Послушные шарики, или еще раз о развитии логического мышления
послушные шарики или еще раз о развитии
логического мышления
Математическая логика (теоретическая логика, символическая
логика) — раздел математики, посвященный изучению математических доказательств
и вопросов оснований математики (“Математическая энциклопедия”).
Всякая математическая теория представляет собой множество
предложений, над которыми производятся действия (операции), в результате
которых снова получаются предложения.
Если нет логических операций — нет математической логики, да
и вообще математики; если ученик не совершает этих операций, то вряд ли
приходится говорить о развитии логического мышления.
В начальной школе в первую очередь именно через решение
задач ребенок учится рассуждать, т. е. строить предложения с помощью слов
и словосочетаний: неверно, что — логическая операция, называемая
отрицанием; и — конъюнкция; или — дизъюнкция; если…, то…
— импликация; тогда и только тогда, когда — эквиваленция. Мы не будем
давать определения, поскольку учителя знакомы с этими операциями из курсов
математики педагогических университетов (институтов) и педколледжей (училищ).
1. Две классические задачи
1.
В трех одинаковых коробках лежат по два шарика: в одной — два черных, в
другой — два белых, в третьей — белый и черный. На каждой коробке есть табличка:
на одной изображены два белых шарика, на другой — два черных, на третьей — белый
и черный. Но известно, что содержимое каждой коробки не соответствует табличке.
Как вынув только один шарик только из одной коробки, переставить таблички на
коробках в соответствии с их содержимым?
Решение
Пронумеруем коробки как на рис. 1.
В коробке 3 находятся либо два белых шарика, либо два
черных. Достанем из нее шарик. Допустим, он оказался белым (рис. 2).
Следовательно,
в коробке 3 — два белых шарика (рис. 3).
Поскольку в
коробке 1 не может быть ни двух черных шариков (по условию надпись не
соответствует действительности), ни двух белых (они в коробке 3), то там —
черный и белый (рис. 4):
Ответ изображен
на рис. 5.
Если бы из коробки 3 при первой попытке мы вытащили
черный шарик, то ответ был бы таким (рис. 6):
2. У меня в трех коробках
лежали гвозди, винты и гайки. На каждой коробке было написано, что в ней лежит.
Однажды мой младший брат пересыпал содержимое коробок так, что надпись на
каждой коробке перестала соответствовать ее содержимому. Хорошо еще, что он не
перепутал их между собой: гвозди остались лежать отдельно от гаек и винтов и
т. д. Можно ли, открыв одну из коробок, определить, что лежит в каждой из
коробок?
Решение
Во-первых, для
простоты обсуждения, гвозди, винты и гайки обозначим кружочками разных цветов
(рис. 7). Во-вторых, заметим, что начинать рассуждения можно с любой
коробки. Приведем один из вариантов, а другие — предоставим ученикам.
Откроем коробку 1. Допустим, там оказались гайки
(рис. 8; а могли быть и винты: рассуждения проводились бы аналогично).
В коробке 2
винтов быть не может по условию, следовательно, винты — в коробке 3
(рис. 9).
Ну, а во второй коробке — гвозди.
2. Шариковый сериал
Имеются два непрозрачных ящика. В них находятся один черный и один
белый шарик:
либо по одному в каждом ящике,
либо в одном ящике два шарика.
На ящиках есть надписи, по которым надо определить (если возможно), где
какой шарик находится.
Указывается также, являются ли надписи истинными или ложными.
Условия задач и ответы представим в
виде таблицы. И — истинно, Л — ложно. Запись “Обе И”
означает, что надписи на каждом ящике правдивы.
№
|
Ящик 1
|
Ящик 2
|
Истинность
|
Ответ
|
1
|
Здесь
|
Здесь нет шариков
|
Обе И
|
В ящике 1 и черный, и белый
шарики
|
2
|
Здесь нет шариков
|
Здесь оба шарика
|
Обе Л
|
Возможны варианты (решение после табл.)
|
3
|
Здесь
|
Здесь
|
Обе Л
|
В ящике 1 — белый шарик, в
ящике 2 — черный
|
4
|
Здесь не
|
Здесь не
|
Обе И
|
5
|
Здесь не
|
Здесь не
|
Обе Л
|
В ящике 1 — белый шарик, в
ящике 2 — черный
|
6
|
Здесь или
здесь
|
Здесь
|
Обе И
|
В ящике 1 — белый шарик, в
ящике 2 — черный
|
7
|
Здесь или
здесь
|
Здесь
|
Обе Л
|
В ящике 1 — черный шарик,
в ящике 2 — белый
|
8
|
Здесь и
здесь
|
Первая
— И,
Вторая
— Л
|
В ящике 1 — оба шарика, в ящике
2 — пусто
|
Решение
1. Поскольку надписи истинны, то в ящике 2 шариков нет.
Следовательно, они оба в ящике 1.
Внимание. Надпись на ящике 1 “здесь черный” не означает,
что там не может быть белого шарика. Ведь утверждение “директор моей школы
живет в Беларуси” не означает, что в стране не живу я…
2. Так как надпись на ящике 2 неверна, то возможны
варианты:
а) в ящике 2 нет шариков вообще, следовательно, в
ящике 1 — и белый, и черный шарики;
б) если неверно утверждение “здесь оба шарика”, то верным
может быть утверждение “здесь белый шарик” или “здесь черный шарик” (т. е.
один из шариков находится в ящике 2), значит в ящике 1 тоже один
шарик.
Информация
для учителя. В этой задаче мы имеем
дело с одним из законов де Моргана: , который
звучит так: отрицание конъюнкции двух высказываний эквивалентно дизъюнкции
отрицаний каждого из данных высказываний. Напомним также, что дизъюнкция
истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний. Применительно к нашей
задаче: утверждение “неверно, что в ящике 2 лежат оба шарика”
равносильно утверждению “неверно, что в ящике лежит черный шарик, или
неверно, что в ящике лежит белый шарик”. Отсюда и получаются вышеописанные
варианты а) и б).
Решения остальных задач предоставляем учителю.
Таким образом, ученик “проходит” через логические операции,
хотя, естественно, и не знает их строгих определений (на интуитивном уровне),
следовательно, его логическое мышление развивается. Учитель же знает законы
логики и может корректировать рассуждения ребенка, если они ошибочны.
А. Щан —
старший преподаватель кафедры математики и методики ее преподавания БГПУ