Нахождение обратной матрицы
Лабораторная
работа
Нахождение
обратной матрицы
Задание
Цели работы: научиться
находить обратную матрицу и составлять алгоритм программы.
1. Обратить матрицу А:
Методом разбиения ее на клетки;
Методом разбиения ее на
произведение 2-х треугольных матриц;
С помощью метода Гаусса.
2. Вычислить определитель методом Гаусса.
. Решение
Метод разбиения на клетки.
Для данного метода представим исходную матрицу в
виде
, где 
Обратная матрица будет иметь вид
где 
а 
-
единичная матрица 2х2.
Последовательно вычислим:
а) 
:
б) 
:
в) 
:
г) 
:
Окончательно матрица D
будет иметь вид:
Метод L-U
факторизации.
Матрицу А также можно представить в виде
произведения треугольных матриц L
и U:
где 
Найдем элементы 
и
:
В итоге получим:
Для нахождения обратной матрицы воспользуемся
формулой:
Найдем матрицы, обратные треугольным.
Теперь найдем искомую обратную матрицу:
Метод Гаусса
обратный матрица
алгебраический погрешность
Запишем расширенную матрицу:
Проведем линейные преобразования. Умножим первую
строку последовательно на 2 и 6 и вычесть соответственно из второй и четвертой
строки.
Поделим вторую строку на 3 и умножим ее
последовательно на 1, 6, -7 и вычтем соответственно из первой, третьей и
четвертой строки.
Разделим третью строку на -10. Умножим
получившуюся третью строку последовательно на -5.333, 2.333, 33.333 и вычтем
соответственно из первой, второй и четвертой строки.
Разделим четвертую строку на -0,333. Умножим
получившуюся четвертую строку последовательно на 0.933, -0.033, 0.3 и вычтем
соответственно из первой, второй и третьей строки.
Окончательно матрица 
будет
иметь вид:
2. Вычисление определителя методом Гаусса
Умножим последовательно первую строку на 2 и 6 и
вычтем последовательно из второй и четвертой строки, получим
.
Отбросим первый столбец и первую строку, получим
.
Поделим первую строку на 3, получим
.
Умножим первую строку на 6 и -7 и вычтем
последовательно из второй и третьей строки, получим
.
Отбросим первый столбец и первую строку, и
умножим первую строку на -3,333 и вычтем из второй. Получим
. Проверка в MathCAD
Подсчет погрешности методов.
За абсолютный результат примем обратную матрицу,
полученную в системе MathCAD
с помощью миноров и алгебраических дополнений. Погрешность будем вычислять с
помощью наиболее отличающихся элементов матрицы.
Вычислим погрешность метода клеточного
разбиения.
Вычислим погрешность метода L-U факторизации.
Вычислим погрешность метода Гаусса.
При вычислении определителя результат получился
абсолютно одинаковым.
Вывод: я научился находить обратную матрицу
различными способами. Наибольшую погрешность дал метод L-U
факторизации, а наименьший метод клеточного разбиения.