Комплексные числа

Комплексные числа

Введение

Рассмотрев тему «комплексные числа» на занятиях высшей математики мы заинтересовались данной темой и решили углубить свои познания в этой области.

Большое значение комплексных чисел в математике и её приложениях широко известно. Их изучение имеет самостоятельный интерес. Алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

История комплексных чисел

Древнегреческие математики считали "настоящими" только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как

Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что "… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида  кубические и квадратные корни

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (), а если оно имеет три действительных корня (), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени  нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что . Кардано называл такие величины "чисто отрицательными" и даже "софистически отрицательными", считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название "мнимые числа" ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа  (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин "комплексные числа" так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707)

С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

"Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств" Л. Карно.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число  точкой  на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой M, а вектором , идущим в эту точку из начала координат.

При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор  можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом j, который он образует с положительным направлением оси абсцисс.

При этом ,  и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число  называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если , значение ArgZ не определено, а при  оно определено с точностью до кратного .

Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде  (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании "гиперкомплексных" чисел - чисел с несколькими "мнимыми" единицами.

Такую систему вида

где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их "кватернионами".

Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, , а . Гиперкомплексные числа не являются темой этого реферата, поэтому лишь упомянем об их существовании.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b - действительные числа , а i - число нового рода, называемое мнимой единицей.

“Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b - ординатой комплексного числа a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i*i равно -1, т.е.

i2= -1

Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами - в частности правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.

Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

отрезок комплексный число

Соглашение о комплексных числах

1. Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a - 0i).

Примеры. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись -2 + 0i означает -2.

2. Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi.

3. Два комплекных a + bi, a’ + b’i считаются равными, если у них соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если a = a’, b = b’.

4. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство: 2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы i = 2, тогда как i не должно быть действительным числом.

Замечание. Мы еще не определили, что такое сложение комплексных чисел. Поэтому, строго говоря, мы ещё не в праве утверждать, что число 2 + 5i есть сумма чисел 2 и 5i. Точнее было бы сказать, что у нас есть пара действительных чисел: 2 (абсцисса) и 5 (ордината); эти числа порождают число нового рода, условно обозначаемое 5 + 7i.

Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называют комплексное число (a + a’) + (b + b’)i.

Это определение подсказывается правилами действий с обычными многочленами.

Пример 1. (-3 + 5i) + (4 - 8i) = 1 - 3i

Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 - 3i) = - 4

В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Замечание. Теперь, когда действие сложения определено, мы имеем право рассматривать комплексное число a + bi как сумму чисел a и bi. Так, число 2 и число 5i в сумме дают число 2 + 5i.

Вычитание комплексных чисел.

Оп ределение.

Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a - a’) + (b - b’)i.

Пример 1. (-5 + 2i) - (3 - 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) - (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

Умножение комплексных чисел.

Определение умножения комплексных чисел устанавливается с таким расчетом, чтобы 1) числа a + bi и a’ + b’i можно было перемножать, как алгебраические двучлены, и чтобы 2) число i обладало свойством i 2= - 1. В силу требования 1) произведение (a + bi)(a’ + b’i) должно равняться aa’ + (ab’ + ba’)i + bb’i2 , а в силу требования 2) это выражение должно равняться (aa’ - bb’) + (ab’ + ba’)i. В соответствии с этим устанавливается следующее определение.

Определение. Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число (aa’ - bb’) + (ab’ + ba’)i.

Замечание 1. Равенство i2 = -1 до установленного правила умножения комплексных чисел носило характер требования. Теперь оно вытекает из определения. Ведь запись i 2 , т. е. i*i, равнозначна записи (0 + 1*i)(0 + 1*i). Здесь a = 0, b = 1, a’ = 0, b’ = 1 Имеем aa’ - bb’ = -1, ab’ + ba’ = 0, так что произведение есть -1 + 0i, т. е. -1.

Замечание 2. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2 = -1.

Пример 1. (1 - 2i)(3 + 2i) = 3 - 6i + 2i - 4i 2 = 3 - 6i + 2i + 4 = 7 - 4i.

Пример 2. (a + bi)(a - bi) = a2 + b 2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.

В соответсвии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

Опредление. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i - значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Если делитель не равен нулю, то деление всегда возможно, и частное единственно (доказательство смотри в замечании 2). На практике частное удобнее всего находить следующим образом.

Пример 1. Найти частное (7 - 4i):(3 + 2i).

Записав дробь (7 - 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 - 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:

((7 - 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 - 2i)) = (13 - 26i)/13 = 1 - 2i.

Пример 2. (-2 +5i)/(-3 -4i) = ((-2 + 5i)(-3 - 4i))/((-3 - 4i)( -3 + 4i)) = (-14 -23i)/25 = -0,56 - 0.92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’. Получим a + bi.

Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел

Пусть векторы ОМ и ОМ’ (рис. 1) изображают комплексные числа z= x + yi u z’ = x’ + y’i. Из точки М проведем вектор МК, равный OM’. Тогда вектор ОК изображает сумму данных комплексных чисел.

Построенный указанным образом вектор ОК называется геометрической суммой векторов ОМ и ОМ’.

Итак, сумма двух комплексных чисел представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые.

Длина стороны ОК треугольника ОМК меньше суммы и больше разницы длин ОМ и МК. Поэтому

||z| - |z’|| < |z + z’| < |z| + |z’|.

Рис. 1

Равенство имеет смысл только в тех случаях, когда векторы ОМ и ОМ’ имеют одинаковые или противоположные направления. В первом случае |OM| + |OM’| = |OK|, т. е. |z +z’|=|z| + |z’|. Во втором случае |z + z’|=||z| - |z’||.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Длина отрезка

При заданной прямоугольной декартовой системе координат на плоскости комплексному числу z = x+iy (i2= -1) можно взаимно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами х, у (рис.1)

Рис. 2

.

Число z тогда называют комплексной координатой точки М.

Поскольку множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с рис. 2 множеством комплексных чисел, то эту плоскость называют

также плоскостью комплексных чисел. Начало О декартовой системы координат называют при этом начальной или нулевой точкой плоскости комплексных чисел.

При у=0 число z действительное. Действительные числа изображаются точками оси х, поэтому она называется действительной осью. При х=0 число z чисто мнимое: z=iy. Мнимые числа изображаются точками оси у, поэтому она называется мнимой осью. Нуль - одновременно действительное и чисто мнимое число.

Paccтoяниe от начала О плоскости до точки М(z) называется модулем комплексного числа z и обозначается |z| или r

|z| = r = |OM| = .

Если  - ориентированный угол, образованный вектором с осью х, то по определению функции синуса и косинуса

откуда  и поэтому .

Такое представление комплексного числа z называется его тригонометрической формой. Исходное представление z=x+iy называют алгебраической формой этого числа. При тригонометрическом представлении угол  называют аргументом комплексного числа и обозначают еще через arg z:

.

Если дано комплексное число z=x+iy, то число  называется комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) этому числу z. Тогда, очевидно, и число z сопряжено числу . Точки М(z) и  симметричны относительно оси х (рис.2).

Из равенства следует y=0 и обратно. Это значит, что число, равное своему сопряженному, является действительным и обратно.

Рис. 3

Рис. 4

Точки с комплексными координатами z и -z симметричны относительно начальной точки О (рис.3). Точки с комплексными координатами z и  симметричны относительно оси у. Из равенства z= вытекает x=0 и обратно. Поэтому условие z= является критерием чисто мнимого числа. Для любого числа z, очевидно, |z| = || = |-z| = ||.

Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами

Число, сопряженное с суммой, произведением или же частным комплексных чисел, есть соответственно сумма, произведение или же частное чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Эти равенства можно легко проверить, пользуясь формулами для операций над комплексными числами. Каждой точке М(z) плоскости - взаимно однозначно соответствует вектор . Поэтому комплексные числа можно интерпретировать векторами, приложенными к точке O. Сложению и вычитанию комплексных чисел отвечает сложение и вычитание соответствующих им векторов. Именно если а и b - комплексные координаты точек A и В соответственно, то число с=а+b является координатой точки С, такой, что  (рис.4). Комплексному числу d=a-b соответствует такая точка D, что .

Расстояние между точками А и В равно :

|АВ| = |а-b|

Так как |z|2= z, то

|AB|2=(a-b)()

Уравнение z= r2 определяет окружность с центром О радиуса r. Отношение , в котором точка С делит данный отрезок АВ, выражается через комплексные координаты этих точек так:

откуда

Если положить  и , то

Условия (4) необходимы и достаточны для того, чтобы точки А, В, С были коллинеарны. При точка С является серединой отрезка AB, и обратно. Тогда:

c =

Пусть имеем параллелограмм ABCD. Его центр имеет комплексную координату  =  при условии, что точки А, В, С, D имеют соответственно комплексные координаты а, b, с, d. Если не исключать случай вырождения параллелограмма, когда все его вершины оказываются на одной прямой, то равенство a+c = b+d (5) является необходимым и достаточным условием того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.

                  C

    B                                                              B                          C

 N        M                                                     MЬ            

A                                D                             A                                          D

Рис. 5                                             Рис. 6

Задача 1. Точки М и N - середины диагоналей АС и BD четырехугольника ABCD. (Рис.5)

Доказать, что |AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2 = |AC|2+|BD|2+4|MN|2.

Решение. Пусть точкам A, В, С, D, М, N соответствуют комплексные числа а, b, с, d, т, п.

Так как m =  и n = , то

|AB|2+|BC|2+|CD|2+|DA|2

|AC|2+|BD|2+4|MN|2

Равенство доказано.

Задача 2. Доказать, что если в плоскости параллелограмма ABCD существует такая точка М, что |MA|2+|MC|2=|MB|2+|MD|2, тo ABCD - прямоугольник. (Рис.6)

Решение. Если за начальную точку принять центр параллелограмма ABCD, то при принятых ранее обозначениях с= -a, d= -b, и поэтому данное в условии равенство будет эквивалентно равенству , которое означает, что диагонали параллелограмма равны, т. е. он прямоугольник.

Уравнение высших степеней, уравнение деления круга на пять частей

В основе решения уравнений выше второй степени лежит теорема о рациональных корнях многочлена

Если несократимая дробь p/q является корнем многочлена P(x)= с целыми коэффициентами, то её числитель p является делителем свободного члена, а знаменатель q - делителем старшего коэффициента .

Для доказательства достаточно подставить в ур-е P(x)=0 x=p/q и умножить ур-е на . Получим

Все слагаемые в левой части, кроме последнего, делятся на р, поэтому и делится на р, а поскольку q и р - взаимно простые числа, р явл-ся делителем . Доказательство для q аналогично.

С помощью этой теоремы можно найти все рациональные корни ур-я с целыми коэфф-ми испытанием конечного числа «кандидатов». Например, для ур-я , старший коэфф-т которого равен 1, «кандидатами» будут делители числа -2. Их всего четыре: 1, -1, 2, -2. Проверка покажет, что корнем явл-ся только одно из этих чисел: .

Если один корень найден, можно понизить степень ур-я. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена P(x) на двучлен х-с равен P(c), т.е. Р(х)=(х-с)Q(х)+Р(с).

Из теоремы непосредственно следует, что

Если с - корень многослена Р(х), то многочлен делится на х-с, т.е. Р(х)=(х-с)Q(х), где Q(x) - многочлен степени, на 1 меньшей, чем Р(х).

Продолжая наш пример, вынесем из многочлена  множитель . Чтобы найти частное Q(x), можно выполнить деление «уголком», как показано на рис. 7. Но есть и более простой способ. Он станет понятен из примера:

Теперь остаётся решить квадратное уравнение х2 + х-1=0. Его корни:

Если у многочлена с целыми коэффициентами рациональных корней не оказалось, можно попробовать разложить его на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Рассмотрим, например, уравнение:

Представим левую часть в виде произведения двух квадратных трёхчленов с неизвестными (неопределёнными) коэффициентами:

Раскроем скобки в правой части и приведём подобные:

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях, получим систему уравнений

Попытка решить эту систему в общем виде вернула бы нас назад, к решению исходного уравнения. Но целые корпи, если они существуют, нетрудно найти и подбором. Не ограничивая общности, можно считать, что , тогда последнее уравнение показывает, что надо рассмотреть лишь два варианта: b = 3, q=-1 и b=1, q=-3. Подставляя эти пары значений в остальные уравнения, убеждаемся, что первая из них даёт искомое разложение:

Этот способ решения уравнений называется методом неопределённых коэффициентов.

Если уравнение имеет вид P(Q(x)) = 0, где Р и Q - многочлены, то замена у = Q(x) сводит его решение к решению двух уравнений меньших степеней: Р(у) = 0 и Q(x) = у. Замена используется, в частности, при решении биквадратных уравнений.

Более интересный случай - возвратные уравнения, т. е. уравнения чётной степени

,

в которых коэффициенты, одинаково отстоящие от концов, равны: = , =  и т. д. Такое уравнение сводится к уравнению вдвое меньшей степени делением на и последующей заменой у = х± 1/x.

Рассмотрим, например, уравнение

.

Поделив его на х2 (что законно, так как х = 0 не является корнем), получаем

.

Заметим, что.

Поэтому величина у = х + 1/х удовлетворяет квадратному уравнению у + ау + b - 2 = 0, решив которое можно найти х из уравнения х2-ух+ 1 =0.

При решении возвратных уравнений более высоких степеней обычно используют тот факт, что выражение при любом k можно представить как многочлен степени k от у = х +1/х.

Описанные здесь приёмы используются при исследовании (в комплексных числах) уравнения деления круга на пять частей:

Рис. 7

Уравнение называется так потому, что если его корпи отметить па комплексной плоскости, то они попадут в вершины правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность, причём одной из вершин будет точка с координатами (1;0) (рис.8). Используя тригонометрическое представление комплексного числа, эти корни можно записать следующим образом:

, k=1, 2, 3, 4, 5.

Среди них находится и единственный действительный корень ь. Спрашивается, можно ли выразить остальные.

Попробуем сделать это. Поскольку один корень, х=1, нам известен, понизим степень уравнения, вынося из его левой части двучлен х-1:

Остаётся уравнение

Оно возвратное, делим его на :

.

Подставляем z=x+1/x:

Корни этого квадратно уравнения

.

Для х получаем уравнение , или

Отсюда

.

Таким образом, наше уравнение допускает решение в радикалах, и даже в квадратных радикалах. Последнее означает что правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Более того, полученные формулы указывают и конкретный способ: прежде всего надо построить отрезки, равные действительным и мнимым частям комплексных чисел , а затем точки с соответствующими координатами - они и будут вершинами пятиугольника.

Заключение

Исследовав эту тему и проанализировав весь материал, который смогли найти, мы сделали вывод, что комплексные уравнения не только незаменимы, но и должны рассматриваться в широком спектре их практического применения.

Метод комплексных чисел позволяет решать планиметрические задачи по готовым формулам прямым вычислением, элементарными выкладками. Выбор этих формул с очевидностью диктуется условиями задачи и ее требованием. В этом состоит необычайная простота этого метода по сравнению с координатным, векторным и другими методами, требующими от решающего порой немалой сообразительности, длительных поисков, хотя готовое решение может быть очень коротким.

Список использованной литературы

1. «Энциклопедия для детей - математика» 1998 г.

. «Энциклопедический словарь юного математика» 1997 г.