Акустические волны в среде с флуктуирующей плотностью

Акустические волны в среде с флуктуирующей плотностью

Введение

Аморфное состояние формируется, как правило, из жидкого или парообразного в условиях сверхбыстрой закалки, предотвращающей кристаллизацию. Отличительными особенностями такого состояния являются отсутствие дальнего порядка в расположении атомов и неравновесность. Структурный беспорядок аморфной фазы характеризуется флуктуациями величины межатомных расстояний, а так же плотности вещества. Кроме того, в сплавах имеют место флуктуации концентрации атомов различных компонентов (химический беспорядок). В аморфном состоянии отсутствует точка плавления. При повышении температуры аморфное вещество размягчается и переходит в жидкое состояние постепенно. Эти особенности обусловлены отсутствием в аморфном состоянии так называемого дальнего порядка- строгой периодической повторяемости в пространстве одного и того же элемента структуры. В то же время у вещества в аморфном состоянии существует согласованность в расположении соседних атомов- так называемый ближний порядок, соблюдаемый в пределах первой координационной сферы, и постепенно теряющийся при переходе ко второй и третей сферам, т.е. соблюдающийся на расстояниях, сравнимых с размерами кристаллической ячейки. С расстоянием согласованность уменьшается и через 5-10  исчезает [1].

1. Акустические волны

Кристаллический и ориентационный порядки сильно отличаются. Ориентация сохраняется на расстояниях 100-1000 , когда кристаллический порядок разрушен. На рис. 1 условно изображена атомная структура, в которой координаты атомов существенно стохастизуются уже при расстояниях , а ориентация оси кристаллографической ячейки сохраняется примерно однородной на гораздо больших расстояниях . Такая модель (с разными элементами стохастизованной кристаллической решетки, имеющими разные корреляционные радиусы) существенно меняет представление о структуре аморфного состояния.

Рис. 1. Условное изображение модели атомной структуры аморфного вещества, в которой различным параметрам стохастизованной решетки соответствуют различные радиусы корреляций. Расстояния между атомами (черными кружками) стохастизованы на расстояниях , средняя ориентация элементарной ячейки (прямоугольники) имеет гораздо больший радиус корреляций .

Корреляционный радиус  экспериментально определяется методами хорошо развитыми для кристаллических материалов (рентгеновская, электронная, нейтронная спектроскопии). Для определения корреляционных радиусов порядка 100-1000  потребовалось обоснование и развитие новых методов исследования. Теоретически было показано, что корреляционные радиусы крупномасштабных композиционных и структурных неоднородностей должны проявляться в виде характерных особенностей на законах дисперсии и затухании всех элементарных возбуждений твердого тела: спиновых, упругих [2, 3], плазменных, и электромагнитных волн [4].

В данной работе рассматриваются упругие волны, распространяющиеся в среде с флуктуирующей плотностью. Решение задачи проводится методом, развитым в работе [2], однако спектральные характеристики вычисляются в приближении Бурре.

2. Дисперсионное соотношение для волн в неоднородной упругой среде

.1 Одномерный случай

Объемная плотность лагранжиана для вектора упругого смещения  в сплошной одномерной среде определяется выражением

,  (1)

где первый и второй член- плотность кинетической и потенциальной энергии, соответственно, G- плотность вещества, A- константа взаимодействия. Уравнение движения имеет вид

. (2)

Для начала рассмотрим случай, когда G и A постоянные величины, не зависящие от координаты.

, , (3)

. (4)

Получили уравнение колебаний в привычном виде.

Положим, что плотность вещества меняется в зависимости от координаты , а константа взаимодействия остается постоянной.

, ,  (5)

. (6)

Удобно переписать , где G- средняя плотность, - среднеквадратичная флуктуация плотности, - безразмерная случайная функция с математическим ожиданием, равным нулю , и дисперсией . Угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций случайных функций.

. (7)

Положим, что константа взаимодействия меняется в зависимости от координаты , а плотность вещества остается постоянной. Сразу заменим

, (8)

, , (9)

. (10)

В большинстве реальных материалов, преобладает неоднородность какого-то одного физического параметра. Поэтому мы здесь не будем рассматривать случай одновременных флуктуаций A и G.

Рассмотрим уравнение колебаний (7) с неоднородной плотностью G(x).

Выполним в (7) преобразование Фурье

. (11)

В (11) после интегрирования по  возникает свертка.

, (12)

где . (13)

Введем обозначения

, , (14)

тогда уравнение (12) перепишется в виде

. (15)

Если положить  (), т.е. плотность среды однородная, то уравнение (15) принимает вид

.  (16)

Поскольку амплитуда  упругой волны отлична от нуля, то уравнение (16) выполняется при . Решение этого дисперсионного уравнения дает линейный закон дисперсии волны

,  (17)

где - скорость звука, - волновой вектор возбуждений.

В случае неоднородной плотности, закон дисперсии должен некоторым образом модифицироваться. Получим эту модификацию на основе теории возмущений, считая параметр .

Запишем формальное решение уравнения (15)

. (18)

Подставим это решение в подинтегральное выражение уравнения (15), получим

. (19)

Учитывая, что

,  (20)

усредним по случайным реализациям

. (21)

Приближенно расцепляем коррелятор

. (22)

Для однородной случайной функции справедливо , или

, (23)

где - спектральная плотность корреляционной функции. Подставим (23) в (21)

, (24)

выполним интегрирование по , получим

. (25)

Таким образом получено дисперсионное уравнение в приближении Бурре (25) для усредненной волны.

Дисперсионное соотношение несет информацию о спектральной плотности , т.е. о корреляционной функции  флуктуирующего в пространстве параметра плотности среды.

Для оценок выберем экспоненциальную корреляционную функцию и связанною с ней преобразованием Фурье спектральную плотность (см. приложение 1).

; , (26)

где - характерное волновое число (2/характерный размер неоднородности, - радиус корреляций случайной функции , описывающей неоднородности); D- дисперсия  (в нашем случае D=1 по определению).

Подставим (26) и (14) в (25), получаем

. (27)

Введем обозначения . Тогда уравнение (27) примет вид

 (28)

или

Из граничных условий , где  - действительные и положительные числа, а k- действительное волновое число, определяемое размерами образца.

Под интегралом будем считать - действительным. В соответствии с выбранной формой преобразования Фурье имеем

. (30)

С учетом (30) введем обозначение

. (31)

Этот интеграл вычислим методом вычетов вводя комплексную переменную Z. Контур представлен на рис. 2. .

Рис. 2. Контур интегрирования. Обход против часовой стрелки

Особые точки- полюсы первого порядка. В результате имеем

. (32)

Подставив (32) в уравнение (29), получим

. (33)

Решая это уравнение получим модифицированный закон дисперсии и затухания волны в приближении Бурре.

Удобно работать с безразмерными величинами. Введем обозначение , . Тогда (33) принимает вид

. (34)

Как было указано выше,  , . Тогда уравнение (34) от комплексной переменной , можно представить в виде системы двух уравнений

 (35)

Получили нелинейную систему уравнений, которую можно решать численно. Эта система была решена двумя способами: с помощью вложенного в Maple 10 численного метода решения систем уравнений и метода релаксации (см. приложение 2). Совпадение получилось до шестого знака.

Если в правой части (33) положить  как это делалось в работах [2], (разложение Релея-Шредингера), то имеем

. (36)

Таким образом, для модифицированного закона дисперсии упругой волны получаем простое выражение,

, (37)

совпадающее с соответствующим выражением в работе [2].

В безразмерных величинах (36) принимает вид

. (38)

На рис. 3 приведены кривые: сплошные- приближение Бурре (решение системы (35)), штриховые- приближение Релея- Шредингера, точечная прямая- линейный закон дисперсии. Было взято.

Рис. 3. Дисперсионные соотношения. Сплошные кривые- приближение Бурре (решение системы (35)), штриховые кривые- приближение Релея- Шредингера, точечная прямая соответствует невозмущенному дисперсионному соотношению. .

.2 Трехмерный случай

Уравнение колебаний для трехмерного вектора упругого смещения в сплошной среде с флуктуирующей плотностью имеет вид

. (39)

Выполним в (39) преобразование Фурье

. (40)

В (40) после интегрирования по  возникает свертка.

, (41)

где

. (42)

В обозначениях (14), уравнение (41) примет вид

. (43)

Так же, как и в одномерном случае модификацию закона дисперсии будем получать на основе теории возмущений, считая параметр .

Запишем формальное решение уравнения (43)

. (44)

Подставляя это решение в подинтегральное выражение уравнения (43), получим

. (45)

Учитывая, что

, (46)

усредним (45) по случайным реализациям

. (47)

Расцепив коррелятор и выполнив интегрирование по получим

. (48)

Для оценок выберем экспоненциальную корреляционную функцию и связанною с ней преобразованием Фурье спектральную плотность (см. приложение 1)

; , (49)

Подставляя (49) и (14) в (48), получаем

. (50)

Выполнив интегрирование в (50) по угловым переменным, используя сферическую систему координат, получим

. (51)

Так же как и в одномерном случае .

Введем обозначение

. (52)

Этот интеграл вычислим методом вычетов. Контур представлен на рис. 3. .

Рис. 4. Контур интегрирования. Обход против часовой стрелки

Особые точки- полюсы первого порядка. В результате имеем

. (53)

акустическая волна флуктуирующая плотность

Подставив (53) в уравнение (51), получим

. (54)

Решая это уравнение получим модифицированный закон дисперсии и затухания волны в приближении Бурре.

Перепишем (54) в безразмерных величинах.

. (55)

 (56)

Получили нелинейную систему уравнений, которую можно решать численно. Эта система была решена с помощью вложенного в Maple 10 численного метода решения систем уравнений.

Если в правой части (54) положить (разложение Релея-Шредингера), то имеем

. (57)

Таким образом, для модифицированного закона дисперсии получаем простое выражение, совпадающее с соответствующей формулой в [2].

. (58)

В безразмерных величинах (57) принимает вид

.  (59)

На рис.5 приведены кривые: сплошные- приближение Буре (решение системы (56)), штриховые- приближение Релея- Шредингера, точечная прямая- линейный закон дисперсии. Было взято.

Рис. 5. Дисперсионные соотношения. Сплошные кривые- приближение Бурре (решение системы (56)), штриховые кривые- приближение Релея- Шредингера, точечная прямая соответствует невозмущенному дисперсионному соотношению. .

Заключение

Рассмотрим пределы применимости полученных законов дисперсии. Приближение сплошной среды (39) применимо при условии

, (60)

где - межатомное расстояние. Приближенное решение интегрального уравнения (43) было получено при условии малости возмущений

. (61)

Приближение Релея-Шредингера накладывает условие связанное с требованием малости затухания. В трехмерном случае, как это следует из выражения (57) имеем

.  (62)

Численное решение в приближении Бурре дало меньшее затухание в области . Значит это приближение применимо в более широкой области значений , определяемой только неравенствами (60) и (61).

Необходимо так же отметить, что закон дисперсии в приближении Бурре имеет точку излома при больших значениях волнового вектора k (см. рис. 3,5), чем в приближении Релея-Шредингера. При обработке эксперимента с использованием этой теоретической кривой могут получиться другие значения корреляционного радиуса.

Приложение 1

Корреляционные функции

Аморфный магнетик является стохастической системой, параметры которой (намагниченность, константа обмена и т.п.) есть случайные функции координат. Как известно, характеристики случайной функции координат представляют собой неслучайные функции- моменты различного порядка. Основные из них: момент первого порядка- математическое ожидание  и центрированный момент второго порядка- корреляционная функция

  (1.1)

где  - центрированная случайная функция.

Параметры аморфного материала описываются однородными случайными функциями, для которых корреляционные функции зависят только от модуля разности координат . Здесь мы будем иметь дело только с однородными случайными функциями. В пространстве волновых векторов эквивалентном корреляционной функции является связанная с ней преобразованием Фурье спектральная плотность

, (1.2)

где . Спектральная плотность  связана с трансформантой Фурье  флуктуации  следующим соотношением (мы будем обозначать трансформанты Фурье случайных функций теми же буквами, что и сами функции):

. (1.3)

Корреляционная функция  (или спектральная плотность ) является основной характеристикой стохастичности в системе, ибо она описывает и величину флуктуаций случайной функции (дисперсию  или среднеквадратичное отклонение ), и характерный пространственный размер флуктуаций (радиус корреляций ). Расчет и измерение корреляционной функции каждого флуктуирующего параметра (и функции взаимной корреляции при флуктуации нескольких параметров) есть основная задача при изучении любой стохастической системы.

В данной работе, для оценок была выбрана экспоненциальная корреляционная функция и связанная с ней преобразованием Фурье спектральная плотность. В одномерном случае функции имеют вид

; . (1.4)

Их вид представлен на рис. 6. В трехмерном случае

; . (1.5)

Рис. 6. Корреляционная функция случайной функции  и спектральная плотность  (1.4). Одномерный случай

Рис. 7. Спектральная плотность  (1.5). Трехмерный случай

Приложение 2

Метод релаксации для решения систем нелинейных уравнений

Дана система уравнений, или подробно

. (2.1)

Начальное приближение .

. (2.2)

Когда , то  - начальное приближение.

Когда , то - решение системы.

Перепишем систему (2.2) через индексы

, .  (2.3)

Полагая что переменные  зависят от , ,в (2.3) возьмем производную по  от левой и правой части, получим

. (2.4)

Обозначим

 . (2.5)

Так как  функция от независимых переменных, то можно перейти к частным дифференциалам. Из элементов (2.5) можно составить матрицу размерности n на n.

.  (2.6)

В (2.4) явно распишем скалярное произведение

. (2.7)

Подставив (2.6) в (2.7), получим

, (2.8)

или

. (2.9)

Умножим левую и правую часть в (2.9) на слева

  (2.10)

Требование .

Система дифференциальных уравнений (2.10) решается методом Рунге- Кутта четвертого порядка. Разностная схема для уравнения

,  (2.11)

имеет вид

 (2.12)

 (2.13)

 (2.14)

 (2.15)

Литература

1.       Займан Дж. Модели беспорядка. М.: “Мир”, 1982г.

.        Игнатченко В. А., Исхаков Р. С. Стохастическая магнитная структура и спиновые волны в аморфном ферромагнетике. Сб. Физика магнитных материалов. Новосибирск: “Наука”, 1983. Стр. 3-30.

.        Хандрих К., Кобе С. Аморфные ферро- и ферримагнетики. М.: “Мир”, 1982г.

.        Игнатченко В. А., Исхаков Р. С. Стохастические свойства неоднородностей аморфных магнетиков. Сб. Магнитные свойства кристаллических и аморфных сред. Новосибирск: “Наука”, 1989. Стр. 128-144.