Некоторые приложения кратных интегралов
Министерство
образования и науки РФ
ГОУ ВПО
Костромской Государственный университет имени Н.А.Некрасова
Физико-математический
факультет
Кафедра
математического анализа
КУРСОВАЯ
РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ
«НЕКОТОРЫЕ
ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ»
студентки 4 курса специальности
«Математика»
Ивановой
Анастасия Андреевны
Научный руководитель:
старший преподаватель
Смирнова Алёна Олеговна
Кострома
2012
Содержание
Введение
.
Двойные интегралы
.
Тройные интегралы
.
Приложения двойных интегралов
.
Приложения тройных интегралов
.
Контрольная работа по теме: «Приложения кратных интегралов»
.1
Ответы к контрольной работе
.2
Демонстрационные варианты контрольной работы с решениями
Заключение
Список
литературы
Введение
Интегрирование прослеживается еще в древнем
Египте примерно в 1800 г до н.э. Математический папирус демонстрирует знание
формулы объема усеченной пирамиды. Первым известным методом для расчета
интегралов является метод исчерпывания Евдокса (примерно 370 г до н.э.),
который пытался найти площади и объемы, разрывая их на бесконечное множество
частей, для которых площадь или объем уже известны.
Следующий крупный шаг в исчислении интегралов
был сделан в Ираке в 11 веке математиком Ибн ал-Хайсамом. В своей работе «Об
измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвертой степени.
Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению
определенного интеграла.
Следующий значительный прогресс в исчислении
интегралов появится лишь в 16 веке. В работах Кавальери с его методом неделимых,
а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального
исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале 17 века Барроу и Торричелли,
которые представили первые намеки на связь между интегрированием и
дифференцированием.
Работа состоит из введения, теоретической части,
состоящей из четырех пунктов, практической части, заключения и списка
используемой литературы.
В первой части рассматривается и вводится
понятие двойного интеграла, во второй части - понятие тройного интеграла. В третьей
и четвертой частях рассматриваются приложения кратных интегралов.
Область исследования - математический анализ
Объект исследования - теория кратных интегралов
Предмет исследования - двойные и тройные
интегралы
Проблема исследования - применение кратных
интегралов
Методы исследования - изучение литературы,
сравнение, обобщение, аналогия, анализ и классификация информации
Цель исследования - изучить теорию кратных
интегралов и разработать варианты контрольной работы по теме «Приложения
кратных интегралов»
Задачи исследования:
раскрыть понятия «двойной интеграл», «тройной
интеграл».
рассмотреть некоторые приложения кратных
интегралов
показать примеры вычисления кратных интегралов
рассмотреть применение кратных интегралов для
вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и
координат центра масс тела на конкретных примерах.
самостоятельно разработать варианты контрольной
работы по теме «Приложения кратных интегралов».
1. Двойные интегралы
Рассмотрим в плоскости 
замкнутую
область
,
ограниченную линией 
.
Разобьем эту область какими-нибудь
линиями на n частей 
, а
соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей
обозначим 
. Выберем в
каждой части 
точку 
. Пусть в
области D задана
функция 
. Обозначим
через 
значения
этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида :
: 
, называемую
интегральной суммой для функции 
в области .
Если существует один и тот же предел
интегральных сумм 
при 
и 
, не
зависящий ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек 
в них, то
он называется двойным интегралом от функции по области и
обозначается:
Вычисление двойного интеграла по
области ,
ограниченной линиями: 
, 
где 
и 
непрерывному
на 
, сводится к
последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого
двукратного интеграла:
Пример вычисления двойного интеграла
Вычислить двойной интеграл: 
; D: 
Решение:
Зададим область D
неравенствами:
D: 
Перейдем от двойного интеграла к
повторному:
= 
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
) 
=
=
) 
= 
=
=
Ответ: 4
2. Тройные интегралы
Понятие тройного интеграла вводится
по аналогии с двойным интегралом.
Пусть в пространстве задана некоторая
область 
,
ограниченная замкнутой поверхностью 
. Зададим в этой замкнутой области
непрерывную функцию 
. Затем
разобьем область на
произвольные части 
, считая
объем каждой части равным , и составим
интегральную сумму вида: 
Предел при 
интегральных
сумм, не зависящий от способа разбиения области и выбора точек 
в каждой
подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции по области :
Тройной интеграл от функции по области равен
трехкратному интегралу по той же области:
Пример вычисления тройного интеграла
Вычислить тройной интеграл: 
;
V: 
Решение:
Перейдем от тройного интеграла к
повторному:
= 
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
) 
) 
=
=
) 
= 
= 
) 
Ответ: 12,5
3. Приложения двойных интегралов
) Площадь плоской фигуры :
) Объем тела, ограниченного
поверхностями:
)Площадь части криволинейной
поверхности:
) Момент инерции относительно начала
координат 
плоской
фигуры :
) Масса плоской фигуры переменной
поверхностной плотности
Рассмотрим приложения двойных
интегралов на конкретных задачах.
Пример 1
Найти площадь фигуры, ограниченной
данными линиями: 
.
Решение:
Зададим область D
неравенствами:
D: 
Вычислим двойной интеграл
Ответ: S=36
Пример 2
Найти объем тела, ограниченного
данными поверхностями: 
Решение:
Зададим область D
неравенствами:
D: 
Перейдем от двойного интеграла к
повторному.
= 
.
Проведем поэтапное вычисление
интеграла.
) 
2) 
Ответ: 
Пример 3
Найти площадь части конуса 
,
заключенной внутри цилиндра 
Решение:
Зададим область D
неравенствами в полярных координатах:
D: 
Найдем частные производные:
Перейдем к полярным координатам и
заменим двойной интеграл повторным:
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
)
2)
Ответ: 
Пример 4
Найти момент инерции фигуры,
заданной неравенствами: 
относительно начала координат, если
его плотность постоянна и равна 3.
Решение:
Зададим область D неравенствами:
, 
Перейдем от двойного интеграла к
повторному:
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
) 
2) 
Ответ: 
Пример 5
Найти массу плоской фигуры, заданной
неравенствами: 
с переменной
поверхностной плотностью: 
.
Решение:
Перейдем от двойного интеграла к
повторному:
.
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
)
)
Ответ: 
4. Приложения тройных интегралов
кратный интеграл инерция
статистический
1) Объем тела :
) Масса тела плотности:
) Моменты инерции тела относительно
координатных осей и начала координат:
) Статистические моменты тела
относительно координатных плоскостей 
, , 
:
5) Координаты центра масс тела:
Рассмотрим приложения тройных
интегралов на конкретных задачах.
Пример 1
Найти объем тела, ограниченного
плоскостями 
Решение:
Зададим область 
неравенствами:
Перейдем от тройного интеграла к
повторному:
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
) 
2) 
3) 
Ответ: 
Пример 2
Найти массу тела, ограниченного
плоскостями
плотности 
Решение:
Зададим область неравенствами:
Перейдем от тройного интеграла к
повторному:
Выполним поэтапное вычисление
интеграла:
) 
) 
=
) 
Ответ: 
Пример 3
Найдите моменты инерции тела,
ограниченного плоскостями и
плотностью 
относительно
координатных осей и начала координат.
Решение:
Зададим область V
неравенствами:
Найдем момент инерции 
.
Перейдем от тройного интеграла к
повторному:
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
)
2)
=
)
Найдем момент инерции 
.
Перейдем от тройного интеграла к
повторному:
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
)
)
3)
Найдем момент инерции 
.
Перейдем от тройного интеграла к
повторному:
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
1)
2)
)
Найдем момент инерции 
.
Перейдем от тройного интеграла к
повторному:
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
) 
2) 
3) 
Ответ: 
Пример 4
Найти статистические моменты тела,
ограниченного плоскостями и
плотностью относительно
координатных плоскостей , , .
Решение:
Зададим область V
неравенствами:
Найдем статистический момент 
.
Перейдем от тройного интеграла к
повторному:
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
1) 
2) 
3) 
Найдем статистический момент 
.
Перейдем от тройного интеграла к
повторному:
Проведем поэтапное вычисление
интеграла:
) 
2) 
3) 
Найдем статистический момент 
.
Перейдем от тройного интеграла к
повторному:
Проведем поэтапное вычисление интеграла:
) 
2) 
3) 
Ответ: 
Пример 5
Найти координаты центра масс тела,
ограниченного плоскостями и
плотностью .
Решение:
Из примера 4:
Из примера 2:
Ответ: 
5. Контрольная работа по теме:
«Приложения кратных интегралов»
Вариант 1
Задание 1.
Дано тело, ограниченное плоскостями 
и плотности 
.
Найти: а) объем тела
б) массу тела
в) моменты инерции тела
г) статистические моменты
д) координаты центра масс тела
Задание 2.
Найти площадь фигуры, заданной
неравенствами: 
.
Задание 3.
Найти момент инерции фигуры,
заданной неравенствами: 
; относительно
начала координат, если его плотность постоянна и равна 6.
Задание 4.
Найти массу плоской фигуры, заданной
неравенствами: 
с
переменной плотностью
Вариант 2
Задание 1.
Дано тело, ограниченное плоскостями 
и плотности .
Найти: а) объем тела
б) массу тела
в) моменты инерции тела
г) статистические моменты
д) координаты центра масс тела
Задание 2.
Найти площадь фигуры, заданной
неравенствами: 
.
Задание 3.
Найти момент инерции фигуры,
заданной неравенствами: 
; 
относительно
начала координат, если его плотность постоянна и равна 2.
Задание 4.
Найти массу плоской фигуры, заданной
неравенствами: 
с
переменной плотностью 
Вариант 3
Задание 1.
Дано тело, ограниченное плоскостями 
и плотности .
Найти: а) объем тела
б) массу тела
в) моменты инерции тела
г) статистические моменты
д) координаты центра масс тела
Задание 2.
Найти площадь фигуры, заданной
неравенствами: 
.
Задание 3.
Найти момент инерции фигуры,
заданной неравенствами: 
; 
относительно
начала координат, если его плотность постоянна и равна 2.
Задание 4.
Найти массу плоской фигуры, заданной
неравенствами: 
с
переменной плотностью
Вариант 4
Дано тело, ограниченное плоскостями 
и плотности .
Найти: а) объем тела
б) массу тела
в) моменты инерции тела
г) статистические моменты
д) координаты центра масс тела
Задание 2.
Найти площадь фигуры, заданной
неравенствами: 
.
Задание 3.
Найти момент инерции фигуры,
заданной неравенствами: 
; 
относительно
начала координат, если его плотность постоянна и равна 3.
Задание 4.
Найти массу плоской фигуры, заданной
неравенствами: 
с
переменной плотностью
Вариант 5
Задание 1.
Дано тело, ограниченное плоскостями 
и плотности .
Найти: а) объем тела
б) массу тела
в) моменты инерции тела
г) статистические моменты
д) координаты центра масс тела
Задание 2.
Найти площадь фигуры, заданной
неравенствами: 
.
Задание 3.
Найти момент инерции фигуры,
заданной неравенствами: ; 
относительно
начала координат, если его плотность постоянна и равна 3.
Задание 4.
Найти массу плоской фигуры, заданной
неравенствами: с
переменной плотностью
5.1 Ответы к контрольной работе по
теме «Приложения кратных интегралов»
Вариант 1
Задание 1.
а)
б) 
в) 
г) 
д) 
Задание 2.
Задание 3.
Задание 4.
Вариант 2
Задание 1.
а)
б) 
в) 
г) 
д) 
Задание 2.
Задание 3.
Задание 4.
Вариант 3
Задание 1.
а)
б)
в) 
г) 
д) 
Задание 2.
Задание 3.
Задание 4.
Вариант 4
Задание 1.
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
Задание 2.
Задание 3.
Задание 4.
Вариант 5.
Задание 1.
а)
б)
в) 
г) 
д) 
Задание 2.
Задание 3.
Задание 4.
5.2 Демонстрационные варианты
контрольной работы по теме «Приложения кратных вариантов» с решением
Вариант 1
Задание 1.
а) 
Ответ: 
б) 
. 
. 
. 
Ответ: 
в ) 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
г) 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
д) 
Ответ: а)
б)
в)
г)
д)
Задание 2.
Ответ: 
Задание 3.
. 
. 
Ответ: 
Задание 4.
1. 
. 
Ответ: 
Вариант 2
Задание 1.
а) 
б) 
. 
. 
. 
в) 
. 
. 
. 
г) 
. 
. 
. 
д) 
Ответ: а)
б) 
в) 
г) 
д) 
Задание 2.
Ответ: 
Задание 3.
Ответ: 
Задание 4.
Ответ: 
Вариант 3
Задание 1
а) 
б) 
. 
. 
. 
в) 
. 
. 
. 
г) 
. 
. 
. 
д) 
Ответ: а)
б)
в) 
г) 
д) 
Задание 2.
Ответ: 
Задание 3.
. 
. 
Ответ: 
Задание 4.
. 
. 
Ответ: 
Заключение
В ходе работы я использовала
справочную и научную литературу. Результатами исследования по данной теме
курсовой работы являются:
) представление теоретического
материала по данной теме
) введено понятия «двойных» и
«тройных» интегралов
) рассмотрение применения кратных
интегралов для вычисления площадей, объемов, масс, моментов инерции,
статистических моментов и координат центра масс тела
) подробный разбор примеров на
приложения кратных интегралов.
) разработка контрольной работы по
теме «Приложения кратных интегралов
) приведение демонстрационных
вариантов контрольной работы по теме «Приложения кратных интегралов» с
решением.
В результате проведенной работы была
изучена теория кратных интегралов и разработана контрольная работа по теме:
«Приложения кратных интегралов».
Список литературы
1.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука,
1999.
.
Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2000.
.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Математический анализ. М.: Наука, 1999.
.
Смирнов В.И. Курс высшей математики.- Т.2. М.: Наука, 2005.
.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2001.
.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - Т.2. М.: Наука,
2001.
.
Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического
анализа (под редакцией А.В.Ефимова и Б.П. Демидовича). - Т.2. М.: Наука, 2004.
.
Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 2003.
.
Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Теория поля. М.: МАТИ, 2006.