Расчет параметров различных видов сигналов
Реферат
Курсовая работа содержит расчет спектра и энергетических характеристик
сигнала, определение интервалов дискретизации и квантования сигнала, расчет
разрядности кода, исследование характеристик кодового сигнала, исследование
характеристик модулированного сигнала, расчет вероятности ошибки в канале с
помехами.
Введение
В последнее десятилетие ХХ века произошла научно-техническая революция в
области транспортной связи, в основе которой лежат два крупных достижения науки
середины нашего столетия: общая теория связи и микроэлектронная элементная
база.
На железнодорожном транспорте активно внедряются спутниковые,
волоконно-оптические линии связи, системы с шумоподобными сигналами, подвижной
радиосвязи: сотовая, транкинговая и др. Доступ подвижного объекта к
стационарным сетям связи осуществляется с помощью радио. Произошло объединение
в разумном сочетании проводной и радиосвязи, широко- и узкополосных аналоговых
и цифровых систем связи.
По прогнозам международных экспертов, ХХI век должен стать веком глобального информационного
обеспечения. Его основой будет информационная инфраструктура, а составляющими ¾ мощные транспортные сети связи и
распределённые сети доступа, предоставляющие услуги пользователям. Основные
тенденции развития связи ¾ цифровизация, интеграция сетей, коммутационного и оконечного
оборудования, что позволяет значительно повысить эффективность связевого
ресурса.
Системы связи, обеспечивающие передачу информации на железнодорожном
транспорте, работают в условиях сильных и разнообразных помех. Поэтому системы
связи должны обладать высокой помехоустойчивостью, что имеет большое значение
для безопасности движения поездов. Системы связи должны обеспечивать высокую
эффективность при относительной простоте технической реализации и обслуживания.
Это значит, что необходимо передавать наибольшее или заданное количество
информации наиболее экономичным способом в заданное время. Последнее
достигается благодаря использованию наиболее современных способов передачи
(кодирования и модуляции) и приёма.
Решение задач данного курсового проекта напрямую связано с задачами,
обозначенными выше. В частности, расчёт характеристик сигнала и канала связи ¾ основа проектирования любой системы
связи. Цель выполнения данного проекта и состоит в закладке основных знаний по
расчёту трактов передачи сигнала.
Структура цифрового канала в общем случае приведена ниже.
Рис. 1 Цифровой канал связи
S(t) -
передаваемый сигнал;
-
дискретизатор сигнала по времени;
-
квантователь по уровню;
-
кодер источника;
-
кодер канала;
-
модулятор;
-
демодулятор;
-
декодер канала;
-
декодер источника;
-
интерполятор;
S`(t) -
получаемый сигнал.
1.
Расчёт характеристик сигналов
.1
Расчет характеристик колоколообразного сигнала
.1.1
Расчет спектра колоколообразного сигнала
Временная функция сигнала имеет вид:
. (1.1)
По
заданию, у данного сигнала , график
этого сигнала изображен на рис. 1.1.
Прямое
преобразование Фурье для этой функции имеет вид
. (1.2)
График амплитудного спектра U(w) изображен на рис. 1.2.
1.1.2
Расчет полной энергии и ограничение практической ширины спектра
колоколообразного сигнала
Полная
энергия колоколообразного сигнала в общем случае рассчитывается по формуле:
. (1.3)
Путем
подбора, согласно рекомендациям [2], выбираем пределы интегрирования: tв
= 0.0009 с, tн= - 0.0009 с.
Для
колоколообразного сигнала имеем:
Ограничение
практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты wс, с
учетом заданного энергетического критерия d осуществляется на
основе неравенства:
, (1.4)
. (1.5)
wc - искомое значение верхней граничной частоты сигнала.
В
одной системе координат построим график W`, прямые полной энергии W=1.566×10-6 Дж и части полной энергии W``=d×W=1.533×10-6
Дж. Находим значение wс по
графику, изображенному на рис. 1.3. Точка пересечения W` и W`` соответствует
значению wс.
wс=4600 рад/с.
1.2
Расчет характеристик экспоненциального сигнала
.2.1
Расчет спектра экспоненциального сигнала
Аналитическая
запись сигнала имеет вид:
. (1.6)
Заданный
сигнал имеет коэффициенты , его график изображен на рис 1.4.
Прямое
преобразование Фурье для этой функции имеет вид:
. (1.7)
с
учетом указанных констант получаем:
. (1.8)
График
амплитудного спектра U(w) изображен на рис. 1.5.
1.2.2
Расчет полной энергии и ограничение практической ширины спектра
экспоненциального сигнала
Полную
энергию данного сигнала можно рассчитать по (1.3), применением табличного
интеграла, согласно которому:
Ограничение
практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты wс, по
заданному энергетическому критерию d осуществляется на
основе (1.4). Для определения граничной частоты в одной системе координат
построим график W`, прямые полной энергии W=6.4×10-6
Дж и части полной энергии W``=d×W=6.2656×10-6 Дж. Находим значение wс по
графику, изображенному на рис. 1.6. Точка пересечения W` и W`` соответствует
значению wс.
wс=2574 рад/с.
1.3
Расчет характеристик осциллирующего сигнала
.3.1
Расчет спектра осциллирующего сигнала
Временная
функция сигнала имеет вид:
. (1.9)
У
заданного сигнала , график этого сигнала изображен на рис. 1.7.
Прямое
преобразование Фурье для этой функции имеет вид
учетом
коэффициентов получаем:
В/Гц.
(1.11)
График
амплитудного спектра U(w) изображен на рис. 1.8.
Спектр
фаз можно определить применив функцию arg(х), получаем:
. (1.12)
График
спектра фаз функции изображен на рис. 1.9.
1.3.2
Расчет полной энергии и ограничение практической ширины спектра осциллирующего
сигнала
Полная
энергия сигнала (1.9) в общем случае рассчитывается по (1.3). Применив
табличный интеграл, имеем:
Ограничение
практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты wс осуществляется
так же, как и для предыдущих сигналов.
Для
определения граничной частоты в одной системе координат построим график W`,
прямые полной энергии W=3.564318×10-6
Дж и части полной энергии W``=d×W=3.489467×10-6 Дж. Находим значение wс по
графику, изображенному на рис. 1.10. Точка пересечения W` и W`` соответствует
значению wс.
wс=6.1×104 рад/с.
В данном разделе определены энергии трех сигналов и с учетом коэффициента
d, определяющего процент полной
энергии, проведен расчет граничной частоты, на основании чего можно выбрать для
последующих расчетов экспоненциальный сигнал, т.к. у данного сигнала самый
узкий спектр и к каналу, по которому будет передаваться этот сигнал,
предъявляются менее жесткие требования.
2. Определение интервала дискретизации и разрядности кода
.1 Расчёт параметров АЦП и цифрового сигнала
Основные характеристики АЦП - частота запуска и разрядность выходного
кода. Их и надо определить по спектру сигнала и по шумам квантования.
Интервал дискретизации Dt по
времени определяем на основе теоремы Котельникова по неравенству:
Dt £ 1/(2×Fв), (2.1)
где Fв=wс/(2×p) - верхнее значение частоты спектра
сигнала.
Dt=p/2574=1.22×10-3 с.
Частота запуска АЦП рассчитывается по формуле:
; (2.2)
Fд=1/Dt=1/1.22×10-3 =819
Гц.
Необходимо, чтобы сигнал был представлен не менее чем четырьмя отсчетами.
Для выполнения этого условия уменьшим интервал Dt:
Dt=0.0006
с, частота запуска АЦП Fд=1/Dt=1/0.0006 =1666.7 Гц.
График дискретизированного по времени сигнала изображен на рис. 2.1.
Следующими этапами преобразования сигнала являются квантование импульсных
отсчетов по уровню и кодирование. Разрядность кодов определяется исходя из
динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в
качестве верхней границы динамического Umax принимается напряжение самого
большого по амплитуде отсчёта. Нижняя граница диапазона равна минимальному
значению сигнала, либо определяется по формуле:
, (2.3)
где
К ¾ коэффициент, приведённый в задании на курсовую
работу.
Вычислим
по (2.3).
min=0,08/28=0.002857 В.
Найдём
число уровней квантования по формуле:
, (2.4)
где g ¾ отношение мгновенной мощности
сигнала к мощности шума квантования (приводится в задании).
.
Известно,
что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное
числу уровней квантования, определяется выражением:
, (2.5)
где
m ¾ разрядность кодовых комбинаций.
Откуда
. (2.6)
Подставив
значение nкв
получим:
бит.
цифровой сигнал колоколообразный экспоненциальный
Длительность
элементарного кодового импульса tи определяется исходя из интервала дискретизации Dt и разрядности кода m. Здесь необходимо ввести защитный интервал, под
который отведем половину Dt. В итоге получим выражение:
; (2.7)
tи = 0.0006 /12 =50 мкс.
На основании полученного значения разрядности кода и интервала
дискретизации выберем АЦП. Полученным значениям удовлетворяет микросхема
К1107ПВ1. Характеристики микросхемы приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1 Технические характеристики АЦП
Серия
|
Разрядность выхода
|
Тип логики
|
Уровень 1, В
|
Уровень. 0, В
|
Fт, tпреобраз.
|
К1107ПВ1
|
6
|
ТТЛ
|
³ 2.4
|
£ 0.4
|
6.5 МГц
|
2.2 Разработка математической модели цифрового сигнала
Для разработки математической модели цифрового сигнала примем четыре
кодовых слова (коды четырех отсчетов).
Числовые константы сигнала определяются по формулам (2.8) и (2.9).
Математическое ожидание:
. (2.8)
Дисперсия:
. (2.9)
Вероятность
нуля:
Вероятность
единицы:
Рассчитаем
математическое ожидание сигнала по (2.8).
В.
Рассчитаем
дисперсию:
В.
Рассчитаем
функцию автокорреляции. При проведении расчетов воспользуемся возможностями
программы MathCAD. Поступим следующим образом. Выпишем четыре
последовательности кодов, которыми представляется дискретизированный сигнал;
это будет последовательность нулей и единиц.
В
среде MathCAD. создадим два вектора и . Далее воспользуемся функцией . После каждого измерения будем сдвигать кодовую
последовательность вектора Vy на один знак. Проведём семь расчётов. Результаты
занесём в табл. 2.2.
Таблица
2.2 Функция автокорреляции кодового сигнала
t, мкс
|
0
|
50
|
100
|
150
|
200
|
250
|
300
|
350
|
Corr
|
1
|
-0.066667
|
-0.066667
|
-0.244444
|
-0.244444
|
0.111111
|
-0.244444
|
0.288889
|
В среде MathCAD по этой таблице сформируем два
вектора Vt и Vk:
С помощью функции cspline(Vt, Vk) вычислим вектор VS вторых производных при приближении к
кубическому полиному:
VS : = cspline (Vt, Vk)
Далее вычисляем функцию, аппроксимирующую функцию автокорреляции сплайн
кубическим полиномом:
kor(t) : = interp (VS, Vt, Vk, t).
График функции автокорреляции изображен на рис. 2.2.
Спектральные
характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального
преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной оно имеет
следующий вид:
. (2.10)
Здесь K(t) выше рассчитанная нормированная
функция kor(t), верхний предел T - последнее рассчитанное значение t.
Решение интеграла произведём в среде MathCAD.
Спектр кодированного сигнала, построенный по (2.10) показан на рис. 2.3.
3.
Характеристики модулированных сигналов
Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются
модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи,
электромагнитной совместимости, помехоустойчивости систем. Процесс модуляции
является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра канала. При
гармоническом сигнале-переносчике это преобразование заключается в том, что
спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух
боковых полос. Если переносчик - импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в
окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляция зависят
от полезного сигнала и от вида сигнала-переносчика.
На рис. 3.1. показан частотно-модулированный сигнал.
Частотно-модулированный
сигнал
Для
определения спектра ЧМ- сигнала воспользуемся линейностью преобразования Фурье.
Сигнал представлен в виде суммы двух АМ- колебаний с различными частотами
несущих f1 и f2,
. (3.1)
К
каждому такому сигналу применим преобразование Фурье и результирующий спектр
определится как сумма спектров S1(jw) и S2(jw):
(3.2)
(3.3)
где
(3.4)
(3.5)
(3.6)
;
(3.7)
В
- амплитуда логической единицы;
n - номер
гармоники.
Для
того, чтобы наглядно показать полосы частот спектра с учетом того, что сдвига
фаз нет, запишем (3.1) в упрощенном виде:
(3.8)
По
заданию несущие частоты равны:
=8.796459×106 рад/с, =1.947787×107 рад/с.
Определяем
по формуле (3.4):
.
Для
практического использования спектр необходимо ограничить полосой . Ограничение проведем по пяти крайним боковым составляющим.
Расчёт полосы частот спектра проведём по формуле:
. (3.9)
где
n ¾ количество боковых
составляющих.
.
Итоговый
спектр ЧМ содержит несущие w1, w2 в окрестностях каждой из которых расположены боковые
полосы, состоящие из комбинаций частот и . Анализируя правую часть выражения (3.8), определяем
полосы частот сигнала, которые приведены в табл. 3.1.
Определим
амплитуды гармоник по (3.7):
В;
В;
В.
Таблица
3.1 Полосы частот гармоник сигнала.
Частоты гармоник, Номера гармоник
|
|
8.7336271×1068.60796345×1068.48229975×106
|
|
|
|
8.85929085×1068.98495455×1069.11061825×106
|
|
|
|
19.41503815×10619.28937445×10619.16371075×106
|
|
|
|
19.54070185×10619.66636555×10619.79202925×106
|
|
|
|
Амплитуды гармоник, В
|
|
|
|
An
|
0.05093
|
0.016977
|
0.010186
|
На основании полученных данных можно изобразить спектр модулированного
сигнала (рис. 3.1).
4.
Согласование источника информации с каналом связи
.1 Источник информации
Выборки передаваемого сигнала ¾ это алфавит источника информации и вероятности букв
этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных
характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность,
избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать производительность, которая
характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле:
, (4.1)
где
¾ энтропия алфавита
источника;
¾ среднее время генерации одного знака алфавита.
Для
введённого источника энтропия определяется при условии равенства вероятностей
знаков алфавита, а среднее время равно интервалу между выборками.
Подставим значения в (4.1).
.
4.2
Согласование источника с каналом
Рассмотрим принципы и предельные возможности непосредственного
согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи.
Напомним, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных
процессов сигналов, помех и их же условные плотности распределения. Это понятие
вводится при моделировании канала связи и с точки зрения передачи сообщений нет
большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал
непрерывный.
Будем считать канал гауссовым, то есть все статистики в нем имеют
нормальное распределение. На входе канала, помимо сигнала, присутствует помеха
типа «белый шум».
Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным
каналом определяются теоремой Шеннона (которая аналогична такой же дискретного
источника и дискретного канала).
Пропускная способность гауссова канала равна:
, (4.2)
где
FД -
частота дискретизации, определенная выше. Рп ¾ мощность помехи, определяется по заданной
спектральной плотности мощности N0 (дано в
задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала :
. (4.3)
По
этим формулам, пользуясь неравенством Шеннона , примем и определим РС, обеспечивающую передачу по
канал.
Выделим
из (4.2) Рс.
, Вт.
(4.4)
5.
Расчёт вероятности ошибки в канале с аддитивным белым шумом
.1
Общие сведения о вероятности ошибки
Вероятность ошибки P0 зависит от мощности (или энергии)
сигнала и мощности помех (в данном случае белого шума). Известную роль играет
здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в
системе. Расчёт вероятности ошибки, прежде всего, необходим при оптимальной
схеме приёмника, т.е. наилучшей в смысле заданного критерия. В технике связи
критерием является критерий Котельникова (оптимального наблюдателя). Согласно
его требованиям полная вероятность ошибки должна быть минимальной.
Для реализации такого критерия служит оптимальная решающая схема. При
равновероятных и взаимонезависимых сигналах решающая схема поэлементного приёма
принимает решение независимо от решения относительно других символов и имеет
вид:
(5.1)
Символ Si над неравенством указывает на то, что решение
принимается в пользу сигнала Si. Из второй общей формулы можно
получить простые записи с оговоркой тех или иных условий. Будем считать, что
отсчёт времени начинается с началом k-го элемента сигнала, что C(t)=mS(t) - приходящий полезный сигнал, и
тогда условие правильной регистрации сигнала Si(t) имеет вид:
. (5.2)
где Ei,
Ej - энергии i-, j-й реализации сигнала.
Реализовать данное неравенство можно двумя способами.
Первая оптимальная решающая схема получила название корреляционного
приёмника. При условии равенства энергий Ei и Ej (такой
случай будет, в частности, в двоичном канале с ЧМ и ФМ) и двух сигналах S1,
S2:
. (5.3)
Структурная схема оптимального приёмника сигнала с ЧМ приведена ниже.
Рис. 5.1 Схема оптимального приёмника
В
оптимальном приёмнике, показанном на рис. 5.1, на основании сравнения функций
взаимной корреляции принимается решение о наличии сигнала S1 или S0.
5.2
Определение вероятности ошибки
В
общем случае вероятность ошибки:
, (5.4)
гдe
¾ функция Лапласа;
-
энергия разностного сигнала;
;
0 - односторонняя
плотность мощности белого шума;
m - характеризует
ослабление передаваемых сигналов S1(t) и S2(t).
Формула
для расчёта P0 может быть существенно упрощена для
конкретного вида сигналов. Для сигнала с частотной модуляцией:
, (5.5)
где
.
Дж.
Рассчитаем
вероятность ошибки.
В
программе MathCAD функция Лапласа эквивалентна функции erf(x).
Вычислим данную функцию:
.
.
Из
проделанных расчетов можно сделать вывод, что принятая приемником информация
полностью соответствует переданной.
Заключение
В ходе работы был произведен расчет спектра различных сигналов и их
энергетических характеристик, была вычислена практическая ширина спектра
каждого сигнала и выбран сигнал с наименьшей шириной спектра. Рассчитана
разрядность кода, которым может быть представлен сигнал. Рассчитаны
спектральные характеристики кодового сигнала и фазомодулированного сигнала.
Рассчитана вероятность ошибки при приеме сообщения при воздействии белого шума.
Список использованных источников
1.
Гоноровский И. С.
Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. - 512 с.
2.
Баженов Н. Н.
Характеристики сигналов в каналах связи: методические указания к курсовому
проекту по дисциплине "Теория передачи сигнала". Омск, 2001.
3.
Баженов Н. Н.,
Картавцев А. С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи: Методические
указания к курсовой работе по дисциплине "Теоретические основы
транспортной связи" / Омский ин-т инж. ж.-д. транспорта. - Омск, 1990.-24
с.