Математические модели и расчет линейных электрических цепей

Содержание

1. Введение

. Исходные данные

. Математическая модель цепи

.1 Математическая модель цепи для мгновенных значений при действии источников сигнала произвольной формы e(t) и j(t)

.2 Математическая модель цепи для комплексных значений при действии источников гармонического сигнала

. Расчет тока ветви

.1 Расчет тока ветви методом контурных токов

.2 Расчет тока ветви методом узловых напряжений

.3 Расчет тока ветви методом эквивалентного генератора

. Расчет токов ветвей при постоянном токе

. Заключение

1. Введение

Целью работы является составление математической модели цепи и приобретение навыков расчета линейных электрических цепей в установившемся режиме, при гармоническом воздействии; методами контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора.

Математическая модель цепи (ММЦ)- совокупность топологических и компонентных уравнений для рабочей цепи. ММЦ для мгновенных значений при действии сигнала произвольной формы e(t) и j(t) составляется для мгновенных значений токов и напряжений в цепи. Она может быть составлена для цепи при любом воздействии, но является очень неудобным для расчета токов и напряжений.

ММЦ для комплексных значений при действии источников гармонического сигнала основана на замене токов и напряжений их комплексным изображением, при этом система уравнений упрощается. Недостаток этой ММЦ состоит в ограниченности применения (только для линейных цепей, только в установившемся режиме и только при гармоническом воздействии).

ММЦ для постоянных значений при действии источников постоянных сигналов e(t)=E=const и j(t)=J=const составляется двумя способами:

. составляется система уравнений для этой цепи, при действии гармонического сигнала, а затем, полагается что q=0 (q=wt+j, где w-частота,j - начальная фаза);

. исходную схему преобразуют следующим образом:

Сложные электрические цепи удобно рассчитывать, используя метод контурных токов (МКТ), метод узловых потенциалов (МУП) или метод эквивалентного генератора (источника) (МЭГ).

МКТ основан на введении понятия контурных токов (I_ii). В МКТ рассчитываются не токи ветвей, а контурные токи.

где D_z- определитель матрицы сопротивлений, D_i- определитель матрицы сопротивлений в которой i-тый столбец матрицы заменен на столбец левых частей.

Контурные токи совпадают по направлению с выбранными контурами, при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа. Токи ветвей находятся как алгебраическая сумма контурных токов. Число независимых уравнений, в МКТ, равно числу независимых уравнений по второму закону Кирхгофа. В МКТ выдвигаются условия к типу источника сигнала, используется только источник напряжения, источники тока пересчитываются в источники напряжения через эквивалентное преобразование.

МУП основан на введении понятия узлового напряжения (потенциала). Узловое напряжение- напряжение между i-тым узлом и узлом, принимаемым за нулевой, нулевой узел выбирается из условия рациональности расчёта.

_i=D_i/D_y,

где D_y- определитель матрицы проводимостей, D_i- определитель матрицы проводимостей в которой i-тый столбец матрицы заменен на столбец левых частей.

Узел- точка соединения нескольких элементов или ветвей. Ветвь- элемент или последовательна соединенные элементы, включенные между двумя узлами.

Токи в любой ветви находятся как произведение узлового напряжения на проводимость ветви, включенной между этими узлами.

МЭГ основан на теореме об эквивалентном источнике. Ток ветви не изменится, если эквивалентный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить на эквивалентный источник тока или ЭДС. Ветвь в которой нужно найти ток удаляется. По получившейся после удаления ветви модели любым удобным способом (МКТ, МУП или др.) находится Uxx=Eэг_. Второй параметр эквивалентного генератора Z_эг (Z_эг входное сопротивление).

2. Исходные данные

В предложенном задании была дана следующая схема, с соответствующими значениями величин элементов:

= 10000 рад/с₁=5B₀= -i2.5₁=3Om₂=3Om₃=3Om₁=0.6*10^-3Гн₂=0.3*10^-3Гн₁=16.7*10^-6Ф₂=33.3*10^-6Ф

3. Математическая модель цепи

.1 Математическая модель цепи для мгновенных значений при действии источников сигнала произвольной формы e(t) и j(t)

Составим ММЦ для мгновенных значений при действии сигнала произвольной формы e(t) и j(t).

Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов минус один.

₁ =N_у -1= 4-1 = 3

где N₁ -число уравнений составляемых по первому закону Кирхгофа,

N_у - число узлов_.

Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно число ветвей минус число узлов плюс один.

₂=N_в-N_у+1 = 6-4+1 = 3

где N₂- число уравнений составляемых по второму закону Кирхгофа,

Баланс мощности для данной цепи:

3.2 Математическая модель цепи для комплексных значений при действии источников гармонического сигнала

Заменив элементы цепи соответствующими комплексными изображениями.

В результате получается система из шести независимых уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Уравнений, в полученной системе, столько же, сколько и в первом случае.

Баланс мощности в комплексном виде для данной цепи:

4. Расчет тока ветви

.1 Расчет тока ветви методом контурных токов

Для расчета тока методом МКТ необходимо заменить источник тока источником ЭДС.

₀ = J₀×R₁ = -2.5i×3 = -7.5i

в результате преобразования схемы и назначения контурных токов получаем что₂ = I₂₂

составим систему уравнений, по второму закону Кирхгофа, в матричном виде. Число независимых уравнений равно:

N₂=N_в-N_у+1 = 6-4+1 = 3

По методу Крамера получаем:

₂₂=D₂/D_z2=I₂₂=0.663857+0.455819i

4.2 Расчет тока ветви методом узловых напряжений

Для расчета тока методом МУП необходимо заменить источник напряжение источником тока и последовательно соединённые сопротивления эквивалентным.

в результате преобразования схемы назначения узлов получим, что

₂ = U₂₃×y_3, а U₂₃ = U₂ - U₃,

где U₂₃ -напряжение в ветви, где надо найти ток.

Составим систему уравнений в матричном виде:

По методу Крамера получаем:

U₂=D₂/D_Y

U₃=D₃/D_Y23=U₂+U₃=(0.813013-2.191354)-(1.437111+1.167677)=-0.624098-3.35902i

I₂=U₂₃×Y₃=(-0.624098-3.35902i)×(0.166667-0.166667i)=-0.663857-0.455819i

4.3 Расчет тока ветви методом эквивалентного генератора

Для расчета тока ветви по МЭГ необходимо отключить ветвь схемы, в которой следует рассчитать ток, и найти параметры эквивалентного генератора U_xx=E_эг и Z_эг. (U_{хх -} напряжение холостого хода, Z_{эг -} сопротивление эквивалентного генератора).

Определим параметры эквивалентного генератора, используя МУП.

_XX=D₂/D_Y

U_XX=(0.046111-0.185278i)/(0.009204+0.009306i)= -7.587132-12.458947i_эг=D₂₂/D_Y

Z_эг=(0.083334+0.166555i)/(0.009204+0.009306i)=13.524581+4.421474i

В результате замены получаем простую цепь, содержащую источник ЭДС и последовательно соединённые сопротивления.

Отсюда следует, что:

Теперь, когда результаты всех трех методов сошлись, подсчитаем мгновенное значение искомого тока (I_2m)

g=arctan(y/x)=(-0.455819/(-0.663857))=0.60168

5. Расчет токов ветвей при постоянном токе

Вычислим токи всех ветвей в предположение, что задающие источники сигнала являются источниками постоянного тока и постоянного напряжения, значение которых задаются условием:

₁=(e(t))/w=0 и J₀=(j(t))/w=0₁=5B и J₀=2.5A

Преобразуем источник тока в источник напряжения.

₀=J×R₁ =2.5×3=7.5B

В результате преобразования схема примет вид

I=(E₀+E₁)/(R₁+R₂+R₃)=(7.5+5)/(3+3+3)=1.388889A

Так как схема преобразовалась в чисто последовательную цепь, по ней протекает один ток I, токи I₄=I₂=I₃=I₇=I, а I₁=I₅=0,

₆=I₇-J₀=1.388889-2.5= -1.111111A

Составим систему уравнений по второму законам Кирхгофа, для нахождения U_C1 и U_C2.

Баланс мощности для постоянного тока:

Проверим выполнение баланса мощности.

6. Заключение

математический электрический цепь ток

В результате проделанной работы были рассмотрены и применены на практике три метода расчета линейных электрических цепей (МУП, МКТ, МЭГ) и рассчитано значение тока ветви J₂=0.663858+0.45582i и |J₂|=0,805281А.

Все методы применимы для расчета электрических цепей при гармоническом воздействии, состоящих из линейных элементов. Метод МЭГ применим так же при наличии ветви содержащей нелинейный элемент. В отличие от этих методов, ММЦ позволяет рассчитать цепь при любом воздействие и содержащих как линейные, так и нелинейные элементы. Выбор между методами осуществляется для каждой цепи в отдельности.