Решение дифференциальных уравнений
Контрольная
работа №2
Вариант
4
Анастасия
Рафальская
.02.11
Задача 1
Найти общее решение дифференциальных уравнений
первого порядка с разделяющимися переменными.
Решение. Перепишем
данное уравнение в виде
Разделяем переменные:
Теперь интегрируем обе части
полученного равенства:
Это и есть искомое общее решение
уравнения.
Задача 2
Найти частное решение линейного
дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее указанному
начальному условию.
Решение. Перепишем
исходное уравнение в виде
а искомую функцию представим
в виде произведения двух других: . Тогда
Или
В этом случае исходное уравнение
сводится к виду
Интегрируя, получаем
А решение исходного уравнения примет
вид:
. (*)
Выберем константу в (*) так, чтобы
выполнялось дополнительное условие .
Следовательно, .
Таким образом, искомое частное
решение имеет вид:
Задача 3
Вычислить определенный интеграл с точностью
до 0.001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и
почленного интегрирования этого ряда.
Решение. В разложении
функции в степенной
ряд
заменим x на . Тогда
получим
Умножая этот ряд почленно на , будем
иметь
Следовательно,
Полученный числовой
знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Восьмой член
этого ряда по абсолютной величине меньше , поэтому для обеспечения требуемой
точности нужно просуммировать первые семь членов ряда и результат округлить до
0,001. Итак,
Задача 4
Студент знает ответы на 15 из 20 вопросов
программы. Какова вероятность того, что он знает ответы на все три вопроса,
предложенные экзаменатором.
Решение. Рассмотрим
события:
{студент знает ответ на первый
вопрос};
{студент знает ответ на второй
вопрос};
{студент знает ответ на третий
вопрос}.
Тогда
Вероятность того, что второй вопрос
окажется для студента известным, при условии, что он смог правильно ответить на
первый вопрос, т. е. условная вероятность события , равна
Вероятность того, что третьим будет
отобран знакомый вопрос, при условии, что уже отобраны два знакомых вопроса, т.
е. условная вероятность события , равна
Искомая вероятность того, что все
три вопроса окажутся ответными, равна
Задача 5
В группе из 18 студентов имеется 5 отличников.
Выбираются наудачу три студента. Какова вероятность того, что все они
отличники?
Решение. Рассмотрим
события:
{первый студент является
отличником};
{второй студент является
отличником};
{третий студент является
отличником}.
Тогда
Вероятность того, что второй студент
окажется отличником, при условии, что первый студент оказался отличником, т. е.
условная вероятность события , равна
Вероятность того, что третьим будет
отобран отличник, при условии, что уже отобраны два отличника, т. е. условная
вероятность события , равна
Искомая вероятность того, что все
три отобранных студента окажутся отличниками, равна
Задача 6
Дана вероятность того, что
семя злака прорастет. Найти вероятность того, что
а) из семян прорастет ровно ;
б) из семян прорастет ровно ;
в) из семян прорастет не менее , но не
более .
Решение.
А) Пусть событие { из семян
прорастет ровно }; Вероятность
можно
определить по формуле Бернулли
где - число сочетаний из элементов
по .
В нашем примере искомая вероятность
события A
Б) Вычислить
искомую вероятность по формуле
Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим
приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:
где .
Из условия задачи
.
Тогда .
Далее находим .
Искомая вероятность равна
В) Вероятность того, что
событие в таких
испытаниях наступит не менее раз и не более раз
определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:
где .
функция Лапласа.
По условию задачи . Из
приведенных выше формул находим и :
Тогда
Задача 7
Задан закон распределения двух
независимых случайных величин и . Требуется найти математическое
ожидание и дисперсию случайной величины .
Решение. Найдем
сначала математические ожидания и дисперсии случайных величин и (для
вычисления дисперсий воспользуемся универсальной формулой):
Теперь, воспользовавшись свойствами
математического ожидания и дисперсии, а также условием независимости случайных
величин и , получаем
математическое ожидание
и дисперсию
Задача 8
Непрерывная случайная величиназадана интегральной
функцией распределения
.
Найти:
) дифференциальную функцию
распределения (плотность вероятностей);
) математическое ожидание ;
) дисперсию и с.к.о. .
Построить графики и .
Решение.
) Дифференциальной функцией
распределения непрерывной
случайной величины называется
производная от интегральной функции распределения , то есть .
Искомая дифференциальная функция
имеет следующий вид:
) Если непрерывная случайная
величина задана
плотностью вероятностей , то ее математическое ожидание
определяется формулой
Так как в нашем случае функция при и при равна нулю,
то из последней формулы имеем
) Дисперсию определим,
например, по формуле
Тогда
Отсюда имеем:
Строим графики
и
Задача 9
Контролируемый размер деталей,
выпускаемых цехом, распределен по нормальному закону. Стандартная величина
размера детали (математическое ожидание) равна 30 мм, среднее квадратичное
отклонение размера составляет 3 мм.
Требуется найти:
) вероятность того, что размер
наудачу взятой детали будет больше 24 мм, но меньше 33 мм;
) вероятность того, что размер
детали отклонится от стандартной величины не более чем на 1,5 мм;
) диапазон изменения размера детали.
Решение.
1) Пусть – длина
детали. Если случайная величина задана дифференциальной функцией , то
вероятность того, что примет
значения, принадлежащие промежутку , определяется по формуле
Если , то
где - функция
Лапласа, .
У нас , то есть
) Если , то
По условию задачи , поэтому из
последней формулы получаем
3) Для нахождения диапазона
изменения длины детали воспользуемся правилом "3s":
если , то .
В рассматриваемом примере имеем
.
Задача 10
Признак представлен
таблицей, которая является выборкой его значений, полученных в результате 100
независимых наблюдений. Требуется:
1. Составить интервальное выборочное
распределение.
. Построить гистограмму относительных частот.
. Перейти от составленного интервального к
точечному выборочному распределению, взяв при этом за значения признака
середины частичных интервалов.
. Построить полигон относительных частот.
5. Вычислить все точечные выборочные
оценки числовых характеристик признака: выборочное среднее ; выборочную
дисперсию и
исправленную выборочную дисперсию ; выборочное среднее квадратичное
отклонение и
исправленное выборочное с.к.o. .
. Считая первый столбец таблицы
выборкой значений нормально распределенного признака , построить
доверительные интервалы, покрывающие неизвестные математическое ожидание и
дисперсию этого признака с надежностью .
54.2
|
58.0
|
45.0
|
46.0
|
62.2
|
63.3
|
88.8
|
46.0
|
80.5
|
62.3
|
14.0
|
25.0
|
49.0
|
25.5
|
50.0
|
48.0
|
46.5
|
59.0
|
53.0
|
52.7
|
79.0
|
67.0
|
19.3
|
59.0
|
50.5
|
57.0
|
66.8
|
82.5
|
71.0
|
38.5
|
53.9
|
52.8
|
53.7
|
73.0
|
34.0
|
36.0
|
26.4
|
56.0
|
74.4
|
61.2
|
27.8
|
54.0
|
75.2
|
27.0
|
51.8
|
51.4
|
54.8
|
82.3
|
31.0
|
60.6
|
55.3
|
62.6
|
32.4
|
46.4
|
58.4
|
55.7
|
52.8
|
53.4
|
61.5
|
51.4
|
37.5
|
54.0
|
31.0
|
43.7
|
61.5
|
51.8
|
22.4
|
39.6
|
32.4
|
41.6
|
53.5
|
30.7
|
58.0
|
72.6
|
33.3
|
66.7
|
35.2
|
47.8
|
48.0
|
73.1
|
50.3
|
80.7
|
41.1
|
73.2
|
43.3
|
34.0
|
47.0
|
50.1
|
94.0
|
67.0
|
34.0
|
47.8
|
68.8
|
26.0
|
42.8
|
46.3
|
68.8
|
45.0
|
21.8
|
34.7
|
Решение.
1) Построим интервальное выборочное
распределение значений признака. Для этого сначала отметим, что у нас , , поэтому
размах выборочных значений
.
Теперь определим длину каждого
частичного интервала (их также называют классовыми интервалами),
воспользовавшись формулой Стерджеса
,
где – объем выборки. В рассматриваемом
примере
Далее устанавливаем границы частичных
интервалов: левую границу первого интервала принимаем равной , далее
полагаем , ,…, . На этом
указанная процедура заканчивается, т.к. последующие частичные интервалы не
будут содержать выборочных значений признака.
Приступаем к распределению по
частичным интервалам выборочных значений признака, ставя в соответствие
интервалу с номером частоту как число
выборочных значений признака, попавших в интервал. При этом договоримся, что
если некоторое из выборочных значений совпадет с границей двух соседних
интервалов, то будем относить его к предыдущему из них.
В итоге реализации данных
рекомендаций получим таблицу 2, в первых двух столбцах которой разместим
искомое интервальное распределение выборки, в третьем - относительные частоты , а в
последнем четвертом - плотности
распределения относительных частот на частичных интервалах: (величины и нам
потребуются в дальнейшем).
Таблица 1
|
|
|
|
(9;
19)
|
1
|
0.01
|
0.001
|
(19;
29)
|
9
|
0.09
|
0.009
|
(29;
39)
|
14
|
0.14
|
0.014
|
(39;
49)
|
19
|
0.19
|
0.019
|
(49;
59)
|
29
|
0.29
|
0.029
|
(59;
69)
|
14
|
0.14
|
0.014
|
(69;
79)
|
8
|
0.08
|
0.008
|
(79;
89)
|
5
|
0.05
|
0.005
|
(89;
99)
|
1
|
0.01
|
0.001
|
1001.00
|
|
|
|
) Строим гистограмму относительных частот в
нашем примере, используя при этом первый и последний столбцы таблицы 1.
Гистограмма относительных частот
) Перейдем от интервального распределения
выборки к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные
значения признака середины частичных интервалов. В рассматриваемом примере
такое распределение, очевидно, имеет вид следующей таблицы 2.
Таблица 2
142434445464748494
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1914192914851
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) По полученной таблице 2 может
быть построен полигон относительных частот, который является, как и гистограмма
относительных частот, статистической оценкой кривой распределения признака. Это
ломаная линия, вершины которой находятся в точках . В
рассматриваемом случае в соответствии с первой строкой таблицы 2 и третьим
столбцом таблицы 1 полигон относительных частот имеет следующий вид.
Полигон
относительных частот
5) Определим теперь основные
числовые характеристиками признака , такие как математическое ожидание,
дисперсия и среднее квадратичное отклонение (с.к.o.). Точечными выборочными
оценками этих параметров служат соответственно выборочное среднее , выборочная
дисперсия и
исправленная выборочная дисперсия , выборочное с.к.o. и
исправленное выборочное с.к.o. , которые вычисляются по формулам
;
, где ;
;
; ,
где – выборочные значения признака , – частоты
этих значений, – объем
выборки.
Воспользовавшись перечисленными
формулами, найдем точечные выборочные оценки генеральных параметров
распределения признака , используя
при этом данные из таблицы 3.
.
. Выборочная дисперсия:
.
5. ;
) Для нормально распределенного
признака (первый
столбец исходной таблицы), представленного выборкой объема ,
доверительные интервалы, покрывающие с надежностью его
неизвестные математическое ожидание и дисперсию , имеют
соответственно вид
, ; (1)
. (2)
Величины и являются
критическими точками распределения. Их находят в зависимости от числа
степеней свободы , а также
уровней значимости и соответственно.
При заданных условиях имеем
;
Погрешность математического ожидания
при заданной надежности
Таким образом, доверительный
интервал для математического ожидания при заданной надежности
Доверительный интервал неизвестной
дисперсии , имеют соответственно
вид
Задача 11
Даны таблицы с выборками пар
значений признаков и .
. Вычислить выборочный коэффициент
корреляции и сделать
выводы о тесноте и направлении линейной корреляционной зависимости между
признаками X и Y.
. При уровне значимости проверить
гипотезу о значимости коэффициента корреляции.
. Составить выборочное уравнение
прямой регрессии Y на X, построить полученную прямую в системе
координат вместе с исходными данными и дать оценку качества регрессии,
основываясь на визуальных соображениях.
. Вычислить коэффициент детерминации
и оценить
качество регрессии.
. При уровне значимости оценить
значимость регрессии с помощью критерия Фишера.
. При уровне значимости получить
доверительные интервалы для оценки генеральных параметров регрессии и сделать
выводы об их значимости, а также о значимости регрессии.
258431395
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49126816166
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
1. Проводим вычисление выборочного коэффициента
корреляции:
Таким образом, линейная
корреляционная зависимость сильная, прямая (положительная).
. Проверяем значимость коэффициента
корреляции.
Вычисляем ошибку репрезентативности:
.
Находим и (по таблицам
приложения 6):
.
Так как , то при
уровне значимости можно утверждать
достоверность коэффициента корреляции (значимость отличия от нуля), т.е.
линейная корреляционная зависимость между рассматриваемыми признаками
существует не только в выборочной, но и в генеральной совокупности.
. Подставляем полученные результаты
в выборочное уравнение прямой регрессии
и получаем
или после простых преобразований
.
Построим и проанализировать график
прямой и исходных данных.
Прямая регрессии, построенная в
системе координат вместе с исходными данными в виде точек той же плоскости,
хорошо «притягивает» эти точки, что свидетельствует о достаточно сильной
корреляционной зависимости исходных данных.
. Находим модельные значения () отклика Y,
присоединив их к таблице исходных данных:
258431395
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49126816166
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4,868,3211,797,176,0117,5712,958,32
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь вычисляем
.
.
Полученное значение коэффициента
детерминации близко к 1,
поэтому полученное выборочное уравнение прямой регрессии хорошо (адекватно)
объясняет отклик Y.
. Исследуем зависимость с помощью
критерия Фишера:
;
.
Находим по таблицам приложения 7
.
Так как , гипотеза отвергается
и регрессия признается значимой с 95% уровнем надежности.
. Теперь построим доверительные
интервалы, покрывающие генеральные параметры регрессии и оценим значимость этих
параметров.
Вычисляем
.
Подставляем полученные результаты в
формулы для интервалов
,
В результате получаем доверительные
интервалы, покрывающие генеральные параметры регрессии с надежностью
Тот факт, что доверительный интервал
для генерального коэффициента регрессии не содержит нулевое значение, еще
раз подтверждает гипотезу о значимости регрессии.
Задача 12
На предприятии имеется сырье видов
I, II, III. Из него можно изготавливать изделия типов А и В.
Пусть запасы видов сырья на предприятии составляют , , ед.
соответственно, изделие типа А дает прибыль ден. ед., а
изделие типа В - ден. ед.
Расход сырья на изготовление одного изделия задан в условных единицах таблицей.
Составить план выпуска изделий, при
котором предприятие имеет наибольшую прибыль. Решить задачу графически и
симплексным методом.
Изделие
|
Сырье
|
|
|
|
|
|
|
I
|
II
|
III
|
40
|
34
|
46
|
1
|
2
|
А
|
2
|
1
|
3
|
|
|
|
|
|
В
|
2
|
2
|
1
|
|
|
|
|
|
Решение.
1. Составим математическую модель
задачи. Обозначим: -
количество выпускаемых изделий типа , -
количество выпускаемых изделий типа . Тогда с учетом расходов сырья на изготовление
изделия каждого типа получим следующие ограничения на и ,
учитывающие запасы сырья каждого вида:
(1)
По смыслу задачи
(2)
Прибыль предприятия
при плане , равна
. (3)
Итак, математическая модель задачи
получена: необходимо найти значения , , удовлетворяющие неравенствам (1),
(2), для которых функция (3) достигает max. Полученная задача - стандартная
задача линейного программирования.
. Решим полученную задачу
графически. Для этого введем систему координат и изобразим в ней множество решений
систем неравенств (1), (2) (область допустимых решений - ОДР) в виде множества
точек плоскости.
Условию (2) удовлетворяют точки
первой четверти. Для получения полуплоскостей, соответствующих неравенствам
системы (1), построим их границы, т.е. прямые линии:
Имя
прямой
|
Уравнение
Прямой
|
Таблица
для построения прямой
|
(а)
(б)
(в)
,333
Пересечение построенных полуплоскостей с первой
четвертью - искомая ОДР (многоугольник OABCD).
Ищем координаты вершин ОДР и значения
целевой функции F в этих вершинах:
;
;
;
;
.
Отсюда
Вывод: предприятию выгодно выпустить
17 изделий типа B () и не
выпускать изделия типа A (). При этом
его прибыль будет наибольшая и составит 34 ден. ед. Такая же прибыль будет
получена при выпуске 6 изделий типа A и 14 изделий типа B. Такая же прибыль
получается при любых реализациях , расположенных на отрезке AB:
. Решим задачу симплексным методом.
Для этого приведем стандартную задачу к каноническому виду, добавив в левые
части неравенств (1) дополнительные неотрицательные переменные , равные
разностям правых и левых частей этих неравенств и представляющие собой остатки
сырья каждого вида после реализации намеченного плана выпуска изделий. Получим
задачу:
; (4)
(5)
(6)
Выбираем в качестве базисных
добавленные переменные . Тогда
оставшиеся переменные будут свободными.
Положим и . Тогда , т.е.
получаем первое базисное решение . При этом .
АНАЛИЗ 1. Структура
целевой функции из условия
(4) позволяет утверждать, что ее значения могут быть увеличены за счет
увеличения значений как свободной переменной , так и свободной переменной (коэффициенты
при этих переменных в положительные).
Отсюда следует, что найденное базисное решение оптимальным не является.
Назначим другой набор базисных
переменных, который обеспечит увеличение значений целевой функции. С этой целью
будем увеличивать значения свободной переменной , оставляя , и
определим из системы (5), какая из базисных переменных первой
станет отрицательной (чего нельзя допустить!), и назовем ее проблемной.
Переписав систему (5) в более
удобном для анализа виде
заключаем, что проблемной является
базисная переменная из второго
равенства системы. Выводим ее из состава базисных и обмениваем ее на свободную
переменную : . В
результате новыми базисными переменными стали , а новыми свободными − . Выражаем в
системе (5) новые базисные переменные через новые свободные, начиная с ее
проблемного второго равенства. Через эти же свободные переменные выражаем
целевую функцию из условия
(4):
В результате математическая модель
решаемой задачи принимает следующий вид:
; (4')
(5')
(6)
Полагаем свободные переменные . Тогда
базисные переменные согласно системе (5') принимают значения , т.е.
получаем второе базисное решение. При этом из (4') .
АНАЛИЗ 2. Структура
целевой функции из условия
(4') позволяет утверждать, что ее значения не могут быть увеличены за счет
увеличения значений как свободной переменной , так и свободной переменной (коэффициенты
при этих переменных в не
положительные). Отсюда следует, что найденное базисное решение является
оптимальным: . При этом .
Поскольку F не зависит от свободной
переменной , то ее
увеличение не влияет на размер прибыли, так что найденное решение не является
единственным.
Ответ. Для
получения максимальной прибыли в количестве 34 ден. ед. предприятие должно
выпустить 17 изделий типа B и не выпускать изделия типа A, либо выпустить 2, 4
или 6 изделий типа А и 16, 15 или 14 изделий типа B соответственно. При этом
соответствующие остатки сырья приведены в следующей таблице:
Выпущено
изделий
|
Остатки
сырья
|
A
|
B
|
I
|
II
|
III
|
0
|
17
|
6
|
0
|
29
|
2
|
16
|
4
|
0
|
24
|
4
|
15
|
2
|
0
|
19
|
6
|
14
|
0
|
0
|
14
|
Задача 13
уравнение интеграл вероятность
дисперсия
Методом потенциалов решить следующую
транспортную задачу.
На трех базах имеется
однородный груз в количествах условных единиц соответственно.
Этот груз требуется перевезти в четыре пункта потребления в
количествах условных
единиц соответственно. Стоимости перевозок единицы груза от поставщиков
потребителям указаны в матрице стоимостей С.
Спланировать перевозки так, чтобы их
общая стоимость была минимальной.
244.
|
а1
= 90, а2 = 40, а3 = 70; b1 = 85, b2 = 37, b3 = 40, b4 = 38.
|
|
Решение. Эта задача
является закрытой транспортной задачей, так как . Для ее решения воспользуемся
таблицей, в которой будем составлять последовательно планы перевозок.
Составим первый план перевозок. В
этом плане отличными от нуля перевозками могут быть лишь значений
(базисные переменные), где m -
число поставщиков, n -
число потребителей. Остальные значения заведомо равны нулю
(свободные переменные). Будем их в таблице помечать прочерком.
Для составления плана последовательно
заполняют клетки таблицы так, чтобы на каждом шаге исчерпывалась или
потребность какого-либо потребителя, или возможность какого-либо поставщика. В
соответствующем столбце или строке ставят в остальных пустых клетках прочерки. Если
при этом одновременно исчерпывается и потребность и возможность, то
вычеркивается что-то одно (столбец или строка). При таком построении плана
перевозок заполненными окажутся ровно клетки, а остальные прочеркнутся.
При построении первого плана
(таблица 2) начнем с клетки с наименьшими затратами и на каждом
шаге будем выбирать такого типа клетку (метод наименьших затрат). Значения будем
записывать в левом верхнем углу клетки. В ее центре будем проставлять значения .
Заполняем клетку (14), так как - наименьшее, значением . При этом
вычеркивается четвертый столбец.
На втором шаге заполняем клетку
(31), т.к. - наименьшее, значением . При этом
вычеркивается третья строка.
В оставшихся клетках наименьшее , поэтому
заполняем клетку (13) значением . При этом вычеркивается третий
столбец.
На четвертом шаге заполняем клетку
(21), т.к. - наименьшее, значением . При этом
вычеркивается первый столбец.
На следующем шаге заполняем клетку
(12), т.к. - наименьшее, значением . При этом
вычеркивается первая строка.
Оставшуюся клетку (22) с , заполняем
оставшимся значением . При этом
таблица становится полностью заполненной.
Число заполненных клеток при этом
составляет . Стоимость
перевозок F при данном
плане=2·12+1·40+0·38+2·15+4·25+1·70=24+40+30+100+70=264 (ден. ед.)
Для проверки оптимальности
полученного плана воспользуемся методом потенциалов. Введём строку потенциалов и столбец
потенциалов . Полагаем , а
остальные и найдём так,
чтобы для заполненных клеток выполнялись равенства
.
Вычисляем оценки прочеркнутых клеток
по формулам
.
Таблица 3
85374038
|
|
|
|
|
|
90
|
5
|
5
|
2
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
-
|
12
|
40
|
38
|
|
40
|
2
|
0
|
4
|
0
|
3
|
0
|
6
|
4
|
-
2
|
|
15
|
25
|
-
|
-
|
|
70
|
1
|
0
|
3
|
0
|
4
|
2
|
2
|
1
|
-
1
|
|
70
|
-
|
-
|
-
|
|
0-2-10
|
|
|
|
|
|
Оценки клеток будем записывать в
правых верхних углах клеток. Для оптимального плана должно выполняться условие для всех
клеток.
Таким образом, построенный нами план
перевозок является оптимальным.
По этому плану поставщик перевозит
12 ед. потребителю , 40 ед.
потребителю , 38 ед.
потребителю ; поставщик - 15 ед. потребителю , 25 ед.
потребителю ; поставщик А3
- 70 ед.
потребителю .
Так как среди оценок в
прочеркнутых клетках есть нули, это говорит о том, что оптимальный план не
единственный.
Задача 14
Двум предприятиям выделено единиц
средств на 4 года. Как распределить эти средства между ними для получения
максимального дохода, если в первый год средства распределяются между
предприятиями в полном объеме, во второй год распределяется неосвоенная за
первый год часть средств (остаток) и т.д., а также известно, что
доход от единиц
средств, вложенных на год в первое предприятие, равен ;
доход от единиц
средств, вложенных на год во второе предприятие, равен ;
остаток средств к концу года на
первом предприятии составляет ;
остаток средств к концу года на
втором предприятии составляет .
Номер
задачи
|
|
|
|
|
|
13.
|
1000
|
3x
|
0,1x
|
2y
|
0,5y
|
Решение.
Решим эту задачу методом динамического программирования.
Пусть в начале года (произвольного)
мы должны распределить единиц
средств. Обозначим через средства,
выделяемые второму предприятию. Тогда первое получит ед.
средств. Обозначим суммарный доход за этот год при таком распределении через . Очевидно,
.
Остаток средств через год обозначим
через . Очевидно,
.
Здесь состояние системы в начале
года определяется имеющимися средствами, т.е. числом , а
управление - способом
распределения средств, т.е. числом . Для состояния при
управлении система к
концу года перейдет в состояние, определяемое остатком средств, т.е. значением .
Обозначим характеристику состояния в начале
года через , а условное
оптимальное управление для этого состояния через . Тогда для
.
Так как функция убывает по
переменной на отрезке , то ее
наибольшее значение достигается при , т.е.
,
где -
условное оптимальное управление на четвертом этапе.
Для справедливо рекуррентное
соотношение
,
поэтому для имеем
.
Функция возрастает
по на отрезке , поэтому
.
Для
Функция возрастает
по поэтому ее
максимальное значение на отрезке достигается при , т.е.
.
Для
.
Функция возрастает
по, поэтому
.
Теперь вычисляем
(ед.).
Получили наибольший суммарный доход,
который может быть получен при заданных условиях за 4 года. При этом средства
следует распределять следующим образом: в первые три года все отдавать второму
предприятию , а в
последний год - первому
предприятию .