Количественные характеристики надежности
Федеральное
агентство железнодорожного транспорта
Уральский
государственный университет путей сообщения
Кафедра: «А
и Т на ж/д транспорте»
Домашняя
работа
По
дисциплине:
Основы
теории надежности
Екатеринбург
Задача 1
На испытании поставлено N0 = 1600
образцов неремонтируемой аппаратуры число отказов 
фиксировалось
через каждые 100 часов работы. Требуется вычислить количественные
характеристики надежности невосстанавливаемых надежности и построить зависимости
характеристик от времени.
Решение
1. Вычислим вероятность безотказной
работы
, которая
оценивается выражением:
,
где 
- число изделий в начале испытания;
- число отказавших изделий за время
.
. Вычислим частоту отказов
:
,
где - число отказавших изделий в
интервале времени от 
до 
.
. Вычислим интенсивность отказов 
:
,
где 
- среднее число исправных
работающих изделий в интервале 
.
. Вычисляем вероятность отказов q*(t):
q*(t)=1-p*(t)
q*(100)=1- p*(100)=1-0,966=0,034
q*(200)=1- p*(200)=1-0,934=0,066
. Вычислим среднее время безотказной работы по
ниже приведенному выражению, так как испытания были прекращены до отказа всех
элементов:
,
где 
- время окончания испытаний;
- число элементов, отказавших за
время 
.
Результаты вычисления , , ,q(t) заносим в
таблицу
|
∆ti
|
n(∆ti)
|
P*(t)
|
q*(t)
|
N(cpi)
|
λ*(ti)*10(-3),
1/ч
|
f*(ti)*10^(-3),
1/ч
|
|
0-100
|
55
|
0,966
|
0,034
|
1572,5
|
0,350
|
0,344
|
|
100-200
|
50
|
0,934
|
0,066
|
1520,0
|
0,329
|
0,313
|
|
200-300
|
44
|
0,907
|
0,093
|
1473,0
|
0,299
|
0,275
|
|
300-400
|
41
|
0,881
|
0,119
|
1430,5
|
0,287
|
0,256
|
|
400-500
|
33
|
0,861
|
0,139
|
1393,5
|
0,237
|
0,206
|
|
500-600
|
32
|
0,841
|
0,159
|
1361,0
|
0,235
|
0,200
|
|
600-700
|
28
|
0,823
|
0,177
|
1331,0
|
0,210
|
0,175
|
|
700-800
|
23
|
0,809
|
0,191
|
1305,5
|
0,176
|
0,144
|
|
800-900
|
20
|
0,796
|
0,204
|
1284,0
|
0,156
|
0,125
|
|
900-1000
|
19
|
0,784
|
0,216
|
1264,5
|
0,150
|
0,119
|
|
1000-1100
|
19
|
0,773
|
0,228
|
1245,5
|
0,153
|
0,119
|
|
1100-1200
|
18
|
0,761
|
0,239
|
1227,0
|
0,147
|
0,113
|
|
1200-1300
|
19
|
0,749
|
0,251
|
1208,5
|
0,157
|
0,119
|
|
1300-1400
|
18
|
0,738
|
0,262
|
1190,0
|
0,151
|
0,113
|
|
1400-1500
|
19
|
0,726
|
0,274
|
1171,5
|
0,162
|
0,119
|
|
1500-1600
|
17
|
0,716
|
0,284
|
1153,5
|
0,147
|
0,106
|
|
1600-1700
|
16
|
0,706
|
0,294
|
1137,0
|
0,141
|
0,100
|
|
1700-1800
|
18
|
0,694
|
0,306
|
1120,0
|
0,161
|
0,113
|
|
1800-1900
|
17
|
0,684
|
0,316
|
1102,5
|
0,154
|
0,106
|
|
1900-2000
|
19
|
0,672
|
0,328
|
1084,5
|
0,175
|
0,119
|
Задача 2
При эксплуатации системы автоматики было
зафиксировано n=25+j+2*k=34
отказов (j - номер варианта, k
- номер группы) в течении t=(600+j+2*k)=609
часов. При этом распределение отказов по элементам и время, затраченное на их
устранение (время восстановления), приведены в таблице.
Время, затраченное на проследование к месту
отказа и профилактику, в среднем больше времени восстановления в 1,6 раза.
|
Элементы
системы
|
Количество
отказов ni
|
Время
восстановления tв, мин
|
Суммарное
время восстановления ti,мин
|
|
П/п
элементы
|
6
|
36
|
|
|
|
26
|
|
|
|
27
|
161
|
|
|
24
|
|
|
|
25
|
|
|
|
23
|
|
|
Реле
|
3
|
16
|
|
|
|
18
|
48
|
|
|
14
|
|
|
Резисторы
|
11
|
−
|
118
|
|
Конденсаторы
|
13
|
−
|
180
|
|
Провода
|
9
|
−
|
90
|
|
Пайки
|
3
|
−
|
124
|
Требуется определить:
· Среднее время восстановления T*вс;
· Среднюю наработку на отказ - T0;
· Коэффициент готовности (kr),
использования (kи),
простоя (kп);
Решение
1. Определяем среднее время
восстановлении системы tвj для групп
элементов по выражению 
В результате вычислений имеем:
tв.э.=(36+26+27+24+25+23)/6=26,83
мин.
tв.реле=(16+18+14)/3=16
мин.
tв.рез.=118/11=10,73
мин.
tв.к.=180/13=13,85
мин.
tв.пр.=90/9=10
мин.
tв.п.=124/3=41,33
мин.
Определяем среднее время восстановления системы
. Определяем среднюю
наработку на отказ 
по формуле
3. Определяем коэффициенты готовности,
использования и простоя
;
.
Задача 3
В результате анализа данных об
отказах системы определена частота отказов 
. Требуется определить все
количественные характеристики надежности 
, 
,
,f(t), fср(t). Построить
графики , , f(t), fср(t).
Решение
1. Вычислим среднюю наработку до первого отказа:
2. Определяем частоту отказов:
3. Определим зависимость интенсивности отказов
от времени:
4. Определим зависимость
параметра потока отказов 
от времени:
Для отыскания оригинала 
находим
обратное преобразование Лапласа функции
|
t
|
P(t)
|
f(t)*10^(-6),1/ч
|
λ(t)*10^(-6),
1/ч
|
fср(t)*10^(-6),
1/ч
|
|
0
|
1,000
|
0
|
0
|
0
|
|
100000
|
0,987
|
0,241
|
0,244
|
0,242
|
|
200000
|
0,954
|
0,403
|
0,422
|
0,411
|
|
300000
|
0,909
|
0,506
|
0,557
|
0,528
|
|
400000
|
0,855
|
0,566
|
0,662
|
0,610
|
|
500000
|
0,796
|
0,594
|
0,746
|
0,668
|
|
600000
|
0,737
|
0,600
|
0,814
|
0,708
|
|
700000
|
0,677
|
0,589
|
0,870
|
0,736
|
|
800000
|
0,619
|
0,567
|
0,916
|
0,755
|
|
900000
|
0,564
|
0,538
|
0,955
|
0,769
|
|
1000000
|
0,512
|
0,505
|
0,987
|
0,778
|
|
1100000
|
0,463
|
0,470
|
1,015
|
0,785
|
|
1200000
|
0,418
|
0,434
|
1,039
|
0,789
|
|
1300000
|
0,376
|
0,398
|
1,059
|
0,793
|
|
1400000
|
0,338
|
0,364
|
1,077
|
0,795
|
Задача 4
В результате эксплуатации N=1600
восстанавливаемых изделий получены следующие статистические данные об отказах,
представленные в таблице. Число отказов 
фиксировалось через 
часов.
Необходимо определить:
среднюю наработку до первого отказа
изделия Tср;
вероятность безотказной работы P(t);
среднюю частоту отказов (параметр
потока отказов) fср(t);
частоту отказов f(t);
интенсивность отказов λ(t).
Решение
,
где - число изделий в начале испытания;
- число отказавших изделий за время
. Вычислим среднюю частоту отказов
:
,
где - число отказавших изделий в
интервале времени от до
. Вычислим интенсивность отказов :
,
где - среднее число исправных
работающих изделий в интервале . надежность
элемент система триггер
4. Вычислим среднее время безотказной работы по
ниже приведенному выражению, так как испытания были прекращены до отказа всех
элементов:
,
где - время окончания испытаний;
- число элементов, отказавших за
время .
Результаты вычисления 
заносим в
таблицу
|
∆ti,
ч
|
n(∆ti)
|
P(t)
|
fср(t)*10^(-3),
1/ч
|
λ(t)*10^(-3),
1/ч
|
N(cpi)
|
|
0-200
|
59
|
0,963
|
0,184
|
0,188
|
1570,5
|
|
200-400
|
53
|
0,930
|
0,166
|
0,175
|
1514,5
|
|
400-600
|
48
|
0,900
|
0,150
|
0,164
|
1464
|
|
600-800
|
44
|
0,873
|
0,138
|
0,155
|
1418
|
|
800-1000
|
40
|
0,848
|
0,125
|
0,145
|
1376
|
|
1000-1200
|
37
|
0,824
|
0,116
|
0,138
|
1337,5
|
|
1200-1400
|
34
|
0,803
|
0,106
|
0,131
|
1302
|
|
1400-1600
|
32
|
0,783
|
0,100
|
0,126
|
1269
|
|
1600-1800
|
30
|
0,764
|
0,094
|
0,121
|
1238
|
|
1800-2000
|
28
|
0,747
|
0,088
|
0,116
|
1209
|
|
2000-2200
|
28
|
0,729
|
0,088
|
0,119
|
1181
|
|
2200-2400
|
27
|
0,713
|
0,084
|
0,117
|
1153,5
|
|
2400-2600
|
27
|
0,696
|
0,084
|
0,120
|
1126,5
|
|
2800-3000
|
26
|
0,663
|
0,081
|
0,121
|
1073
|
|
3000-3200
|
26
|
0,646
|
0,081
|
0,124
|
1047
|
|
3200-3400
|
26
|
0,630
|
0,081
|
0,127
|
1021
|
|
3400-3600
|
26
|
0,614
|
0,081
|
0,131
|
995
|
|
3600-3800
|
25
|
0,598
|
0,078
|
0,129
|
969,5
|
|
3800-4000
|
25
|
0,583
|
0,078
|
0,132
|
944,5
|
Задача 5
Произвести (выполнить) полный расчет надежности
триггера, при следующих параметрах элементов:
R1,
R9
- МЛТ - 0,25 - 10 кОм;
R2,
R8
- МЛТ - 0,5 - 5,1 кОм;
R3,
R7
- МЛТ - 0,5 - 3,0 кОм;
R4,
R5
- МЛТ - 0,25 - 1,5 кОм;
R6
- МЛТ - 1 - 120 кОм;
VT1, VT2
- МП 42А;
С1, С5 - МБМ - 1000 пФ;
С2, С4 - КМ - 300 пФ;
С3 - К50 - 6 - 0,1 мкФ;
VD1, VD2
- Д9А
Температура внутри блока, где установлен триггер
- 30оС
Условия эксплуатации: стационарные (полевые)
Напряжение питания триггера Uп=
-10 В
Принципиальная схема триггера
Необходимо найти интенсивность отказа,
вероятность безотказной работы и среднее время работы до первого отказа
триггера, если отказы его элементов распределены по экспоненциальному закону.
Произвести анализ полученных результатов и дать
рекомендации по повышению надежности.
Решение
Окончательный расчет надежности производится на
завершающей стадии проектирования, когда определены типы, номиналы и режимы
работы всех элементов.
Известно, что интенсивность отказов элементов
зависит от режимов их работы, температуры окружающей среды, вибрации и т.д.
Зависимость интенсивности отказов элементов от величины электрической нагрузки
определяется с помощью коэффициента нагрузки.
1. Определим коэффициент нагрузки
резисторов:
Интенсивность
отказов резисторов:
2. Определим коэффициент нагрузки
диодов:
Интенсивность
отказов диодов:
3. Коэффициент нагрузки
конденсаторов:
Интенсивность
отказов конденсаторов:
4. Коэффициент нагрузки транзистора:
Интенсивность
отказов транзистора:
5. Суммарная интенсивность отказов:
6. Вероятность безотказной работы за 1000 часов:
7. Среднее время работы до первого отказа
триггера, если отказы его распределены по экспоненциальному закону:
Полученные результаты занесем в
таблицу.
Вывод: Из
уточненного расчета следует, что использование облегченных режимов работы
элементов и щадящих условий эксплуатации позволяет значительно повысить
надежность проектируемой аппаратуры.
Задача 6
Задана структурная схема для расчета надежности
системы представлены на рис по известным интенсивностям отказов ее элементов
предполагая, что отказы распределены по экспоненциальному закону. Определить:
Вероятность безотказной работы системы;
Интенсивность отказа узла системы
Среднее время наработки до первого отказа
системы.
Узлы в системе можно представить, с точки зрения
надежности, как последовательно, так и параллельно соединенные элементы.
Так, например вероятность безотказной работы
последовательно соединенных элементов можно определить как произведение
вероятностей безотказной работы каждого элемента:
Pc(t)=P1(t)*P2(t)
а вероятность отказа qc(t)=1-Pc(t)
= 1- P1(t)*P2(t)
А вероятность безотказной работы параллельно
соединенных элементов можно найти так:
qc(t)=
q1(t)*q2(t);
Pc(t)=1-
qc(t);
Pc(t)=1-
(1- P1(t))(1-
P2(t))
Вероятность безотказной работы i
элемента можно найти по формуле:
Если воспользоваться вышеуказанными
правилами вычисления вероятностей безотказной работы для последовательно и
параллельно соединенных элементов, то вероятность безотказной работы узла
системы (обведенного пунктиром) можно найти по формуле:
Аналогично для нижней ветви системы:
Соответственно вероятность
безотказной работы системы находится по следующему выражению:
Среднее время работы до первого
отказа узла системы можно определить по формуле:
Частота отказов узла системы может
быть найдена по формуле:
Интенсивность отказов узла системы в
свою очередь равна:
