Расчет характеристик сигналов и каналов связи
РЕФЕРАТ
Канал связи, практическая ширина спектра,
интервал дискретизации, кодовый сигнал, энергетический спектр, модулированный
сигнал, автокорреляционная функция
Цель работы: Рассмотреть основы теории сигналов,
произвести расчет различных величин, характеризующих сигналы, изучить теорию
передачи информации в канале.
Курсовая работа содержит расчет спектра и
энергетических характеристик сигнала, определение интервалов дискретизации и
квантования сигнала, расчет разрядности кода, исследование характеристик кодового
сигнала, исследование характеристик модулированного сигнала, расчет вероятности
ошибки в канале с помехами.
ВВЕДЕНИЕ
На современном этапе развития перед
железнодорожным транспортом стоят задачи по увеличению пропускной и провозной
способности, грузовых и пассажирских перевозок, уменьшению времени оборотов
вагонов и повышению производительности труда. Эти задачи решаются по двум
основным направлениям: техническим перевооружением транспортных средств и
совершенствованием системы управления перевозочным процессом.
Значительную роль в деле совершенствования
системы управления эксплуатационной работой железнодорожного транспорта играет
развитие всех видов связи, а также внедрение и поэтапное развитие комплексной
автоматизированной системы управления железнодорожным транспортом (АСУЖТ).
Комплекс технических средств АСУЖТ включает в себя вычислительные центры
Министерства путей сообщения, управлений дорог и отделений, связанные в единое
целое сетью передачи данных.
Управление территориально разобщенными объектами
на всех уровнях осуществляется передачей сообщений разнообразными
электрическими сигналами с широким использованием систем передачи информации,
то есть систем связи, работающих по проводным и радиоканалам. А также по
волоконно-оптическим линиям связи.
Совершенствование управления в условиях
интенсификации производственных процессов ведет к росту общего объема
информации, передаваемой по каналам связи между управляющими органами и
управляемыми объектами.
Передача информации на железнодорожном транспорте
ведется в условиях воздействия сильных и разнообразных помех. Поэтому системы
связи должны обладать высокой помехоустойчивостью, что связано с безопасностью
движения. К системам связи предъявляют также требования высокой эффективности
при относительной простоте технической реализации и эксплуатации.
Проблема эффективности системы передачи
информации состоит в том, чтобы передать наибольшее или заданное количество
информации (сообщений) наиболее экономически выгодным образом (с точки зрения
затрат энергии и полосы частот) в заданное время. Перечисленные проблемы тесно
связанны между собой.
На рисунке показан канал для передачи
непрерывных сообщений.
Разберем назначение блоков приведенного канала
связи.
П-1, П1 - преобразователи сообщения в сигнал и
наоборот - сигнала в сообщение.
Непрерывные сообщения можно передавать
дискретными сигналами. Операция преобразования непрерывного сообщения в
дискретное называется дискретизацией. Дискретизация осуществляется не только по
времени, но и по уровням. Дискретизация значений функции (уровня) носит
название - квантования.
Кодер сообщения формирует первичный код, каждое
сообщение из ансамбля записывается им в форме двоичного представления. Декодер
сообщения осуществляет обратную задачу. Собственно, на этом этапе преобразований
сигнал можно передавать до потребителя, но в таком виде он будет не защищен от
помех, и достоверность передачи будет низка. Поэтому далее идут преобразования,
направленные на повышение помехоустойчивости канала.
Кодер канала по первичному коду формирует
помехоустойчивый код. Здесь в код закладывается определенная избыточность, что
позволяет в декодере канала обнаружить, либо исправить ошибки, возникшие при
передаче.
Модулятор определяет вид сигнала, передаваемого
по линии связи. Демодулятор выделяет принимаемый код по модулированному
сигналу.
Канал для передачи непрерывных сообщений
Рис. 1
Разберем назначение блоков
приведенного канала связи.
П-1, П1 - преобразователи сообщения
в сигнал и наоборот - сигнала в сообщение.
Непрерывные сообщения можно
передавать дискретными сигналами. Операция преобразования непрерывного
сообщения в дискретное называется дискретизацией. Дискретизация осуществляется
не только по времени, но и по уровням. Дискретизация значений функции (уровня)
носит название - квантования.
Кодер сообщения формирует первичный
код, каждое сообщение из ансамбля записывается им в форме двоичного
представления. Декодер сообщения осуществляет обратную задачу. Собственно, на
этом этапе преобразований сигнал можно передавать до потребителя, но в таком
виде он будет не защищен от помех, и достоверность передачи будет низка.
Поэтому далее идут преобразования, направленные на повышения помехоустойчивости
канала.
Кодер канала по первичному коду
формирует помехоустойчивый код. Здесь в код закладывается определенная
избыточность, что позволяет в декодере канала обнаружить, либо исправить
ошибки, возникшие при передаче.
Модулятор определяет вид сигнала,
передаваемого по линии связи. Демодулятор выделяет принимаемый код по
модулированному сигналу.
Линия связи - это материальная среда
для передачи сигналов (кабель, радио эфир). Именно здесь (в основном) к
полезному сигналу добавляется непрогнозируемые помехи. Строя модулятор,
демодулятор (модем), необходимо принять меры для борьбы с помехами.
Цифровой преобразователь (ЦАП)
служит для восстановления сообщения.
Интерполятор позволяет по сигналу с
ЦАП сформировать непрерывный сигнал.
1. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК СИГНАЛОВ
.1 Временные функции сигналов
Для расчёта характеристик сигналов
были заданы их временные функции (приведены в задании на курсовой проект).
Временной вид сигнала №1(7)
иc. 1.1
где .
Временной вид сигнала №2(9)
Рис. 1.2
Временной вид сигнала №3(8)
Рис. 1.3
1.2 Расчёт спектра сигналов
Спектр сигнала, его частотный состав, является
важнейшей характеристикой сигнала. Он определяет требования к узлам аппаратуры
связи, помехозащищенность, возможности уплотнения.
Спектральная плотность это характеристика
сигнала в частотной области и задаётся прямым преобразованием Фурье (1.3).
, (1.3)
где -
временная функция сигнала,
-
круговая частота, .
-
комплексная величина и может быть представлена в алгебраической или
показательной форме:
. (1.4)
Функции и вычисляются
следующим образом:
; (1.5)
для показательной формы:
. (1.6)
Важным свойством вещественной и
мнимой частей спектра является то, что, если функция S(t) - чётная, то мнимая
часть , а при
нечетности(t) -.
Это следует непосредственно из
интегральных форм (1.5).
Для сигнала № 7 (рис. 1.1) формула
спектральной плотности будет выглядеть следующим образом:
(1.7)
где h - амплитуда сигнала, В,
t
- длительность сигнала, мс.
График спектральной плотности
показан на рис. 1.4.
График спектральной плотности
сигнала №1
Рис. 1.4
Спектральная плотность для сигнала изображенного
на рисунке 1.2. строится по формуле:
, (1.8)
График спектральной плотности
сигнала №2
Рис. 1.5
Спектральная плотность для сигнала
изображенного на рисунке 1.3. строится по формуле:
График спектральной плотности
сигнала №3
Рис. 1.6
Внешний вид модуля данной функции и
изменения фазы также представлен на рис. 1.6. График изменения фазы построен
исходя из того, что функция (1.9) создаёт осцилляции, и в месте перехода кривой
через ноль фаза меняется на p
радиан.
1.3 Расчет энергетической
характеристики сигналов
Показатели энергии и мощности
сигналов одни из важнейших характеристик, определяющих коэффициент полезного
действия передатчика, качество работы приемника системы связи.
Поскольку существуют временное и
спектральное представления сигналов, то данные показатели могут быть вычислены
двумя способами.
Энергия одиночного сигнала
вычисляется через временную функцию сигнала по формуле:
. (1.10)
Бесконечные пределы в интеграле
записаны для общего случая и должны быть уточнены для конкретного сигнала.
Если сигнал периодический, то его
средняя за период T мощность равна
. (1.11)
Спектральное представление сигнала
позволило определить эти же энергетические характеристики по спектрам сигналов.
Для этого существуют равенства Парсеваля. Для непериодического сигнала
; (1.12)
для периодического
, (1.13)
где -
постоянная составляющая сигнала, Аn - амплитуда n-ой гармоники.
Значения в
выражениях (1.10, 1.12) означает, что в создании энергии и мощности участвует
бесконечный спектр частот. Если же заменить эти бесконечности на конечную
величину n и , то по
формулам (1.11), (1.13) определится только часть мощности и энергии. Этим
подходом можно воспользоваться при ограничении спектров сигналов.
wc
- искомое значение верхней граничной частоты сигнала.
Один из методов нахождение частоты
среза по графику. Для этого в одной системе координат построим графики энергии
равные W=Дж, W`(wc), W''=d×W==Дж. Находим
значение wс по графику
(рис. 1.7). Точка пересечения W`(wc)
и W`` соответствует значению wс.
С помощью графиков рис 1.7. находим
частоту среза, которая равна wс=176570
рад/с.
График энергии сигнала №1
сигнал спектр
дискретизация связь
Рис. 1.7
Частота среза сигнала показанного на
рис.1.2 определяется также как и частота среза сигнала показанного на рис.1.1.
И она равна wс=188000
рад/с.
График энергии сигнала №2
Рис. 1.8
Частота среза сигнала показанного на
рис.1.3 определяется также как и частота среза сигнала показанного на рис.1.1.
И она равна wс=35536 рад/с.
График энергии сигнала №3
Рис. 1.9
Вывод: Дальнейший расчет ведем для
сигнала изображенного на
рисунке 1.3., т.к. у этого сигнала
частота среза оказалась меньше чем у других. wс=35536 рад/с.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛА
ДИСКРИТИЗАЦИИ И РАЗРЯДНОСТИ КОДА
Дальнейший расчет ведем для сигнала
заданного экспоненциальное т.к. у этого сигнала частота среза оказалась меньше
чем у других.
wс=35536
рад/с.
Интервал дискретизации Dt по времени определяем на
основе теоремы Котельникова по неравенству:
Dt
£ 1/(2×Fв), (2.1)
где Fв=wс/(2×p) - верхнее
значение частоты спектра сигнала.
в=35536/2×p=5.66×103 Гц
Dt=1/5.66×103×4=4.42×10-5 с.
Необходимо, чтобы сигнал был
представлен не менее чем четырьмя отсчетами.
д=1/Dt=1/4.42×10-5 =22640Гц.
График дискретизированного по
времени сигнала
Рис. 2.1
Следующими этапами преобразования
сигнала являются квантование импульсных отсчетов по уровню и кодирование.
Разрядность кода определяется исходя
из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в
качестве верхней границы динамического диапазона Umax принимается напряжение
самого большого по амплитуде отсчета. Umax=0.9 В.
Нижняя граница диапазона:
=Umax/K; (2.2)
- заданный коэффициент.=0.9/20=0.045
В;
g=35.
Дальнейший расчет ведем следующим
образом.
Известно, что:
кв=D2/12; D
- шаг шкалы квантования.
D=Umax/nкв;
кв - число уровней квантования.
Отсюда:
;
При использовании двоичного
кодирования:кв = 2m; m - разрядность кодовых комбинаций.
= log nкв;= log 34= 6.
Длительность элементарного кодового
импульса t
определяется исходя из интервала дискретизации Dt и разрядности кода m. Здесь необходимо ввести
защитный интервал, под который отведем половину Dt. В итоге получим выражение:
tи=
Dt/(2×m); (2.3)
tи
= 4.42×10-5 /12
=3.68×10-6мкс.
Для разработки математической модели
цифрового сигнала примем четыре кодовых слова (коды четырех отсчетов). Числовые
константы сигнала определяются по формулам (2.4) и (2.5). Математическое
ожидание:
. (2.4)
Дисперсия:
Выбранная кодовая
последовательность:
Вероятность нуля:
Вероятность единицы:
Рассчитаем математическое ожидание
сигнала по (2.8).
В.
Дисперсия:
В.
Рассчитаем функцию автокорреляции.
При проведении расчетов воспользуемся возможностями программы MathCAD. Поступим
следующим образом. Выпишем четыре последовательности кодов, которыми
представляется дискретизированный сигнал; это будет последовательность нулей и
единиц.
В среде MathCAD. создадим два
вектора и . Далее
воспользуемся функцией . После
каждого измерения будем сдвигать кодовую последовательность вектора Vy на один
знак. Проведём семь расчётов. Результаты занесём в таблицу 2.2
Таблица 2.1 - Функция автокорреляции
кодового сигнала
t,
мкс
|
0
|
8.8
|
13.3
|
17.7
|
22.1
|
26.5
|
30.9
|
Corr
|
1
|
-0,175
|
-0.0069
|
-0.0069
|
-0,175
|
-0,175
|
-0,175
|
В среде MathCAD по этой таблице сформируем два
вектора Vt и Vk:
С помощью функции cspline(Vt, Vk)
вычислим вектор VS вторых производных при приближении к кубическому полиному:
: = cspline (Vt, Vk)
Далее вычисляем функцию, аппроксимирующую
функцию автокорреляции:
kor(t):
= interp (VS,
Vt, Vk,
t).
График функции автокорреляции
Рис. 2.2
Спектральные характеристики
кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования
Винера-Хинчина. В области действительной переменной оно имеет следующий вид:
, (2.6)
Здесь K(t) выше рассчитанная
нормированная функция kor(t),
верхний предел T - последнее рассчитанное значение t.
Спектр кодированного сигнала показан
на рис.2.3.
Спектр кодированного сигнала
Рис. 2.3
3. ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДУЛИРОВАНОГО
СИГНАЛА
Для передачи полезной информации в
технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить
задачи уплотнения линии связи, электромагнитной совместимости,
помехоустойчивости систем. Процесс модуляции является нелинейной операцией и
приводит к преобразованию спектра канала. При гармоническом сигнале-переносчике
это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится
в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик -
импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в
окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляции зависят
от полезного сигнала и от вида сигнала-переносчика.
Распространенным видом аналоговой
модуляции является амплитудная (АМ). Под действием полезного сигнала изменяется
амплитуда гармонического переносчика. Аналитическая форма записи сигнала АМ
следующая:
(3.1)
При этом амплитуда сигнала меняется
по закону
+A0mU(t)
и глубина этого изменения зависит от
коэффициента глубины модуляции m. Под U(t) понимается полезный сигнал
представленный рядом Фурье.
Спектр АМ находится из выражения:
(3.2)
w0
- несущая частота, w0=2pf0, f0=1.2×106 Гц (из
задания к курсовому).
w0=7.536×106 .
На рисунке 3.1. представлен график
модулированного сигнала
Рисунок 3.1 - Модулированный сигнал
Найдем амплитуды гармоник АМ сигнала
an из формул:
(3.3)/2 = B/2 (3.4)
(3.5)
(3.7)
Частоты гармоник верхней боковой
полосы wn и нижней
боковой полосы w`n найдем по
формулам:
wn
= w0 + n×W1, w’n = w0 - n×W1. (3.8)
Результаты вычисления
амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) АМ сигнала сведены в таблицу 3.1.
Таблица 3.1 - АЧХ АМ сигнала
n
|
wn
|
w’n
|
1
|
0.095
|
8.393×106
|
6.68×107
|
3
|
0.032
|
1.01×107
|
4.98×107
|
5
|
0.019
|
1.18×107
|
3.276×107
|
График АЧХ АМ сигнала приведен на рисунке 3.2
Рис. 3.2
3.2 Расчет мощности модулированного
сигнала
К основным характеристикам
модулированных сигналов относятся энергетические показатели и спектральный
состав. Первые определяют помехоустойчивость связи, вторые, прежде всего,
полосу частот, занимаемую сигналом. Разберем энергетические характеристики.
При АМ вводятся следующие
энергетические характеристики.
B.
Мощность несущего колебания:
Вт. (3.9)
Средняя мощность за период полезного сигнала:
Вт. (3.10)
Мощность колебаний боковых
составляющих:
Рбок=3.725×10-3 Вт.
4. СОГЛАСОВАНИЕ ИСТОЧНИКА ИНФОРМАЦИИ
С КАНАЛОМ СВЯЗИ
.1 Источник информации
Выборки передаваемого сигнала ¾ это алфавит
источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой
источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке,
энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем нас будет интересовать
производительность, которая характеризует скорость работы источника и
определяется по следующей формуле:
, (4.1)
где ¾ энтропия алфавита источника, - среднее
время генерации одного знака алфавита.
Для введённого источника энтропия
определяется при условии равенства вероятностей знаков алфавита, а среднее
время равно интервалу между выборками.
Подставим значения в (4.1).
.
4.2 Согласование источника с каналом
Рассмотрим принципы и предельные
возможности непосредственного согласования дискретного источника сообщений с
непрерывным каналом связи. Напомним, что в непрерывном канале надо знать
плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их же условные
плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи и
с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник
принят дискретным, а канал непрерывный.
Будем считать канал гауссовым, то
есть все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала,
помимо сигнала, присутствует помеха типа «белый шум».
Предельные возможности согласования дискретного
источника с непрерывным каналом определяются теоремой Шеннона (которая
аналогична такой же дискретного источника и дискретного канала).
Пропускная способность гауссова
канала равна:
. (4.2)
где FД - частота дискретизации,
определенная выше. Рп - мощность помехи, определяется по заданной спектральной
плотности мощности N0 (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот
модулированного сигнала :
. (4.3)
По этим формулам, пользуясь
неравенством Шеннона , определим
РС, обеспечивающую передачу по каналу.
Для определения РС примем пропускную
способность канала равную:
.
Выделим из (4.2) Рс.
,Вт. (4.4)
5. РАСЧЁТ ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ В
КАНАЛЕ С АДДИТИВНЫМ БЕЛЫМ ШУМОМ
.1 Определение вероятности ошибки
Вероятность ошибки P0 зависит от
мощности (или энергии) сигнала и мощности помех (в данном случае белого шума).
Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую
связь между сигналами в системе. Расчёт вероятности ошибки, прежде всего,
необходим при оптимальной схеме приёмника, т.е. наилучшей в смысле заданного
критерия. В технике связи критерием является критерий Котельникова
(оптимального наблюдателя). Согласно его требованиям полная вероятность ошибки должна
быть минимальной.
Для реализации такого критерия
служит оптимальная решающая схема. При равновероятных и взаимонезависимых
сигналах решающая схема поэлементного приёма принимает решение независимо от
решения относительно других символов и имеет вид:
(5.1)
Символ Si над неравенством указывает
на то, что решение принимается в пользу сигнала Si. Из второй общей формулы
можно получить простые записи с оговоркой тех или иных условий. Будем считать,
что отсчёт времени начинается с началом k-го элемента сигнала, что C(t)=mS(t) - приходящий полезный
сигнал, и тогда условие правильной регистрации сигнала Si(t) имеет вид:
. (5.2)
где Ei, Ej - энергии i-, j-й
реализации сигнала.
Реализовать данное неравенство можно
двумя способами.
Первая оптимальная решающая схема
получила название корреляционного приёмника. При условии равенства энергий Ei и
Ej (такой случай будет, в частности, в двоичном канале с ЧМ и ФМ) и двух
сигналах S1, S2:
. (5.3)
Структурная схема оптимального
приёмника сигнала с ФМ приведена ниже.
Схема оптимального приёмника
Рис. 5.1
В оптимальном приёмнике, показанном
на рис. 5.1, на основании сравнения функций взаимной корреляции принимается
решение о наличии сигнала S1 или S0. S0=A0Sin(ω1t+φ0).
S1=A0Sin(ω2t+φ0).
В общем случае вероятность ошибки:
. (5.4)
гдe ¾ функция Лапласа; (5.5)
- энергия разностного сигнала;
(5.6)
- односторонняя плотность мощности
белого шума; множитель m
характеризует ослабление передаваемых сигналов S1(t) и S2(t).
вероятность ошибки равна нулю.
.
Из проделанных расчетов можно
сделать вывод, что принятая приемником информация полностью соответствует
переданной.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе работы был произведен расчет
спектра различных сигналов и их энергетических характеристик, была вычислена
практическая ширина спектра каждого сигнала и выбран сигнал с наименьшей
шириной спектра. Рассчитана разрядность кода, которым может быть представлен
сигнал. Рассчитаны спектральные характеристики кодового сигнала и
амрлитудомодулированного сигнала. Рассчитана вероятность ошибки при приеме
сообщения при воздействии белого шума.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Баженов
Н.Н. Характеристики сигналов в каналах связи: методические указания к курсовому
проекту по дисциплине "Теория передачи сигнала". Омск, 2001.
2. Баженов
Н.Н., Картавцев А.С. Расчет характеристик сигналов и каналов связи:
Методические указания к курсовой работе по дисциплине "Теоретические
основы транспортной связи" / Омский инт. инж. ж.-д. транспорта. - Омск,
1990.-24 с.