О некоторых свойствах ганкелевых операторов над группами
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение
образования
«Гомельский
государственный университет
имени
Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра
математического анализа
О некоторых
свойствах ганкелевых операторов над группами
Курсовая
работа
Исполнитель:
студент группы М-41 _____________Дыба Р.В.
Гомель 2012
г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
. Полухарактеры и характеры
.1 Начальные сведения
.2 Двойственность Понтрягина
.3 Функциональная характеристика показательной функции
.4 Полугруппа Sp
.4.1 Определение и некоторые свойства
.4.2 Инвариантная мера в Sp
.4.3 Полухарактеры и характеры в Sp
.5 Полугруппа S
.5.1 Определение и некоторые свойства
.5.2 Инвариантная мера в S
.5.3 Полухарактеры и характеры в S
. Операторы Ганкеля
.1 Определения матрицы и оператора Ганкеля
.2 Ганкелевы операторы в пространствах Харди
.3 Символы операторов Ганкеля и Теорема Нехари
Заключение
Список использованных источников
ВВЕДЕНИЕ
Целью данной курсовой работы является изучение
некоторых полугрупп, возникающих в статистических вычислениях и их свойств, и
некоторых свойств ганкелевых операторов над ними. В работе рассмотрен вопрос о
введении в них инвариантной меры, а также находится общий вид полухарактеров и
характеров двух полугрупп, имеющих немаловажное значение и использующихся в
анализе на полумодулях. Также в данной работе рассмотрен основной пример
оператора Ганкеля и изучены некоторые его свойства.
1. ПОЛУХАРАКТЕРЫ И ХАРАКТЕРЫ
.1 Начальные сведения
Частичным ассоциативным группоидом называют систему,
состоящую из непустого множества S и
отображения т(х,у) = ху (закона композиции), действующего из непустого
подмножества произведения S x S в S и
обладающего свойством ассоциативности. Если т определено не на всем
произведении S x S, то S
называют полугруппой. Полугруппа S
называется абелевой (коммутативной), если ху = ух при всех х, у Î S. Далее мы будем, как правило, иметь дело с полугруппами.
Левым (правым) идеалом полугруппы S называется такое непустое
подмножество AÍ S, что saÎA (asÎA) при всех sÎS, аÎА. Если А является и левым, и правым
идеалом полугруппы S, то его называют
(двусторонним) идеалом. Идеал полугруппы S называется простым, если его дополнение есть полугруппа.
Говорят, что подмножество Р полугруппы S обладает левыми (правыми)
сокращениями на элементы S,
если из равенства
sx = sy (xs = ys), где sÎS,
x, уÎP, следует равенство х = у. Мы скажем, что S - полугруппа с (двусторонними)
сокращениями, если она обладает и левыми, и правыми сокращениями.
Группа G
называется группой левых частных полугруппы S, если S
погружается в G, и каждый элемент xÎG представляется в виде
х =а-1b,
где a,bÎS. Известно (теорема Оре), что
полугруппа S погружается в группу левых частных
тогда и только тогда, когда она обладает сокращениями и реверсивна справа, т.
е. Sa ∩Sb ≠ 0 для любых a, bÎ S. В частности, любая коммутативная полугруппа с сокращениями
погружается в группу частных.
Полугруппа
S, наделенная хаусдорфовой топологией, для которой
отображение т(х,у) = ху из SS в S
непрерывно, называется топологической полугруппой.
Топологическая
группа - это топологическая полугруппа, являющаяся группой, в которой
непрерывна также и операция перехода к обратному элементу. Топологическая
группа называется локально компактной, если ее топологическое пространство
локально компактно.
Скажем,
что топологическая полугруппа S погружается в топологическую группу G,
если существует взаимно-непрерывный инъективный гомоморфизм р: S → G. При этом,
когда это удобно, мы будем отождествлять S с ее образом p(S) в
группе G. В этом случае группа S ∩ S -1
обратимых элементов полугруппы S будет обозначаться G(S).
Если
X - топологическое пространство, то наименьшая σ-алгебра β(Х) его подмножеств, содержащая все открытые множества, называется σ -алгеброй борелевских множеств. Мера μ, определенная на σ -кольце Í β(Х), называется внутренне регулярной, если для любого ВÎ имеем
μ (B) = sup{μ (C):СÍ В,С Î
,С компактно}.
Мера
на β(Х) называется борелевской мерой. Борелевская мера на
хаусдорфовом пространстве X называется мерой Радона, если она внутренне
регулярна, и меры всех компактных множеств конечны.
Левой
мерой Хаара на локально компактной группе G называется
мера Радона μ, инвариантная в том смысле, что μ(хВ) = μ(В) для любых ВÎ
β
(Х),
хÎ G. Известно (А. Хаар, А. Вейль),
что левая мера Хаара всегда существует и единственна с точностью до множителя.
То же верно для правой меры Хаара. Если группа абелева, то просто говорят о
мере Хаара на группе G.
Пусть
теперь S - топологическая полугруппа (не обязательно абелева).
Полухарактером полугруппы S будем называть непрерывный гомоморфизм из S в
полугруппу с операцией умножения (-
единичный диск комплексной плоскости), отличный от тождественно нулевого.
Пространство всех полухарактеров полугруппы S, наделенное
топологией поточечной сходимости, будет обозначаться S*, а его подпространства,
состоящие из всех вещественнозначных (положительных, ограниченных
положительных) полухарактеров, - через Sr*
(соответственно S+*, S1*).
Для
топологической полугруппы S через S^ обозначим множество всех ее ограниченных
полухарактеров (т. е. ненулевых непрерывных гомоморфизмов из S в
замкнутый единичный диск комплексной плоскости с операцией умножения),
наделенное топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах S, а
через S^+ - подпространство этого пространства,
состоящее из неотрицательных полухарактеров (разумеется, в дискретном случае
S1* = S^+).
Характером
будем называть полухарактер, равный по модулю единице, а группа характеров
будет обозначаться X.
Следует
отметить, что даже в случае абелевых полугрупп с сокращениями множества S*, S+*, S^, S^+ и ряд их множеств являются относительно
поточечного умножения лишь частичными ассоциативными группоидами.
(Действительно, пусть, например, S есть мультипликативная полугруппа 23. Тогда индикаторы множеств 2 \ 3 и 3 \ 2
принадлежат S^+, но их произведение равно нулю). Тем не
менее, все эти группоиды являются полугруппами, если S содержит
единицу.
.2
Двойственность Понтрягина
Пусть
G - коммутативная группа. Как было определено выше,
характером этой группы называется гомоморфизм G в группу Т
(единичную окружность комплексной плоскости), т. е. такая функция на G с комплексными значениями, равными 1 по абсолютной величине,
что
(х + у) =
(х)(у). (1)
Если
G - топологическая группа, то, как правило, термин
«характер» означает «непрерывный характер». Мы будем считать все
рассматриваемые характеры непрерывными, не оговаривая этого особо. Если и -
характеры группы G, то их произведение - также
характер; если - характер, то
(комплексное
сопряженное) - также характер. Таким образом, совокупность всех характеров
данной группы G образует группу относительно операции обычного
умножения функций. Эта группа обозначается G^ и называется
группой, двойственной к G. Группа G становится топологической
группой, если определить сходимость как
равномерную сходимость на каждом компакте K G.
Пример.
Пусть
G = - группа
целых чисел. Ясно, что каждый характер G^
определяется своим значением на образующем элементе 1 G (не путать 1 с единицей группы, роль которой играет
0). В самом деле, из (1) следует, что
для всех
, (2)
Значение
может быть любым числом Т. Тем самым множество G
отождествляется в этом случае с окружностью Т.
Теорема.
Имеет место изоморфизм топологических групп ^ = Т.
Доказательство.
Мы уже видели, что множество естественно
отождествляется с Т. Покажем, что это соответствие является изоморфизмом
топологических групп. Будем обозначать через характер,
определяемый условием , Т. Равенство показывает,
что
соответствие является изоморфизмом групп Т и ^. Осталось проверить, что это соответствие является
гомеоморфизмом. Поскольку группа дискретна,
каждый компакт в состоит из конечного числа точек. Значит, сходимость
в является поточечной сходимостью. Равенство (2)
показывает, что тогда и только тогда, когда , т. е. когда . Теорема
доказана.
Также
можно доказать, что группа Т^ изоморфна. Тогда
получаем, что группы и Т двойственны друг к другу. Этот факт является
частным случаем принципа двойственности Л. С. Понтрягина:
Для
любой локально компактной топологической группы G естественное
отображение G в (G^)^, которое элементу gG ставит в
соответствие характер fg на G^ по формуле
, G^,
является
изоморфизмом топологических групп.
1.3
Функциональная характеристика показательной функции
Для
нахождения характеров нам понадобится решать уравнения вида (1). Однако вначале
рассмотрим задачу:
Найти
все непрерывные в промежутке функции f(x),
удовлетворяющие условию
f(x+y) = f(x) + f(y),
(3)
каковы
бы ни были значения x и у.
Уравнение
(3) является простейшим примером так называемых функциональных уравнений,
формулирующих некое свойство искомой функции, по которому она и должна быть
найдена. Наша задача состоит в отыскании всех непрерывных решений уравнения
(3).
Легко
видеть, что линейные однородные функции вида
f(x) = cx ( c=const) (4)
удовлетворяют
этому уравнению. Покажем, что они будут единственными непрерывными функциями,
имеющими свойство (3).
Прежде
всего, с помощью метода математической индукции легко обобщить соотношение (3)
на случай любого числа (=n) слагаемых:
= f(x) + f(y) +…
+ f(z) (5)
Действительно,
если допустить верность его для какого-либо числа n2 слагаемых, то оно окажется верным и для n+1
слагаемых:
,
Полагая
в (5) x = y = … = z, найдем:
f(nx) = nf(x).
(6)
Заменив
здесь x на , получим
,
А
затем, если подставить mx ( m- натуральное) вместо x и использовать
предыдущее равенство, придем к соотношению
(7)
Положим
теперь в основном уравнении (3) x = y = 0; получим
f(0) = 2f(0), откуда f(0)=0.
(8)
Если
же взять y = - x, то, с учетом (8) найдем:
f(-x) =
- f(x),
т.
е. функция f(x) нечетная, тогда из (6) и (7) легко получить:
f(-nx) =
- f(nx) = -n f(x) (9)
и,
аналогично, вообще
(10)
Полученные
соотношения (6) - (10) могут быть объединены в равенстве
f(rx) = rf(x),
справедливом
для любого вещественного значения x, каково бы ни было рациональное
число r.
Если
взять здесь x = 1 и обозначить f(1) через c, то
получим
f(r) =
сr.
Таким
образом, мы, собственно говоря установили уже вид функции f, но
пока лишь для рациональных значений аргумента. При этом мы использовали только
тот факт, что функция удовлетворяет условию (3), и не опирались на ее
непрерывность.
Пусть
теперь q будет любое иррациональное значение аргумента. Легко
построить стремящуюся к нему последовательность рациональных чисел r1, r2, …, rn, …
(можно,
например, взять отрезки соответствующей бесконечной десятичной дроби). Мы
только что показали, что
f(rn) = сrn (n = 1,2,…),
Перейдем
здесь к пределу при ; справа мы получим сq, слева же,
именно ввиду предположенной непрерывности функции f, получится
lim f(rn) = f(q),
так
что, окончательно,
f(q) = cq.
Таким
образом, действительно, наша функция при всех вещественных значениях аргумента
выражается формулой (4). Эта формула дает самое общее решение уравнения (3) в
непрерывных функциях.
Вернемся
теперь к уравнению (1). Решим его вначале для вещественно- значных функций.
Итак, рассмотрим уравнение
f(x+y) = f(x) *f(y),
(3)
где
f: непрерывна.
Нетрудно заметить, что если
f(x) = ax (a > 0), (4)
то,
каковы бы ни были два вещественных числа x и у, равенство
(3) всегда имеет место. Оказывается, что функциональным свойством (3), вместе
со свойством непрерывности, показательная функция определяется вполне. Точнее
говоря: единственной функцией, определенной и непрерывной во всем промежутке и удовлетворяющей в нем условию (3), является
показательная функция (если не считать функции, тождественно равной 0).
Иными
словами, формула (4) - за указанным исключением - дает самое общее решение
функционального уравнения (3) в непрерывных функциях.
Для
доказательства этого рассмотрим произвольную функцию f(x),
определенную и непрерывную при всех x и удовлетворяющую условию (3).
Исключается тривиальный случай, когда f(x) 0.
Итак,
при некотором значении x = х0 эта функция отлична от 0.
Полагая
в (3) у = х0-х, получим
f(x)f(х0-х)
= f(х0) 0;
отсюда
ясно, что f(x) отлична от 0 при всяком х. Больше того, заменяя в
(3) x и у через , найдем:
f(x) = ,
так
что f(x) всегда строго положительна.
Пользуясь
этим, прологарифмируем равенство (3), например, по натуральному основанию е:
ln f(x+y) = ln f(x)+ln f(y).
Если
положить
(x)= ln f(x),
то
в лице (x) мы будем иметь функцию, непрерывную (как результат
суперпозиции непрерывных функций, и удовлетворяющую условию:
(x+y)= (x) +(y),
аналогичному
(А). В таком случае, как мы установили, необходимо
(x)= ln f(x) = cx (с = const.),
откуда,
наконец,
f(x) = ecx = ax
(если
положить а = ec), ч. и тр. д.
.4
Полугруппа Sp
.4.1 Определение
и некоторые свойства
Рассмотрим
множество неотрицательных действительных чисел . Кроме
того, пусть , . Введем
здесь алгебраическую операцию следующим образом:
, ,
(в
дальнейшем будем рассматривать только такие x,y и p).
Обозначим . Справедлива следующая
Доказательство.
Очевидно, что введенная операция определена на всем множестве . Заметим, что
.
операция ассоциативна на . Итак,
по определению - полугруппа. Заметим также, что указанная операция
коммутативна. Действительно:
Тогда
является абелевой полугруппой.
Установим
наличие у нулевого элемента .
Нетрудно заметить, что таким элементом является число ноль (), т.к.
.
Единственность
нуля следует из его единственности в .
Пусть
теперь , . Тогда
,
,
.
Тогда
получаем, что обладает правыми сокращениями. Аналогично
показывается, что обладает и левыми сокращениями, т.е. обладает
сокращениями.
Таким
образом, - абелева полугруппа с нулем, обладающая
сокращениями, ч.т.д.
Теперь
найдем группу частных , если она существует.
Рассмотрим
. Пусть , т.е. .
.
Возможны
следующие два случая:
)
p - нечетное число. В этом случае . Тогда
- группа
частных, в которую погружается .
2) p -
четное число. Тогда , где - один из
p комплексных корней единицы, и группа частных имеет
вид:
.
Таким образом, справедливо следующее утверждение:
Теорема.
погружается в группу частных
.4.2 Инвариантная
мера в Sp
Рассмотрим
полугруппу и попытаемся ввести в ней инвариантную меру. Нетрудно
убедится, что -алгебра борелевских множеств на является сужением -алгебры
борелевских множеств на , т.е.
.
Теорема.
где ,
является -аддитивной инвариантной мерой, заданной в полугруппе .
Доказательство.
Пусть - мера Лебега - Стилтьеса, где .
Она
определена на, а значит, определена и на . Очевидно, что строго
возрастает на. Кроме того, она непрерывна, а значит, непрерывна
слева на всей области определения. Тогда по свойствам меры -аддитивна.
Осталось проверить ее инвариантность.
Докажем,
что данная мера инвариантна слева, т.е. . Ввиду -аддитивности
меры достаточно показать, что это верно для M = [a;b), где
. Покажем это.
.
Заметим,
что непрерывна как композиция непрерывных функций, а
значит . Тогда
=
==
.
Итак,
данная мера инвариантна слева. Аналогично показывается, что она инвариантна
справа, ч.т.д.
1.4.3 Полухарактеры и характеры в Sp
Теорема.
Отображение является полухарактером , где , а таково, что .
Доказательство.
1) Пусть , непрерывно
как композиция непрерывных отображений; кроме того, . Также заметим, что
,
т.е.
.
Таким
образом, - полухарактер.
)
Пусть теперь - некоторый полухарактер. Тогда , т.е. . Положим , , g непрерывна как композиция непрерывных функций (φ непрерывна по условию). Тогда
= и
.
Выше
было показано (п. 1.3), что в этом случае , где .
Следовательно,
, ч.т.д.
Замечание.
Для характеров формулируется и доказывается аналогичная теорема, с той лишь
разницей, что на константу c налагается условие | c | = 1.
.5
Полугруппа S
.5.1 Определение
и некоторые свойства
Рассмотрим
множество: . Введем на нем алгебраическую операцию следующим
образом:
.
Обозначим
. Тогда справедливо утверждение:
Лемма.
Множество является абелевой полугруппой без нулевого элемента и
обладает сокращениями.
Доказательство.
Очевидно, что введенная операция определена на всем множестве. Нетрудно видеть, что
=
=
=
.
операция ассоциативна на . Тогда
по определению - полугруппа. Заметим, указанная операция
коммутативна. Действительно:
.
Значит,
является абелевой полугруппой.
В не существует нулевого элемента, т.к. таким элементом
может являться только пара (0,0).
,
Получаем,
что обладает правыми сокращениями. Аналогично
показывается, что обладает и левыми сокращениями, т.е. обладает
сокращениями.
Итак,
- абелева полугруппа с нулем, обладающая
сокращениями, ч.т.д.
Замечание.
Наряду с полугруппой мы также можем рассматривать и полугруппу , для которой верна аналогичная лемма.
.5.2 Инвариантная
мера в S
Попытаемся
ввести в инвариантную меру. Нетрудно убедится,
что
-алгебра борелевских множеств на является сужением -алгебры
борелевских множеств на , т.е.
.
В
можно ввести меру Лебега (обозначим её ). Тогда
положим . Заметим, что , значит естественно определить: . определяется
через меру Лебега, а стало быть является -аддитивной
мерой.
В
существует топология, индуцированная естественной
топологией . Она является топологической полугруппой, т.к.
отображение является непрерывным.
Теорема.
является инвариантной мерой, заданной в полугруппе .
Доказательство.
Докажем, что данная мера инвариантна слева, т.е. . Ввиду -аддитивности
меры достаточно показать, что это верно для M = [a;b), где ,. Покажем это.
.
Т.к.
непрерывна, то
Тогда
.
Итак,
данная мера инвариантна слева. Аналогично показывается, что она инвариантна
справа, ч.т.д.
1.5.3 Полухарактеры и характеры в S
Справедливо следующее утверждение:
Теорема.
Отображение является полухарактером , где , так, что и .
Доказательство.
1) Отображение непрерывно как композиция непрерывных отображений;
кроме того, и . Также
верно, что . Действительно.
.
Таким
образом, - полухарактер.
)
Пусть теперь - некоторый полухарактер. Тогда , т.е.
.
Заметим,
что . Обозначим , тогда . Положим , , f непрерывна как композиция непрерывных функций (φ непрерывна по условию). Тогда ,
и мы
придем к равенству
,
.
Заметим,
что . Тогда т., что , отсюда
следует, что (f
непрерывна). Это верно . Тогда, положив ,
получим: , c=const, . Тогда .
Вернемся
к равенству . Пусть в нем , тогда
при .
Если
, то получаем равенство .
Тогда
т., что , и,
следовательно,
,
Откуда
и получим, что .
Для
отрицательных значений x проводятся аналогичные рассуждения.
Итак
, ч.т.д.
Замечание.
Если | c | = 1 и | a | = 1, то мы получим
соответствующую теорему для характеров.
2. ОПЕРАТОРЫ ГАНКЕЛЯ
.1 Определения матрицы и оператора Ганкеля
Рассмотрим преобразование числовых последовательностей
,
связанное
с бесконечной матрицей . Начальный способ введения оператора Ганкеля состоит
в том, чтобы рассмотреть специальный случай тех преобразований ,у которых каждая из диагоналей, перпендикулярных к
главной диагонали, состоит из одинаковых элементов, т.е. для некоторой числовой последовательности . Это приведет нас к следующему определению.
Определение.
Оператором Ганкеля, действующим из одного пространства последовательностей X в
другое Y, , называется отображение, которому соответствует
матрица с элементами
, .
Матрица
, элементы которой задаются указанным образом,
называется матрицей Ганкеля:
.
Замечание.
Мы можем переписать это условие в виде равенства операторов. Определим оператор
сдвига
и
его левый обратный
.
Рассмотрим
, где ,
является естественным базисом в пространстве числовых последовательностей.
Тогда - n-ый столбик матрицы , и совпадает с .
Поэтому, следующая простая перестановка на матрице
показывает,
что - оператор Ганкеля тогда и только тогда, когда
Классическое
пространство, рассматриваемое в теории операторов Ганкеля (и это единственное,
которое мы рассмотрим здесь) - обычное гильбертово пространство
последовательностей
.
.2
Ганкелевы операторы в пространствах Харди
Рассмотрим
отображение
,
где
- пространство Харди. Тогда действие оператора S на есть умножение на независимую переменную :
,
и
действие его левого обратного S* есть действие усеченного оператора умножения
,
где
- ортогональная проекция . Теперь мы можем рассматривать операторы Ганкеля как
операторы, действующие между пространствами и с базисами и . Чтобы сделать это, мы вводим инволюцию
на
. Тогда , и в
частности .
Пусть
будет оператором Ганкеля. Тогда оператор
определяется
матрицей относительно базисов , и удовлетворяет следующему равенству операторов (так
называемое уравнение Ганкеля)
,
(где
). Действительно, замечая, что , мы получим
.
.3
Символы операторов Ганкеля и Теорема Нехари
Теперь
мы рассмотрим характерный пример оператора Ганкеля.
Лемма.
Пусть и .
Тогда
1) - ограниченный оператор Ганкеля,
)
,
)
.
Доказательство.
Пусть и удовлетворяют
условиям леммы. Тогда для всех , и
для
. Следовательно, -
ограниченный оператор Ганкеля. Кроме того, для мы имеем
,
отсюда
.
Ясно,
что это равенство не выполняется для каждого , если
функция не голоморфная. Получим
для
каждого , , и
наконец
.
Лемма
доказана.
Обратное
утверждение также верно. Его называют теоремой Нехари.
Теорема
(З. Нехари, 1957). Если оператор является
ограниченным оператором Ганкеля, то существует такой,
что и .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В
данной курсовой работе были рассмотрены две полугруппы, возникающие в
статистических вычислениях и основной пример ганкелевского оператора, изучены
их простейшие свойства. Также решался вопрос о возможности введения
инвариантных мер, велся поиск общего вида полухарактеров, характеров.
полухарактер функция ганкель оператор
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. А.Р. Миротин. Гармонический анализ на абелевых полугруппах. // Под
ред. А.Р. Миротина:- Гомель, ГГУ им. Ф.Скорины, 2008.- 11-12,46-47,207 с.
. А.А. Кириллов, А.Д. Гвишиани. Теоремы и задачи Функционального анализа.
// Под ред. А.А. Кириллова, А.Д. Гвишиани.- М: Наука, 1979.- 132-134,381 с.
. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
Том 1.- М: Наука, 1970.- 157-159 с.
4. N.K. Nikolski. Operators, Functions and Systems: An Ecipy
Deaching. Vol. I.- Amer. Math. Sic.- 2002.- 179-182,461 c.