Аффинная связность

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Поволжская государственная социально-гуманитарная академия»

(ПГСГА)

Факультет математики, физики и информатики

Кафедра математики и методики обучения

Курсовая работа по геометрии

Аффинная связность

Введение

Данная курсовая работа посвящена теории пространств аффинной связности, которые содержат в себе как частный случай пространства метрической и евклидовой связности. Термин «аффинная связность» заимствован у Вейля, но он употребляется здесь в более общем значении. Пространство аффинной связности является многообразием, которое в непосредственной близости каждой точки имеет все свойства аффинного пространства, и для которого установлен закон соответствия областей,- окружающих две бесконечно близкие точки: это значит, что если в каждой точке задана декартова система координат с началом в этой точке, то известны формулы преобразования (той же природы, что и в аффинном пространстве), позволяющие переходить от одной системы отнесения к любой другой, имеющей начало в бесконечно близкой точке. В теории Вейля это соответствие ограничено априори требованием, чтобы в окрестности каждой точки существовала система координат, которую он называет геодезической, хотя логическая необходимость этого требования не является очевидной. Разница, существующая между многообразием аффинной связности и собственно аффинным пространством, выражается в аффинном перемещении, соответствующем бесконечно-малому замкнутому контуру; это перемещение можно разложить на трансляцию и вращение; трансляция определяет кручение, вращение- кривизну многообразия. В теории Вейля кручение равно нулю. Все эти понятия переносятся на пространства метрической и евклидовой связности; классическая теория римановых пространств является не чем иным, как теорией многообразий евклидовой связности и нулевого кручения; эта теория служит основой общей теории относительности, созданной Эйнштейном.

1. Аффинные связности

.1 Определения

Пусть Μ - многообразие, В(М)-его расслоение базисов. Связность на В (М) называется аффинной связностью. Поскольку всякую связность на подрасслоении расслоения В(М) можно продолжить до аффинной связности с помощью правого действия группы GL(d, R), то такая связность также называется аффинной связностью.

Параллельный перенос в расслоении В(М), заданный аффинной связностью, порождает параллельный перенос в касательном расслоении, или параллельный перенос касательных вдоль кривых.

Если γ - кривая в Μ и , то параллельный перенос касательной t вдоль γ в точку n= γ (u) происходит следующим образом: пусть γ - единственный горизонтальный подъем кривой γ, проходящий через, где . Тогда если γ(S) = (γ(S), и , то является, по определению, параллельным переносом t. Легко проверить, в силу инвариантности связности относительно правого действия, что это преобразование не зависит от выбора b над m.

На В(М) всегда определены некоторые горизонтальные 1-формы, не зависящие ни от какой связности на этом расслоении. Определим l-формы смещения  следующим образом. Пусть , где .

Тогда

Иначе, эти  можно рассматривать как одну -значную 1-форму ω вида

Лемма 1. Форма смещения удовлетворяет следующим условиям:

,

(II) ω горизонтальна,

(III) ω эквивариантна, т. е. для каждого

,

причем в правой части g считается действующим слева в .

Доказательство (II) очевидно. Для доказательства (III) возьмем

Имеем

Далее,

так что

Отсюда , как и утверждалось.

Доказательство свойства (I) прямое. Пусть y_i, y_jk- координаты произведения на координатной окрестности в В(М). Нам нужно показать, что и  принадлежат . В силу (II), , поэтому надо рассмотреть лишь . Но

,

где . Следовательно,

Ч.Т.Д.

Формой кручения Ω аффинной связности H на В(М) называется -значная 2-форма

Легко проверить, что Ω - горизонтальная С°°-форма, являющаяся эквивариантной, т.е.

Свяжем теперь формы кривизны и кручения с базисными векторными полями данной связности. Лемма 2. Пусть . Тогда

,

т. е. кривизна и кручение оказываются вертикальной и горизонтальной составляющими скобки двух базисных векторных полей.

Доказательство. Покажем, что ω и φ, примененные к обеим частям равенства, дают одну и ту же функцию; этого достаточно, поскольку ω и φ - параллелизующие формы, т. е. двойственны к множеству параллелизующих векторных полей. Вычисление правой части нетрудно, поскольку вертикально, а Е (z) горизонтально:

Чтобы применить φ и ω к левой части, воспользуемся инвариантными формулами для внешних производных .

.2 Структурные уравнения аффинной связности

Пусть Η - аффинная связность на В(М). Пусть φ, ω, Φ, Ω - ее 1-форма связности, форма смещения, форма кривизны и форма кручения соответственно.

Теорема. Имеют место равенства

Эти равенства называются первым и вторым структурными уравнениями связности.

Доказательство. Второе структурное уравнение - это просто структурное уравнение для связности на главном расслоении. Для вывода первого структурного уравнения докажем следующий более общий результат.

Теорема. Пусть θ есть -значная эквивариантная горизонтальная p-форма на В(М), тогда

Доказательство. Мы вычисляем обе части равенства на векторных полях , взятых из совокупности векторных полей, локально порождающих касательное пространство к В(М). Рассмотрим те же случаи, что и прежде.

(I) Никакое У_i- не вертикально. Можно предположить, что все Y_i горизонтальны. Но тогда член φθ обращается в 0 и остается вспомнить определение Dθ.

(II) Одно Υ_i вертикально. Предположим, что Υ_ρ+1=λΧ, . Как и раньше, выберем правоинвариантные горизонтальные У_i так, что [Υ_i,λΧ]=0, i=1,…,р. Тогда,

Представим φ как матричную операцию на R^d, получим

С другой стороны, Dθ(Y_i, ..., Υ_ρ, λΧ)=0, так как Dθ горизонтально, поэтому правая часть дает -

Таким образом, обе части равенства приводят к одинаковым результатам.

(III) Два из Y_i вертикальны. В этом случае все обращается в нуль, и равенство выполняется автоматически. Ч. Т. Д.

1.3 Экспоненциальные отображения

Экспоненциальное отображение в точке - это некоторое отображение окрестности U нуля пространства М_m в многообразие Μ

Для тех , для которых определено, оно задается следующим образом. Пусть геодезическая γ в Μ (однозначно) определена условиями γ(0)=m, γ_* (0) = t. Тогда

Заметим, что при вещественном u, если только γ(u) существует. Область определения  - это открытое подмножество в М_m, звездное относительно в том смысле, что вместе со всякой своей точкой t оно содержит и весь отрезок прямой от 0 до t.

Так как γ - геодезическая, то - интегральная кривая поля Е(х), где bx= γ_* (0) = t .

Мы покажем, что, так чтo . Отсюда немедленно следует, что ехр_m осуществляет диффеоморфизм своей области определения на окрестность точки m, так как образом d exp_m служит все М_m: действительно, если - базис в М_m, а - сопряженный базис, то причем размерности М_m и Μ одинаковы.

Теорема.

Доказательство. Проведем его в несколько более общем виде. Рассмотрим аффинное расслоение А (М) над М, т. е. расслоение, пространство которого состоит из пар , а проекцией служит. Это многообразие с очевидной дифференцируемой структурой. Определим отображение

аффинный связность экспоненциальный отображение

равенством

Каждое дает векторное поле на В(М). Очевидно, F есть С°°-отображение. В силу теорем из приложения о дифференциальных уравнениях, существует С°°-отображение G окрестности в В(М), заданное формулой G(u, b, с, t)= γ(u), где γ - интегральная кривая поля  с γ(0)=b. Тогда

Следствие. Отображение вида

определено на некоторой окрестности тривиального сечения расслоения Т(М) и принадлежит С°°.

Доказательство. Пусть, выберем С°°-сечение χ над окрестностью m в В(М). Тогда на этой окрестности отображение

в принадлежит С°° и

Аффинная связность называется полной, если все геодезические можно неограниченно продолжать, т. е. если каждое экспоненциальное отображение определено на всем касательном пространстве. Это эквивалентно тому, что локальная группа преобразований многообразия В(М), порожденная базисным· векторным полем Е(х), продолжается до глобальной однопараметрической группы преобразований многообразия В(М). Полнота в смысле римановой связности эквивалентна полноте в смысле римановой метрики.

Координатное отображение , называется нормальным координатным отображением в точке, если прообразы лучей, проходящих через, являются геодезическими (луч - это прямая линия вида , .

Выбрав базис с, отождествим с М_m. Комбинируя это отождествление и ехр_m, с помощью теоремы доказанной выше убеждаемся, что отображение служит обратным для нормальной координатной системы в точке m.

В нормальной координатной окрестности N, области определения нормального координатного отображения φ, всякую точку можно соединить с  единственной геодезической в N.

Отметим, что если и кривизна, и кручение обращаются в нуль, то, существуют координатные системы, обратные к которым переводят произольные прямые из в геодезические; таким образом, эти координатные системы нормальны относительно каждой из своих точек. Это аффинный вариант локальной изометрии плоского риманова многообразия с евклидовым пространством.

.4 Ковариантное дифференцирование и классические формулировки

С помощью параллельного переноса в Т(М) можно определить частные производные векторных полей. Вообще это можно сделать в любом векторном расслоении, ассоциированном с В(М): представление группы Gl(d, R) на векторном пространстве F порождает понятие ковариантного дифференцирования сечений ассоциированного расслоения со слоем F. Дадим несколько определений, отвлекаясь от вопросов эквивалентности и независимости от выбора кривой. Фиксируем аффинную связность H с формой φ.

Пусть (W, F, G, М) - векторное расслоение, ассоциированное с В(М), со слоем F и группой G = Gl(d, R).

Тогда каждое  порождает такой изоморфизм F на слой над в W, что b(gf) = (bg)f при . Пусть U-окрестность точки - сечение над U и . Мы дадим несколько определений , ковариантной производной сечения X по направлению t. Часто также используется и обозначение D_tX. Прежде всего, будет элементом слоя W над m. Если Y - векторное поле на U, то будет обозначать сечение над U, заданное формулой ; это ковариантная производная X по направлению Y(n).

(I) измеряет, насколько X не горизонтально в направлении t. Точнее, сравниваются подъем вектора t, порожденный сечением X, а именно dXt, и горизонтальный подъем H'(dXt) вектора t, где H' - связность на W, индуцированная аффинной связностью на В(М). Так как слои в W - векторные пространства, то тем способом, которым векторное пространство обычно отождествляется со своими касательными пространствами, отождествим вертикальные касательные с элементами этих слоев. После отождествления определим

(II)  - это дифференцирование относительно параллельного переноса. Пусть γ - кривая в М, причем Υ*(0)=t; пусть -такой базис слоя F над γ(u), что каждое е_i оказывается горизонтальным подъемом кривой γ, т. е. е_i(u) получается параллельным переносом вектора е_i(0) вдоль γ в γ(u). Определим вещественные С°°-функции f_i из разложения . Тогда

(III)  соответствует производной в горизонтальном направлении некоторой функции на В(М), ассоциированной с X.

Для каждого определим

Таким образом,  - функция на со значениями в F. Заметим, что. Обратно, всякая -функция , такая, что, порождает сечение вида .

В этом случае столь же просто определить , как и . Пусть - единственный горизонтальный подъем поля Y в W, так что -единственная горизонтальная касательная, для которой . Тогда - сечение, ассоциированное с функцией .

Чтобы определить связность, достаточно задать ковариантное дифференцирование в касательном расслоении, поскольку первый вышеуказанный пример дает дифференциальное уравнение для параллельного переноса вдоль γ. Это дифференциальное уравнение линейно и, следовательно, имеет единственное решение при любом начальном условии.

Таким образом, аффинная связность определена, коль скоро любым, и векторному полю X отнесен элемент, такой, что

(I) линейно по t:

,

где ;

(II) если f - вещественная С°°-функция на М, то

Иногда ковариантную производную удобно обратить, т. е. для каждого векторного С°°-поля X, заданного на открытом множестве, рассмотреть линейное преобразование , определенное на каждом М_m с по формуле. Связность тогда определяется заданием преобразования , удовлетворяющего условию, соответствующему (II):. Выведем прямое соотношение между ковариантным дифференцированием векторных полей и формой связности на В(М). Оно зависит от некоторого локального сечения над Μ в В(М). Пусть- такие векторные поля, определенные на открытом множестве , что отображение

является сечением . Для произвольных векторных полей  и X на U определим

Ковариантная производная поля Y в направлении X и форма связности φ связаны соотношением

(III) ,

где рассматриваются теперь как отображение R^d в М_m.

Так как φ известно на вертикальных касательных, а вертикальные касательные вместе с касательными вида порождают , то из формулы (III) φ определяется на всем и, значит, в силу эквивариантности, на всем .

2. Аффинное пространство n измерений

Исходным пунктом всех геометрических теорий являются свойства протяженности материальных тел и притом в основном в том виде, как они были фиксированы в старейшей геометрической теории - в геометрии обычного трехмерного евклидова пространства. В частности, и аффинная геометрия имеет тот же источник; а именно, анализ различных геометрических свойств обычного пространства показывает, что они не все равноценные по степени своей устойчивости, по степени той прочности, с которой они связаны с геометрическими фигурами. Одни, как, например, отношение любым образом расположенных отрезков, величина угла, свойство фигуры быть кругом или шаром и т.д., сохраняются лишь при движениях пространства как твердого тела; другие, более устойчивые, как, например, отношение параллельных отрезков, параллельность двух прямых, свойство фигуры быть прямой линией или плоскостью и т.д., сохраняются, кроме того, и при всех аффинных преобразованиях пространства. Этот, более глубоко лежащий и более прочно связанный с геометрическими фигурами класс свойств и образует аффинную геометрию.

.1 Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства

Основными понятиями, не подлежащими прямому логическому определению, будут служить у нас точка и вектор. Тогда нам достаточно признать следующие аксиомы.

. Существует, по меньшей мере, одна точка.

. Каждой паре точек А, В, заданных в определенном порядке, поставлен в соответствие один и только один вектор.

Этот вектор мы будем обозначать , но, если понадобится, будем пользоваться обозначением в виде отдельной (жирной) буквы a, x и т.п.

. Для каждой точки А и каждого вектора x существует одна и только одна точка В такая, что

Знак = между векторами мы будем понимать в смысле тождества.

Следует подчеркнуть, что при наглядном истолковании нашей аксиоматики вектор выступает не в виде направленного отрезка, а в виде параллельного сдвига, которому подвергаются все точки пространства. Поэтому наглядный смысл аксиомы 2 состоит в существовании (единственного) параллельного сдвига, переводящего данную точку А в данную точку В, а аксиома 3 в сущности означает, что каждый вектор x реализуется в виде сдвига, а именно, каждой точке А ставят в соответствие определенную точку В.

. (Аксиома параллелограмма) Если

, то .

Очевидно, наглядный смысл аксиомы 4 в основном состоит в том, что при равенстве и параллелизме одной пары противоположных сторон четырехугольника, то же имеет место и для другой пары.

Перечисленные четыре аксиомы образуют в известном смысле законченную часть аксиоматики: остальные аксиомы относятся к умножению вектора на число и тем самым носят иной характер. Поэтому, прежде чем перечислять остальные аксиомы рассмотрим следствия аксиом 1-4.

Теорема. Векторы  и для любых точек A, B равны между собой:

Для доказательства достаточно применять аксиому 4, положив С=А, D=B. Тогда, очевидно, справедливо равенство (так как оно сводится к ), а следовательно, по аксиоме 4 справедливо и , то есть .

Теорема. Если , то

Доказательство. Применяя аксиому 4 к , получим , или, что то же, , откуда снова в силу аксиому 4 следует

Теорема. Вектор x+y не зависит от выбора точки А (так что сложение векторов - операция однозначная).

Доказательство. Повторим построение суммы при другом выборе точки А и, следовательно, с другими точками В и С. Новые точки будем обозначать штрихованными буквами. Тогда аналогично

причем

Отсюда согласно аксиоме 4 следует, что

Применяя снова аксиому 4 к равенству

получаем:

т.е. результат сложения векторов x, y не зависит от выбора начальной точки А.

Теорема. Сложение векторов - операция коммутативная:

x+y=y+x

Доказательство. Из произвольной точки А откладываем (аксиома 3) , затем , так что

,

кроме того, из той же точки А откладываем

Так как , то (аксиома 4) , т.е.

Можно считать, что из точки А отложен сначала , а затем , так что по определению сложения

Сравнивая равенства получаем:

Теорема. Сложение векторов - операция ассоциативная:

(x+y)+z=x+(y+z)

Доказательство буквально такое же, как и в элементарной векторной алгебре; повторять его мы не будем.

Ассоциативность сложения при любом числе слагаемых векторов является простым следствием соотношения (x+y)+z=x+(y+z).

Короче говоря, сложение векторов, как оно у нас установлено, обладает всеми обычными свойствами. В дальнейшем мы будем обращаться с ним столь же непринужденно, как и в обычной векторной алгебре.

Отметим, в частности, что

Действительно, представим вектор x как , а вектор - как . В силу , и тем самым .

Далее, всегда справедливо равенство

Действительно, представим x как ; тогда - x по определению представиться как ; но , а значит, .

Теорема. Вычитание - всегда выполнимая и притом однозначная операция. Доказательство. Допустим сначала, что разность z найдена. Добавим к обеим частям вектор -y получим:

z+y+(-y)=x+(-y)

В силу ассоциативности сложения можно в левой части сложить сначала y и -y. Это дает  в силу , после чего согласно  в левой части остается просто z. Получаем в результате

z=x+(-y),

т.е. если разность z существует, то она обязательно имеет такой вид. Остается показать, что x+(-y) действительно есть разность. Это легко проверить, складывая x+(-y) с y и убеждаясь, что в результате получается x. Итак,

x-y=x+(-y)

Отметим, в частности, что

x-x=x+(-x)=

3. Задачи

Задача 1

Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.

Решение. Нам надо доказать, что если A', B', C' - образы точек A, B, C при растяжении относительно прямой l с коэффициентом k и точка C лежит на прямой AB, то точка C' лежит на прямой A'B'. Пусть. Обозначим через A₁, B₁, C₁ проекции точек A, B, C на прямую l, и пусть  ,, ,,,,, . Из того, что при проекции на прямую l сохраняется отношение длин пропорциональных векторов, следует, что y=tx и y+(c-a)=t(y+(b-a)). Вычитая первое равенство из второго, получаем (c-a)=t(b-a). По определению растяжения a' = ka, b' = kb, c' = kc, поэтому  = y + k(c - a) = tx + k(t(b - a)) = t(x + k(b - a)) = t.

Задача 2

Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.

Решение. По определению образы прямых - прямые, а из взаимной однозначности аффинного преобразования следует, что образы непересекающихся прямых не пересекаются.

Задача 3

Пусть A₁, B₁, C₁, D₁ - образы точек A, B, C, D при аффинном преобразовании. Докажите, что если , то.

Решение. Пусть . Рассмотрим сначала случай, когда точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Тогда ABCD - параллелограмм. Из предыдущей задачи следует, что A₁B₁C₁D₁ - тоже параллелограмм, поэтому . Пусть теперь точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Возьмем такие точки E и F, не лежащие на этой прямой, что . Пусть E₁ и F₁ - их образы. Тогда .

Задача 4

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

Решение. Поскольку аффинным преобразованием любой треугольник переводится в правильный и при этом сохраняются отношения длин параллельных отрезков, достаточно доказать утверждение задачи для правильного треугольника ABC. Пусть точки A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂ делят стороны треугольника на равные части, а A', B', C' - середины сторон (рис.). При симметрии относительно AA' прямая BB₁ перейдет в CC₂, а прямая BB₂ - в CC₁. Поскольку симметричные прямые пересекаются на оси симметрии, AA' содержит диагональ рассматриваемого шестиугольника. Аналогично оставшиеся диагонали лежат на BB' и CC'. Ясно, что медианы AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.

Задача 5

На сторонах AB, BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K, L и M соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть b, c, d - прямые, проходящие через B, C, D параллельно прямым KL, KM, ML соответственно. Докажите, что прямые b, c, d проходят через одну точку.

Решение. Любой параллелограмм аффинным преобразованием можно перевести в квадрат. Поскольку при этом сохраняются отношения длин параллельных отрезков, достаточно доказать утверждение задачи в случае, когда ABCD - квадрат. Обозначим через P точку пересечения прямых b и d. Нам достаточно доказать, что PC|MK. Отрезок KL переходит в LM при повороте на 90^o вокруг центра квадрата ABCD, поэтому прямые b и d, которые соответственно параллельны этим отрезкам, перпендикулярны; значит, P лежит на окружности, описанной вокруг ABCD. ТогдаCPD=CBD=45^o, следовательно, угол между прямыми CP и b равен 45^o, но угол между прямыми MK и KL тоже равен 45^o, и b| KL, следовательно, CP|MK.

Заключение

До последнего времени риманова геометрия и основы топологии не входили в программы обязательного университетского математического образования даже для математических факультетов. Раньше существовали (и до сих пор существуют кое-где) курсы классической дифференциальной геометрии кривых и поверхностей, на которые все постепенно стали смотреть как на анахронизм. Однако до сих пор нет единой точки зрения на то, как именно эти курсы следует модернизировать, какую часть современной геометрии следует считать общеобязательным элементом современной математической культуры, сколь абстрактным должен быть язык ее изложения.

Модернизированный курс геометрии начал создаваться на отделении механики механико-математического факультета МГУ в 1971 г. Здесь точка зрения на содержание и уровень абстрактности изложения геометрического курса диктовались соображениями необходимости: кроме геометрии кривых и поверхностей теория тензоров, их ковариантное дифференцирование, риманова кривизна, геодезические и вариационное исчисление, включая законы сохранения и гамильтонов формализм, особый случай кососимметрических тензоров («форм»), операций над ними, многомерные формулы типа Стокса и их инвариантная запись безусловно полезны в различных разделах механики, особенно в механике сплошных сред, теории относительности и др. Многие ведущие механики разделяли точку зрения математиков о полезности внедрения некоторых сведений из теории многообразий, групп преобразований, алгебр Ли, а также изложения простейших идей наглядной топологии. При этом язык изложения всех частей курса должен был быть предельно простым, не абстрактным, терминология - общей с той, которая используется физиками всюду, где это возможно.

Список использованной литературы

. Бишоп Р.Л., Криттенден Р.Дж. Геометрия многообразий - М.: Мир, 1967

. Димитриенко Д.И. Тензорное исчисление - М.: Высшая школа, 2001

. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения - М.: Наука, 1986

. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности - Казань: изд-во Казанского университета, 1962

. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ - М.: Наука, 1967