнал с кодера. Ранее
мы подробно познакомились с характеристиками последнего , представляя его
случайной двоичной последовательностью. Сейчас же введем для него другую
математическую модель. Предположим, что полезный сигнал представлен двоичной
последовательностью 0, 1, 0, 1 и т.д. Вид такого сигнала и соответствующих ему
модулированных сигналов показан на рисунке 6.1.
Перейдем к спектрам модулированных колебаний. Так как мы предположили,
что полезный сигнал регулярная импульсная последовательность, её можно
представить рядом Фурье :
(6.1)
где
¾ постоянная составляющая
полезного сигнала; ,
¾ амплитуда и фаза соответствующей n-ой
гармоники. Именно под действием этого сигнала и меняются параметры переносчика.
При
фазовой модуляции частотный состав колебаний определяется по следующей формуле:
(6.2)
где Dj - индекс
модуляции;
W1 - частота первой гармоники полезного
сигнала.
6.2
Спектр модулированного сигнала
Внешний вид спектра колебания, модулированного по фазе, представлен на
рисунке 6.2.
Рисунок
2.2- Спектр колебания, модулированного по фазе
Итоговый
спектр ФМ сигнала состоит из несущей и двух
боковых полос с частотами . Данное соотношение можно вывести из (2.2), для чего
в выражениях сумм под знаком синуса нужно вынести за скобку время. Из выражения
(2.2) видно, что амплитуды боковых составляющих можно определить по формуле:
. (2.3)
Так
как по заданию , то в спектре будут отсутствовать составляющая w0 и чётные
гармоники.
Для
практического использования спектр необходимо ограничить полосой . Ограничение проведем по пяти крайним боковым составляющим.
Расчёт полосы частот спектра проведём по формуле:
. (2.3)
где
n ¾ количество боковых
составляющих.
7.
Согласование источника информации с каналом связи
Источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в
знаке, энтропию, производительность, избыточность. Нас интересует
производительность, которая характеризует скорость работы источника и
определяется по следующей формуле:
, (7.1)
где
- энтропия алфавита источника, - среднее время генерации одного знака алфавита.
Для
введенного нами источника энтропия определяется при условии равенства
вероятностей знаков алфавита, а среднее время равно интервалу между выборками.
Энтропия
алфавита источника:
Тогда :
Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным
каналом определяются следующей теоремой Шеннона (которая аналогична такой же
дискретного источника и дискретного канала).
Теорема
Шеннона. Дискретные сообщения,
выдаваемые дискретным источником с производительностью можно закодировать так, что при передаче по гауссову
каналу с белым шумом, пропускная способность которого С превышает вероятность ошибки Рош может быть
достигнута сколь угодно малой.
При
определении пропускной способности канала статистические законы распределения
помехи, сигнала, и суммы сигнала и помехи - нормальные законы с
соответствующими дисперсиями Рп, Рс и Рс+Рп.
Пропускная
способность гауссова канала равна:
, (7.2)
где
F - частота дискретизации,. Рп - мощность помехи,
определяется по заданной спектральной плотности мощности N
(дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала :
. (7.3)
Пользуясь
неравенством Шеннона , определим Рс, обеспечивающую передачу по каналу.
Δf=Δω/2π=5,33∙105
Pn=5∙10-15∙5,33∙105=2,665∙10-9Вт
Выразим
мощность сигнала из выражения (7.2)
, Вт.
(7.4)
Определим мощность сигнала
Энергия сигнала
Подставим
значения мощности сигнала и длительности сигнала
8.
Расчёт вероятности ошибки при воздействии «белого шума»
Вероятность ошибки Р0 зависит от мощности (или энергии)
сигнала и мощности помех (в данном случаи белого шума). Известную роль играет
здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в
системе.
Формула для расчета Р0 для ЧМ, имеет вид:
(8.1)
где: P0 - вероятность ошибки;
E -
энергия модулированного сигнала, Дж;
F(x) - функция Лапласа;
(8.2)
где: F(x) - функция Лапласа.
по формуле (8.1) находим вероятность ошибки:
.
Заключение
В данном курсовом проекте были выполнены расчёты спектральных
характеристик, ширины спектра, интервалы дискретизации и разрядности кода,
расчёт автокорреляционной функции кодового сигнала и его энергетического
спектра, спектральных характеристик модулированного сигнала, мощности
модулированного сигнала, вероятности ошибки при воздействии «белого шума».
Расчёт практической ширины спектра сигнала показал, что почти вся энергия
заключена в довольно узком диапазоне частот, и не нужно использовать весь
спектр. Вероятность ошибки при воздействии «белого шума» равна 0, что говорит о
том, что фазовая модуляция, используемая в курсовом проекте, имеет хорошую
точность.
Список
использованных источников
1. Расчёт характеристических сигналов и каналов связи:
Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теоретические основы
транспортной связи»/ Н.Н.Баженов, А.С.Картавцев. - Омский ин - т инж. ж.-д.
транспорта, 1990.
. Каллер М.Я., Фомин А.Я. Теоретические основы
транспортной связи: Учебник для ВУЗов ж.-д. транспорта - М.: Транспорт,1989.
. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы:
Учебник для ВУЗов. - М.: Радио и связь, 1986.
. Теория передачи сигналов: Учебник для ВУЗов/ А.Г. Зюко,
и др. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1986
. Баженов Н. Н. Характеристики сигналов в каналах связи:
методические указания к курсовому проекту по дисциплине "Теория передачи
сигнала". Омск, 2001.