Сложные виды нагружения

1. Сложное сопротивление

1.1    Расчет статически определимой рамы

Постановка задачи:

В данной работе для статически определимой плоской рамы, изображённой на рисунке 1, нужно:

. Построить эпюры продольной силы N, поперечной силы Q, изгибающего момента M.

. Определить перемещение системы в точках A, B и C методом Мора-Верещагина;

3. Подобрать сечение для данной системы с учётом условий прочности.

Дано:

Рисунок 1 - Плоская рама

Плоской рамой называется стержневая система, элементы которой жестко или шарнирно соединены между собой, нагруженная в своей плоскости.

Вертикально (или под наклоном) расположенные стержни рамы называются стойками, а горизонтальные - ригелями. Жесткость узлов устраняет возможность взаимного поворота скрепленных стержней, то есть в узловой точке углы между их осями остаются неизменными.

1.       Определяем опорные реакции.

Для вычисления опорных реакций воспользуемся уравнениями статики:

Проверка:

.

Рама имеет 5 участков нагружение. Применяя метод сечений на каждом участке, находим дополнительные силы N, поперечные силы Q, моменты изгибающие M.

Участок I:

Рисунок 2 - Участок I

Длина участка нагружения изменяется в пределах.

Определяем силы:

при

при

Участок II:

Рисунок 3 - Участок II

Длина участка нагружения изменяется в пределах.

Определяем силы:

при

при

Участок III:

Рисунок 4 - Участок III

Длина участка нагружения изменяется в пределах.

Определяем силы:

при

при

при

при

Участок IV:

Участок V:

Рисунок 6 - Участок V

Длина участка нагружения изменяется в пределах.

Определяем силы:

при

при

Эпюры Q, M и N представлены на рисунке 7:

. Далее определим перемещение системы в точках A, B и C методом Мора - Верещагина. Данный метод является универсальным методом определения перемещений (как линейных, так и угловых), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки. Метод осуществляется путём перемножения грузовой эпюры, когда к балке приложена любая произвольная нагрузка, на эпюру в единичном состоянии, когда в определяемой точке приложена сосредоточенная сила .

Рисунок 7 - Эпюры N, Q, M

Рассчитаем прогиб в точке C, приложив при этом горизонтальную единичную сосредоточенную силу  (рисунок 8):

Рисунок 8 - Приложение в точку C системы единичной силы

Построим эпюру изгибающих моментов от единичной силы, приложенной в точку C, как указано на рисунке 9:

Рисунок 9 - Эпюра изгибающих моментов

Эпюра изгибающих моментов в грузовом состоянии изображена на рисунке 7 - в. Перемножим эпюру в первом единичном состоянии на грузовую эпюру, воспользовавшись выведенной формулой для перемножения эпюр двух прямоугольных треугольников и формулой для перемножения эпюр двух трапеций определим перемещение в точке С.

Отсюда получим, что перемещение в точке C равно:

Рассчитаем перемещение в точке B, приложив при этом вертикальную единичную сосредоточенную силу  (рисунок 10):

Рисунок 10 - Приложение в точку B системы единичной силы

Построим эпюру изгибающих моментов от единичной силы, приложенной в точку B, как указано на рисунке 10:

Рисунок 11 - Эпюра изгибающих моментов

Перемножим эпюру во втором единичном состоянии на грузовую эпюру, воспользовавшись формулой для перемножения эпюр двух прямоугольных треугольников, формулой для перемножения эпюр двух трапеций и формулой для перемножения эпюры параболы на эпюру прямоугольного треугольника, получим:

Отсюда получим, что перемещение в точке B равно:

Рассчитаем угловое перемещение в точке A, приложив при этом единичный момент сил  (рисунок 12):

Рисунок 12 - Приложение в точку A единичного момента сил

Построим эпюру изгибающих моментов от единичного момента сил, приложенного в точку A, как указано на рисунке 12:

Рисунок 13 - Эпюра изгибающих моментов

Перемножим эпюру в третьем единичном состоянии на грузовую.

Отсюда получим, что перемещение в точке B равно:

3. Подберём сечение для данной системы с учётом условий прочности, если :

Максимальный изгибающий момент, действующий на систему равен:

Из условия прочности выразим момент сопротивления с учётом максимального изгибающего момента:

С учётом полученных данных подберём стальной двутавр. Согласно ГОСТ8239-89 выбираем двутавр № 36:

Рассчитаем максимальные напряжения с учётом осевого растяжения:

Перенапряжение:

Для двутавра № 36:

С учетом того, что  получим:

Условие прочности соблюдается.

1.2 Косой изгиб

Косым изгибом называется такой вид изгиба, при котором плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения. Косой изгиб есть сочетание двух прямых поперечных изгибов.

Постановка задачи:

В данной работе требуется:

. Подобрать поперечное сечение стержня, если ;

. Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении.

Дано:

Рисунок 14 - Заданная система и поперечное сечение

Решение:

) Опасное сечение находится в точке M, что видно из эпюр , построенных со сторон сжатого волокна. Для опасного сечения балки  Значение изгибающих моментов взяты по абсолютному значению. Наибольшие растягивающие напряжения возникают в 1 сечения, а численно равные сжимающие - в точке 3.

Следовательно, условие прочности имеет вид:

где  - момент сопротивления относительно главной оси инерции y;

Рисунок 15 - Эпюры

 - момент сопротивления относительно главной оси инерции z.

где  - главный центральный момент инерции всего сечения;

 - момент инерции сечения одного швеллера.

где  - главный центральный момент инерции всего сечения;

 - главный центральный момент инерции одного швеллера.

Главный центральный момент инерции определяем по формуле:

Подставив формулу (41) в (40), получим:

В условие прочности входят два неизвестных момента сопротивления  и . В нашем случае отношение этих характеристик равно 1,4.

Принимая указанное соотношение, получим:

Решив данное уравнение, определим :

Тогда

Найденному моменту сопротивления соответствует швеллер № 20, для которого     

Подсчитываем  и  для нашего сечения:

Тогда:

Условие прочности соблюдается, но есть недонапряжение:

Итак, останавливаем свой выбор на двух швеллерах № 20.

) Построим эпюру нормальных напряжений в опасном сечении. Найдем положение нулевой линии. Плоскость действия полного момента проходит через центр тяжести, 1 и 3 квадрат, так как в них  вызывают напряжение одного знака. Предварительно найдем абсолютное значение угла .

Следовательно, угол между осью z и плоскостью действия полного момента будет равен . Тогда:

Следовательно, нулевая линия наклонена к оси y под углом . Угол откладывается от оси y против хода часовой стрелки.

Для построения эпюры распределения нормальных напряжений по сторонам сечения нужно вычислить величину напряжений в точках 1, 2, 3, 4.

Эпюры распределения нормальных напряжений по сторонам сечения представлены на рисунке 16.

Рисунок 16 - Эпюры нормальных напряжений в опасном сечении

1.3 Внецентренное растяжение (сжатие)

Внецентренным сжатием или растяжением называется такой вид сопротивления материалов, когда в поперечном сечении бруса одновременно действует продольная (сжимающая или растягивающая) сила и изгибающий момент.

Постановка задачи:

Для данного поперечного сечения, сжатого силой F, требуется:

1.       Найти положение нулевой линии.

.        Найти допускаемое значение силы из условия прочности.

3.       Для данной силы F построить эпюру .

Дано:

Рисунок 17 - Поперечное сечение

t = 4 см;

Сила приложена в точке В.

. Определим положение центра тяжести и моменты инерции относительно центральных осей, которые в силу того что сечение имеет ось симметрии, являются также и главными.

В качестве вспомогательных осей принимаем оси  и .

Обозначим центральные оси Y и Z.

Определяем моменты инерции:

2. Находим положение нулевой линии.

Квадраты главных радиусов инерции равны:

Координаты силы F в выбранной системе координат будут:

Определяем отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях Y и Z:

. Найдем допускаемое значение силы из условия прочности.

Максимальные сжимающие напряжения будут в точке B (1,77t; -3t), а максимальные растягивающие напряжения в точке D (-2,23t; 3t).

Определим величину напряжений в точках B и D, выразив их через силу F по формуле:

где F - внецентренно приложенная продольная сила;

 - координаты силы;

y, z - координаты точки;

А - площадь поперечного сечения;

-главные радиусы инерции.

Для точки B:

Для точки D:

Условие прочности на сжатие:

Условие прочности на растяжение:

Окончательно принимаем F = 333,33 кН.

. Для построения эпюры нормальных напряжений найдем численные значения напряжений в точках B и D, наиболее удаленных от нулевой линии:

Эпюра нормальных напряжений представлена на рисунке

Рисунок 18 - Эпюра нормальных напряжений

2. Статически неопределимые стержневые системы

2.1 Расчет статически неопределенной плоской рамы

Для заданной статически неопределимой плоской рамы требуется:

. Установить степень статической неопределимости и выбрать основную систему.

. Построить эпюры моментов изгибающих от заданной нагрузки и от единичных сил.

. Вычислить коэффициенты и свободные члены канонических уравнений, проверить их; решить систему и найти все неизвестные.

. Построить расчетные эпюры моментов изгибающих, поперечных и продольных сил.

5. Сделать статическую и кинематическую проверки.

Дано:

Рисунок 22 - Заданная схема

Решение:

1) Степень статической неопределимости равна двум, следовательно необходимо два дополнительных уравнения.

) Выбираем основную (статически определимую) систему.

Рисунок 23 - Варианты систем

Остановимся на первом примере: отбросим шарнирно - неподвижную опору и заменим двумя неизвестными силами.

) Система канонических уравнений метода сил примет вид:

Грузовая и единичные эпюры моментов изгибающих системы представлены на рисунке 24.

Рисунок 24 - Грузовая и единичные эпюры

5) Путем перемножения эпюр по правилу Верещагина, находим коэффициенты и свободные члены канонических уравнений.

) Подставляя найденные перемещения в систему канонических уравнений и решая ее, находим «лишние» неизвестные.

) Строим окончательную (суммарную) эпюру изгибающих моментов

Умножим ординаты ,  на соответствующие значения , .

8) Строим эпюру поперечных сил.

2.2 Расчет плоско-пространственного бруса

эпюра стержень растяжение брус

Постановка задачи:

) Построить эпюру моментов изгибающих в вертикальной плоскости.

) Построить эпюру моментов крутящих.

) Построить эпюру поперечной силы.

Дано:

В общем случае действия сил в поперечных сечениях рамы возникают шесть внутренних силовых факторов: продольная сила N, крутящий момент, два изгибающих момента, две поперечные силы. Но в данном случае нагрузка перпендикулярна плоскости рамы, система является плоско-пространственной и все внутренние силовые факторы в плоскости рамы (продольная сила, горизонтальная поперечная сила и изгибающий момент) обращаются в нуль. Следовательно, в поперечных сечениях рамы могут возникать только крутящие моменты, изгибающие моменты в вертикальной плоскости и вертикальные поперечные силы.

При выборе основной (статически определимой) системы надо использовать симметрию рамы и нагрузки и разрезать раму в середине элемента с длиной а (рисунок).

Очевидно, что в этом сечении кососимметричные факторы (крутящий момент и поперечная сила) обращаются в нуль и отличным от нуля является только изгибающий момент вертикальной плоскости X.

Далее строим эпюры моментов от заданной нагрузки. На рисунке одновременно изображены нагрузка, эпюра изгибающих моментов (заштрихована в вертикальном направлении линиями) и эпюра крутящих моментов (заштрихована волнистой линией).

Составляем каноническое уравнение  и находим перемещения по способу Верещагина, путем «перемножения» соответствующих эпюр:

Подставив полученные значения в каноническое уравнение, найдем :

Далее находим значения ординат эпюры изгибающих моментов:

В точках приложения сил:

В узлах:

В защемлении:

Кручение испытывают только участки длиной b:

.

То есть перемещение  действительно равно нулю.

Заключение

В данной курсовой работе при решении разных видов задач были использованы следующие теоретические знания по темам:

напряжение;

растяжение и сжатие;

напряжённое и деформированное состояние;

кручение;

геометрические характеристики плоских сечений;

прямой изгиб.

В результате расчетов были получены необходимые результаты и построены эпюры.

Библиографический список

1. Александров А.В. Сопротивление материалов. Издание третье, исправленное. - М.: Высшая школа, 2003. - 560 с.

2. Горшков А.Г., Трошин В.Н. Сопротивление материалов. Издание второе, исправленное. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 736 с.

. Костенко Н.А., Балясникова С.В. Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 2004. - 429 с.

4. Подскребко М.Д. Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 2007. - 797 с.

5. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов. Издание второе, исправленное и дополненное. - М.: Высшая школа, 2000. - 286 с.