Исследование и расчет двухполюсников и четырехполюсников
Кафедра
«Системы передачи информации»
Расчетно-пояснительная
записка к курсовой работе
Исследование
и расчет двухполюсников и четырехполюсников
по дисциплине
«Теория линейных электрических цепей»
Введение
Двухполюсник,
четырехполюсник, реактивное сопротивление, синтез, анализ, основная матрица А,
характеристические, повторные и рабочие параметры.
Объектом исследования является четырехполюсник, состоящий из нескольких
двухполюсников.
Цель работы - синтез схем заданных реактивных двухполюсников, входящих в
состав исследуемого четырехполюсника; расчет собственных параметров
четырехполюсника, а также его рабочих параметров.
1. Синтез
реактивных двухполюсников
В
соответствии с заданием сопротивления двухполюсников, входящих в исследуемый
четырехполюсник, имеют следующий вид:
(1.1)
(1.2)
1.1
Синтез двухполюсника 
Так как оператор р входит в сопротивление во второй степени, то искомый
двухполюсник состоит из двух элементов. Он имеет один резонанс. Чтобы
определить класс двухполюсника, подставим вместо р ноль и бесконечность. При
частоте равной нулю и бесконечности, сопротивление нашего двухполюсника равно
бесконечности. Отобразим это на характеристической строке.
Рисунок
1.1 - Характеристическая строка двухполюсника 
Схема
класса ∞ - ∞. Реализовать ее можно единственным способом:
Рисунок
1.2 - Реализация двухполюсника
Теперь
рассчитаем элементы данной схемы.
Приравняем
данное выражение к сопротивлению нашего двухполюсника и получим систему уравнений,
решив которую найдем элементы нашего двухполюсника
(1.3)
Из выражения (1.3) видно следующее:
По
полученным значениям вычислим резонансную частоту ωРЕЗ1.
Возьмем
несколько частот и вычислим на них значение сопротивления, для получения
частотной зависимости 
.
Таблица
1.1 - Частотная зависимость 
|
ƒ,
Гц
|
0
|
795,8
|
1591,5
|
2387,3
|
3183,1
|
4501,6
|
4774,6
|
6366,2
|
7957,7
|
∞
|
|
ω,рад/с
|
0
|
5000
|
10000
|
15000
|
20000
|
28284,3
|
30000
|
40000
|
50000
|
∞
|
|
Z1,Ом
|
-j·∞
|
-10850j
|
-4900j
|
-2683j
|
-1400j
|
0
|
233,3j
|
1400j
|
2380j
|
j·∞
|
График частотной зависимости Z1(w) представлен на рисунке 1.3.
Рисунок
1.3 - Частотная зависимость Z1(w)
1.2
Синтез двухполюсника 
Подставив
в операторное выражение вместо 
ноль и
бесконечность, получим, что и при нуле сопротивление равно нулю, а при
бесконечности сопротивление равно бесконечности, и так как наибольшая степень в
сопротивлении двухполюсника «3», то он имеет две резонансные частоты. Отобразим
это на характеристической строке.
Рисунок
1.4 - Характеристическая строка двухполюсника 
Схема
класса 0 - ∞, трёхэлементная. Реализовать ее можно двумя способами, а
именно схемами Фостера I и II родов, а схемы Кауэра II и I родов соответственно
будут с ними полностью совпадать. Рассчитаем сначала элементы схемы Фостера I
рода.
Рисунок
1.5 - Первый вариант реализации двухполюсника
Теперь
рассчитаем элементы данной схемы.
Приравняем
данное выражение к сопротивлению нашего двухполюсника и получим систему
уравнений, решив которую найдем элементы нашего двухполюсника.
(1.4)
Из выражения (1.4) видно следующее:
Теперь построим схему Фостера II рода.
Рисунок
1.6 - Второй вариант реализации двухполюсника 
Рассчитаем
элементы данной схемы. Приравняем полученное ранее выражение к сопротивлению
нашего двухполюсника и получим систему уравнений, решив которую найдем элементы
нашего двухполюсника.
(1.5)
Из выражения (1.5) видно следующее:
Для
реализации на лабораторных стендах удобнее выбрать схему Фостера II-го
рода, так как значения номиналов её элементов имеют меньше дробных частей.
По
полученным значениям вычислим резонансные частоты ωРЕЗ1 и ωРЕЗ2.
Возьмем
несколько частот и вычислим на них значение сопротивления, для получения
частотной зависимости 
.
Таблица
1.2 - Частотная зависимость
|
ƒ,
Гц
|
0
|
795,8
|
1591,5
|
2054,6
|
2387,3
|
3183,1
|
3978,9
|
4109,4
|
4774,6
|
6366,2
|
7957,7
|
∞
|
|
ω,рад/с
|
0
|
5000
|
10000
|
12909,6
|
15000
|
20000
|
25000
|
25819,9
|
30000
|
40000
|
50000
|
∞
|
|
Z2,Ом
|
0
|
169,9j
|
637,5j
|
j·∞
|
-851,8j
|
-171,4j
|
-17,1j
|
0
|
71,6j
|
195,3j
|
294,6j
|
j·∞
|
График частотной зависимости Z2(w) представлен на рисунке 1.7.
Рисунок
1.7 - Частотная зависимость Z2(w)
2.
Расчет входных сопротивлений четырехполюсника в режимах холостого хода и
короткого замыкания
Рассматриваемый
четырехполюсник, состоит из оптимально выбранных двухполюсников, в соответствии
со схемой замещения, указанной в задании.
Рисунок
2.1 - Схема исследуемого четырехполюсника
.1 Входное
сопротивление четырехполюсника в режиме холостого хода при прямом направлении
передачи энергии
(2.1)
Чтобы
привести выражение для сопротивления холостого хода к каноническому виду решим
уравнение в знаменателе.
Таким
образом, окончательно выражение 2.1 будет иметь следующий вид:
.2 Входное
сопротивление четырехполюсника в режиме короткого замыкания при прямом
направлении передачи энергии
(2.2)
Чтобы
привести выражение для сопротивления короткого замыкания к каноническому виду
необходимо решить уравнения в числителе и знаменателе. Но уравнение из
знаменателя было решено нами выше, поэтому решим уравнение в числителе. Так как
уравнение в числителе бикубическое, решим его с помощью программного пакета MathCad.
Окончательно выражение 2.2 будет иметь следующий вид:
Сведем значения для получения частотной зависимости в таблицу 2.1.
Особые частоты для входных сопротивлений четырехполюсника можно найти из
канонического вида их выражений. В режиме холостого хода четырехполюсник имеет
класс ∞ - ∞ и три резонансные частоты:
В
режиме короткого замыкания четырехполюсник имеет класс ∞ - ∞ и пять
резонансных частот:
Эти
частоты нам будет необходимо отразить в таблице для частотных зависимостей 
и 
.
Таблица
2.1 - Частотные зависимости и
|
ω, рад/с
|
ƒ,
Гц
|
ZВХ.ХХ., Ом
|
ZВХ.КЗ., Ом
|
|
0
|
0
|
-j·∞
|
-j·∞
|
|
5000
|
795,8
|
-10680j
|
-10680j
|
|
10000
|
1951,5
|
-4262j
|
-4167j
|
|
11928,9
|
1898,5
|
-1934j
|
0
|
|
12000
|
1909,9
|
-1750j
|
707,8j
|
|
12100
|
1925,8
|
-1450j
|
2295j
|
|
12300
|
1957,6
|
-599,9j
|
15340j
|
|
12397,6
|
1973,1
|
0
|
j·∞
|
|
12500
|
1989,4
|
988,8j
|
-20350j
|
|
12650
|
2013,3
|
3693j
|
-10480j
|
|
12800
|
2037,2
|
13600j
|
-7848j
|
|
12909,9
|
2054,7
|
j·∞
|
-6868j
|
|
15000
|
2387,3
|
-3535j
|
-3330j
|
|
20000
|
3183,1
|
-1571j
|
-1553j
|
|
25000
|
3978,9
|
-507,2j
|
-506,5j
|
|
27774,1
|
4420,4
|
-36,0j
|
0
|
|
27800
|
4424,5
|
-31,9j
|
10j
|
|
27850
|
4376,8
|
-23,9j
|
34,5j
|
|
27900
|
4440,4
|
-15,9j
|
75,7j
|
|
28000
|
4456,3
|
0
|
j·∞
|
|
28100
|
4472,3
|
15,7j
|
-94,4j
|
|
28150
|
4480,2
|
23,6j
|
-52,7j
|
|
28200
|
4488,2
|
31,4j
|
-28,1j
|
|
28284,3
|
4501,6
|
44,7j
|
0
|
|
30000
|
4774,6
|
304,9j
|
288,1j
|
|
35000
|
5570,4
|
988,5j
|
969,1j
|
|
40000
|
6366,2
|
1595j
|
1571j
|
|
45000
|
7162,0
|
2152j
|
2124j
|
|
50000
|
7957,7
|
2675j
|
2642j
|
|
∞
|
∞
|
j·∞
|
j·∞
|
Графики
частотных зависимостей сопротивлений 
и 
представлены на рисунке 2.2.
Рисунок
2.2 - Графики зависимостей сопротивлений и
Так как четырехполюсник симметричный, то направление передачи не влияет
на результат. Вычислять входные сопротивления при обратном направлении передачи
энергии - нецелесообразно.
3. Нахождение
основной матрицы и системной функции четырехполюсника
Для нахождения матрицы (А) нам необходимо решить систему (3.1).
(3.1)
Основная
матрица исследуемого четырехполюсника имеет вид:
(3.2)
Найдем
коэффициенты матрицы (А):
(3.3)
(3.4)
Выразим
А12 в каноническом виде. Для чего решим уравнение в знаменателе:
Окончательно
выражение для А12 примет вид:
(3.5)
(3.6)
Окончательный
вид матрицы А:
Проверим
правильность нахождения коэффициентов матрицы А выполнением равенства 
. Рассчитаем определитель матрицы (А) на контрольной
частоте 10000 рад/с. При расчетах будем пользоваться выражениями для
А-параметров не в каноническом виде:
Равенство
выполняется, значит, коэффициенты найдены правильно.
Найдем
системную функцию исследуемого четырехполюсника Н(р):
(3.7)
где
ZH - сопротивление нагрузки, ZГ -
сопротивление генератора заданы соответственно 900 Ом и 600 Ом.
4. Расчет
характеристических, повторных и рабочих параметров четырехполюсника с
использованием ЭВМ
.1 Расчет
характеристических параметров ЧП
.1.1 Расчет характеристического сопротивления ЧП
Характеристическое сопротивление - это среднее геометрическое входных
сопротивлений холостого хода и короткого замыкания. Так как четырехполюсник
симметричный направление передачи не влияет на величину характеристического
сопротивления.
(4.1)
Проведем
контрольный расчет ZC на частоте 10000 рад/с:
Остальные
значения найдем с помощью программного пакета MathCad и сведем
полученные значения в таблицу 4.1.
.1.2 Расчет характеристической
постоянной передачи
Характеристическая постоянная передачи gc оценивает потери мощности в четырехполюснике и не зависит от
направления передачи энергии через него. Вещественной частью gc является постоянная затухания аc, которая показывает степень потери
мощности в четырехполюснике или степень уменьшения амплитуды тока (напряжения)
на выходе четырехполюсника по сравнению с этими величинами на его входе
(4.2)
Рассчитаем gс на контрольной
частоте 10000 рад/с:
На
остальных частотах расчет проведем с помощью программного пакета MathCad
и сведем полученные значения в таблицу 4.1.
Таблица 4.1 - Зависимость ZC, aC и bC от частоты
|
ω, рад/с
|
ƒ,
Гц
|
ZC, Ом
|
aC, дБ
|
bC, рад
|
|
0
|
0
|
-j·∞
|
∞
|
-π
|
|
5000
|
795,8
|
-10680j
|
41,99
|
-π
|
|
10000
|
1951,5
|
-4215j
|
22,48
|
-π
|
|
11928,9
|
1898,5
|
0
|
-π
|
|
12000
|
1909,9
|
1113
|
0
|
-2,575
|
|
12100
|
1925,8
|
1825
|
0
|
-2,242
|
|
12300
|
1957,6
|
3033
|
0
|
-1,766
|
|
12397,6
|
1973,1
|
3678
|
0
|
-π/2
|
|
12500
|
1989,4
|
4486
|
0
|
-1,354
|
|
12650
|
2013,3
|
6221
|
0
|
-1,035
|
|
12800
|
2037,2
|
10330
|
0
|
-0,65
|
|
12909,9
|
2054,7
|
∞
|
0
|
0
|
|
15000
|
2387,3
|
-3431j
|
18,25
|
0
|
|
20000
|
3183,1
|
-1562j
|
25,24
|
0
|
|
25000
|
3978,9
|
-506,8j
|
35,49
|
0
|
|
25819,9
|
4109,4
|
-361,5j
|
∞
|
-π
|
|
26000
|
4138,0
|
-330,3j
|
45,33
|
-π
|
|
26500
|
4217,6
|
-244,6j
|
31,38
|
-π
|
|
27000
|
4297,2
|
-160,1j
|
23,13
|
-π
|
|
27774,1
|
4420,4
|
2,29
|
0
|
-π
|
|
27800
|
4424,5
|
17,83
|
0
|
-2,631
|
|
27850
|
4376,8
|
28,73
|
0
|
-2,265
|
|
27900
|
4440,4
|
34,74
|
0
|
-2,001
|
|
28000
|
4456,3
|
39,91
|
0
|
-π/2
|
|
28100
|
4472,3
|
38,51
|
0
|
-1,183
|
|
28150
|
4480,2
|
35,27
|
0
|
-0,981
|
|
28200
|
4488,2
|
29,71
|
0
|
-0,757
|
|
28284,3
|
4501,6
|
0
|
0
|
0
|
|
30000
|
4774,6
|
296,4j
|
18,49
|
0
|
|
35000
|
5570,4
|
978,7j
|
23,05
|
0
|
|
40000
|
6366,2
|
1583j
|
24,23
|
0
|
|
45000
|
7162,0
|
2138j
|
24,81
|
0
|
|
50000
|
7957,7
|
2658j
|
25,15
|
0
|
|
∞
|
∞
|
∞
|
26,29
|
0
|
Графики частотных зависимостей характеристического сопротивления,
характеристического затухания и фазовой постоянной приведенны на рисунках
4.1-4.3 соответственно.
Рисунок
4.1 - Частотная зависимость характеристического сопротивления
Рисунок
4.2 - Частотная зависимость характеристического затухания
Рисунок
4.3 - Частотная зависимость фазовой постоянной
.2 Расчет повторных параметров четырехполюсника
Расчет повторных параметров проводить нецелесообразно, так как
четырехполюсник симметричный.
четырехполюсник
реактивных двухполюсник замыкание
4.3 Расчет
рабочих параметров четырехполюсника
Так как исследуемый четырехполюсник симметричный, то рабочие параметры не
будут зависеть от направления передачи.
.3.1 Входное
сопротивление
Входное сопротивление Zвх рассчитывается по формуле:
(4.3)
где сопротивление нагрузки Zн согласно заданию равно 900 Ом.
Рассчитаем входные сопротивления четырехполюсника на контрольной частоте w=10000 рад/с:
.3.2
Сопротивление передачи и приведенное сопротивление
Сопротивление передачи - это отношение входного напряжения к выходному
току. Сопротивление передачи вычисляется по формуле:
(4.4)
Рассчитаем
сопротивление передачи на контрольной частоте w=10000 рад/с:
В
некоторых случаях при определении условий передачи энергии от входа к выходу ЧП
требуется учитывать сопротивление генератора Zг. Тогда используют приведенное
сопротивление ЧП - отношение ЭДС генератора к току в нагрузке.
Для
прямого направления передачи энергии приведенное сопротивление Zприв
определяется по формуле:
(4.5)
где
сопротивление генератора согласно заданию равно Zг=600 Ом, а спротивление нагрузки
Zн=900 Ом. Рассчитаем приведенное сопротивление четырехполюсника на контрольной
частоте w=10000 рад/с:
.3.3 Рабочая
и вносимая постоянные передачи
Для характеристики условий передачи мощности сигналов через четырехполюсник
используют логарифмическую меру рабочего коэффициента передачи по мощности -
рабочую постоянную передачи.
(4.6)
Практическое
применение имеет вещественная часть gр - рабочее затухание.
Рабочее
затухание оценивает существующие условия передачи энергии по сравнению с
оптимальными условиями выделения мощности на нагрузке.
Вносимая постоянная передачи характеризует соотношение между мощностью,
отдаваемой генератором нагрузке, подключенной непосредственно к его зажимам и
мощностью, отдаваемой генератором нагрузке, подключенной через четырехполюсник.
Вносимая постоянная передачи gвн рассчитывается по формуле:
(4.7)
Рабочее
затухание мы находим, как действительную часть gр:
5.
Экспериментальная проверка результатов теоретических расчетов
В
соответствии с заданием на курсовую работу нам необходимо проверить зависимость
aC от частоты. Для проверки этой зависимости нам
необходимо определить методом МПТ сопротивления холостого хода и короткого
замыкания нашего четырехполюсника.
Для
измерения выберем четыре частоты из таблицы 2.1. Возьмем частоты 10000, 25000,
40000 и 50000 рад/с. По этим циклическим частотам рассчитаем линейные частоты:
На
этих частотах проведем измерения и результаты сведем в таблицу 5.1.
Таблица
5.1 - Результаты эксперимента
|
ƒ, Гц
|
Характер
|
RЭ ХХ, Ом
|
СЭ ХХ, нФ
|
RЭ КЗ, Ом
|
СЭ КЗ, нФ
|
|
1591,6
|
емк
|
1
|
22,3
|
1
|
22,45
|
|
3978,9
|
емк
|
1
|
76,3
|
1
|
77,0
|
|
6366,2
|
инд
|
106
|
463
|
106
|
437,3
|
|
7957,7
|
инд
|
106
|
605
|
106
|
578
|
Полное
сопротивление четырехполюсника найдем по следующим формулам:
- при емкостном характере
(5.1)
при
индуктивном характере
(5.2)
Затухание
фильтра определим по формуле:
(5.3)
Все
расчеты по опытным данным проведем в программной среде MathCad, а в
работе приведем только контрольный расчет на частоте 10000 рад/с:
Составим
таблицу результатов расчетов и экспериментальных данных, взяв расчетные данные
аС из таблицы 4.1.
Таблица
5.2 - Результаты расчета и эксперимента
|
ω, рад/с
|
ƒ, Гц
|
аС эксп, дБ
|
аС теор, дБ
|
|
10000
|
1591,6
|
27,76
|
22,48
|
|
25000
|
3978,9
|
29,92
|
35,49
|
|
40000
|
6366,2
|
18,46
|
24,23
|
|
50000
|
7957,7
|
19,43
|
25,15
|
В ходе проведенного эксперимента мы видим, что данные, полученные опытным
путем и данные, рассчитанные аналитически, имеют небольшое расхождение, но это
обусловлено погрешностями измерений, отсутствием идеальных характеристик у
измерительных приборов и т.д.
6. Расчет элементов эквивалентных четырехполюсников
.1 Расчет элементов пассивного эквивалентного четырехполюсника
В соответствии с заданием необходимо рассчитать элементы П- образного
четырехполюсника (рисунок 6.1) эквивалентного заданному.
Рисунок
6.1 - Схема эквивалентного четырехполюсника
Для
этого запишем матрицу (А) для П-образного четырехполюсника:
(6.1)
Приравняем
и 
, 
и 
, чтобы
получить систему уравнений и выразить сопротивления П-образного
четырехполюсника через сопротивления Т-образного четырехполюсника:
Так как сопротивление Z2 не
отвечает требованиям для физической реализации (а именно чередование «нулей» и
«полюсов» функции), то реализация такого двухполюсника невозможна.
Следовательно, реализация заданного пассивного четырехполюсника также
невозможна.
.2 Расчет
элементов активного эквивалентного четырехполюсника
Для того, что бы получить активный эквивалентный четырехполюсник,
необходимо записать системную функцию, полученную по формуле (3.7):
Далее,
нужно Н(р) расписать через произведение дробей, удобных для подбора к каждой
дроби схемы активной или RC-цепи четырехполюсника. Таким образом, мы получим ряд
схем, которые необходимо соединить каскадным способом, чтобы получить схему
требуемого эквивалентного активного четырехполюсника.
(6.2)
Реализуем
:
Выбираем
произвольно С1: 
Примем
.
Зададим
значение 
Схема
третьего каскада активного ЧП представлена на рисунке 6.2.
Рисунок
6.2 - Третий каскад активного четырехполюсника
Реализуем
:
Выбираем
произвольно С1:
Схема
второго каскада активного ЧП представлена на рисунке 6.3.
Рисунок
6.3 - Второй каскад активного четырехполюсника
Реализуем
:
Выбираем
произвольно С1:
Схема
первого каскада активного ЧП представлена на рисунке 6.4.
Рисунок
6.4 - Первый каскад активного четырехполюсника
При
реализации активного четырехполюсника остался неиспользован множитель G4,
численно равный:
Для его
компенсации необходимо использовать делитель напряжения, подключаемый к выходу
получившегося четырехполюсника. Элементы этого делителя рассчитаем по формуле:
Примем
R1 = 1000 Ом, тогда R2 = 18 Ом.
Схема
этого делителя приведена на рисунке 6.5.
Рисунок
6.5 - Выходной делитель напряжения
Схема
результирующего ARC-фильтра получается путем каскадного соединения
рассчитанных каскадов. Она изображена на рисунке 6.6.
Рисунок
6.6 - Эквивалентный активный четырехполюсник
Заключение
В ходе выполнения курсового проекта был произведен синтез схем реактивных
двухполюсников, входящих в состав исследуемого четырехполюсника, получены
выражения для коэффициентов основной матрицы типа А, рассчитаны
характеристические, повторные и рабочие параметры четырехполюсника. Для расчета
повторных и рабочих параметров была выбрана частота w=10000 рад/с.
В пояснительной записке также представлены схема исследуемого
четырехполюсника с указанием его элементов, графики частотных зависимостей,
необходимые в соответствии с заданием.
Выполнение курсового проекта способствовало закреплению теоретических
знаний по основным разделам курса- "Двухполюсники" и
"Четырехполюсники" - и появлению практических навыков, необходимых
при эксплуатации, проектировании, разработке и усовершенствовании устройств
железнодорожной автоматики, телемеханики и связи.
При выполнении курсового проекта были использованы текстовый редактор Microsoft Word ХР, графический редактор Visio 2003, математический пакет Mathcad 13.
Список
используемой литературы
1. Л. А.
Карпова, О. Н. Коваленко. Расчет характеристик двухполюсников и
четырехполюсников: Методические указания к выполнению курсовой работы по
дисциплине "Теория линейных электрических цепей" / Омский
Государственный Университет Путей Сообщения - Омск, 2006 - 42 с.
. Лэм Г.
Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация.: Учебник для вузов.- М.:
Мир, 1982.-592 с.
. Стандарт
предприятия. Курсовой и дипломный проекты. Требования к оформлению. СТП
ОмГУПС-1.2-05.- Омск: ОмГУПС, 2005.