Расчет и исследование нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров

Расчет и исследование нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ГОУ ВПО

Пензенская государственная технологическая академия

Факультет «ИПЭИС»

Кафедра «Информационные технологии и системы»

Контрольная работа

Дисциплина: «Цифровая обработка сигналов»

Тема: «Расчет и исследование нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров»

Пенза 2012

1. Задание на работу

2. Ход работы

Расчет и исследование нерекурсивных фильтров

Перечень решаемых задач:

расчет и исследование НЧ-фильтров;

расчет и исследование полосового фильтра.

. Расчет и исследование НЧ-фильтров.

ФНЧ1

коэффициенты фильтра рассчитываются по формулам :

Таким образом, коэффициент ak (k=0,...,N) зависит от отношения частоты среза к частоте дискретизации. Поэтому при расчетах удобно использовать относительную частоту среза:

; .

Рассчитаем коэффициенты фильтра  в соответствии с вариантом задания:

, ;

.

уравнение фильтра:

аналитическое выражение частотной характеристики фильтра :

Нд(w)=а0+2 ∑ak cos(w к Тд)

Нд(w)=0.1666+2[0,1326*cos(w Т)+0,0919*cos(w Т)+0,0531*cos(w Т)+ 0,0230* cos(w Т)+0,0053* cos(w Т)]

С помощью программы Matlab вычислить коэффициенты нерекурсивного фильтра нижних частот. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты фильтра, построить графики импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ фильтра.

Рисунок 1 - Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 2 - Амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

Рисунок 3 - Импульсная характеристика фильтра

Рисунок 4 - Структурная схема фильтра

Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.

Таблица 1 - Коэффициенты фильтра

ФНЧ2:

коэффициенты фильтра :

а0=0,2222, а1=0,1705, а2=0,1045, а3=0,0459, а4=0091, а5=-0,0036

уравнение фильтра:

Аналитическое выражение частотной характеристики фильтра :

Нд(w)=а0+2 ∑ak cos(w к Тд)

Нд(w)=0.2222+2[0,1705*cos(w Т)+0,1045*cos(w Т)+0,0459*cos(w Т)+ 0,0091* cos(w Т)-0,0036* cos(w Т)]

С помощью программы Matlab вычислить коэффициенты нерекурсивного фильтра нижних частот. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты фильтра, построить графики импульсного отклика, АЧХ и ФЧХ фильтра.

Рисунок 5 - Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 6 - Амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

Рисунок 7 - Импульсная характеристика фильтра

Рисунок 8 - Структурная схема фильтра

Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.

Таблица 2 - Коэффициенты фильтра

По результатам расчета ФНЧ1 и ФНЧ2 рассчитать (без компьютера) коэффициенты полосового фильтра с частотами среза f c1 и fc2 (f c1 < fc2).

За основу берется ФНЧ с частотой среза wв, которая соответствует верхней частоте среза искомого ПФ. Из спектра этого ФНЧ вычитается спектр другого ФНЧ с меньшей (нижней) частотой среза wн. В результате останется спектр полосового фильтра с зоной прозрачности (пропускания) между wн и wв. Искомые коэффициенты ПФ рассчитываются по формуле:

ак,ПФ = ак,ФНЧ(в) - ак,ФНЧ(н)

Таким образом, коэффициенты полосового фильтра:

а0=0,2222-0,1666=0,056

а1=0,1705-0,1326=0,038

а2=0,1045-0,0919=0,013

а3=0,0459-0,0531=-0,007

а4=0,0091-0,0230=-0,014

а5=-0,0036-0,0053=-0,009

С помощью программы Matlab произвести расчет коэффициентов этого же полосового цифрового фильтра и построить графики его импульсной и частотной характеристик. Сопоставить (в табличной форме) расчетные и вычисленные с помощью программы Matlab коэффициенты полосового фильтра.

Рисунок 9 - Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 10 - Амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

Рисунок 11 - Импульсная характеристика фильтра

Рисунок 12 - Структурная схема фильтра

Приведем в таблице коэффициенты фильтра расчетные и вычисленные в Matlab.

Таблица 3 - Коэффициенты фильтра

Синтезировать входной сигнал в виде аддитивной смеси гармонического сигнала с шумом. Частота гармонического сигнала , амплитуда A=1, длительность . Шум - с нормальным распределением, нулевым средним значением и единичным стандартным отклонением. Произвести фильтрацию смеси сигнала с шумом, рассчитанным полосовым фильтром. Построить графики фильтруемой смеси и результата фильтрации.

Рисунок 13 - Simulink-модель фильтрации смеси сигнала с шумом

Рисунок 14 - Отфильтрованный сигнал

Сгенерировать и профильтровать (рассчитанным полосовым фильтром) сигнал в виде последовательности знакоположительных прямоугольных импульсов амплитудой A=1, длительностью , следующих с частотой. Относительная длительность импульсов . Построить графики фильтруемой смеси и результата фильтрации.

Рисунок 15 - Simulink-модель фильтрации сигнала с шумом

Рисунок 16 - Отфильтрованный сигнал

Что называется нерекурсивным цифровым фильтром?

Нерукурсивный цифровой фильтра - это фильтр, который не имеет обратной связи.

Что является отличительной особенностью НЦФ?

Отличительной особенностью НЦФ является зависимость выходного сигнала y(n) только от входных сигналов в настоящий момент времени x(n) и предыдущие моменты x(n-k).

Что характеризует порядок НЦФ?

Его характеризует число задержек.

Чем обусловлена задержка выходного сигнала в НЦФ?

Тем, что выходной сигнал в момент времени n можно вычислить только тогда, когда станут известными “будущие” входные отсчеты. Это означает необходимость задержки выходного сигнала фильтра относительно входного.

Почему НЦФ называют фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ - или FIR- фильтром)?

Последовательность отсчетов, соответствующих весовым коэффициентам фильтра ak , конечна, поэтому НЦФ имеет конечный импульсный отклик и называется фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром или FIR (finite impulse response filtre) фильтром).

Что называется относительной частотой среза?

Относительная частота среза - это отношение верхней частоты (частоты среза) спектра аналогового сигнала к частота дискретизации сигнала, выраженное в радианах.

Что называется всечастотным фильтром?

Всечастотный фильтр (ВФ) - это фильтр, который пропускает без ослабления все частоты.

. Расчет и исследование нерекурсивных фильтров

Перечень решаемых задач:

расчет и исследование НЧ-фильтров Баттерворта 2-го порядка;

расчет и исследование полосового фильтра Баттерворта 2-го порядка.

Порядок выполнения работы:

Произвести расчет ФНЧ1, ФНЧ2 и полосового рекурсивных фильтров по тем же исходным данным, что и для нерекурсивных фильтров (т.е. частоты среза и частоту дискретизации брать из таблицы 1), с теми лишь отличиями, что:

для всех вариантов принимать порядок фильтра N=2;

тип фильтра выбирать во всех случаях одинаковый - Баттерворта;

ручной расчет коэффициентов фильтра  и  не производить;

синтез фильтров производить только с помощью программы Matlab, по результатам синтеза записать аналитические выражения для импульсной и комплексной частотной характеристик всех синтезированных фильтров;

Рисунок 17 - Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 18 - Амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

Рисунок 19 - Импульсная характеристика фильтра

Рисунок 20 - Структурная схема фильтра

Аналитическое выражение для импульсной характеристики:

Аналитическое выражение для комплексной частотной характеристики:

Рисунок 21 - Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 22 - Амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

Рисунок 23 - Импульсная характеристика фильтра

Рисунок 24 - Структурная схема фильтра

Аналитическое выражение для импульсной характеристики:

Аналитическое выражение для комплексной частотной характеристики:

Рисунок 25 - Расчет коэффициентов фильтра с помощью Matlab

Рисунок 26 - Амплитудно- и фазово-частотная характеристики фильтра

Рисунок 27 - Импульсная характеристика фильтра

Рисунок 28 - Структурная схема фильтра

Аналитическое выражение для импульсной характеристики:

Аналитическое выражение для комплексной частотной характеристики:

произвести фильтрацию сигналов полосовым фильтром с помощью программы Matlab.

Рисунок 29 - Simulink-модель фильтрации смеси сигнала с шумом

Рисунок 30 - Отфильтрованный сигнал

Рисунок 31 - Simulink-модель фильтрации сигнала с шумом

Рисунок 32 - Отфильтрованный сигнал

Выходной сигнал рекурсивного ЦФ в каждый момент времени зависит не только от входных сигналов, но и от выходных в предшествующие моменты времени.

Как влияет порядок фильтра на его характеристики (крутизну подъема или спада АЧХ, величину пульсаций)?

Порядок фильтра влияет на выраженность пика и величину вторичных "волн" проходной характеристики.

Как понять термин “бесконечная импульсная характеристика” фильтра?

Выходной сигнал РЦФ зависит и от выходных сигналов в предшествующие моменты времени. Поэтому импульсная характеристика такого фильтра является бесконечной.

Почему фильтры Баттерворта называют фильтрами с “максимально гладкой характеристикой”?

Потому что фильтры Баттерфорда обеспечивают максимально плоскую характеристику в зоне пропускания. Он имеет монотонную гладкую АЧХ во всем частотном диапазоне.

В чем смысл и полезность Z-преобразования для анализа и расчета цифровых фильтров?

В трансформации передаточной характеристики  некоего ФНЧ, именуемого «ФНЧ-прототип», в передаточную характеристику  нужного фильтра (НЧ, ВЧ, полосового), с последующей заменой .

Выводы

фильтр сигнал шум мatlab

В результате проведения работы были синтезированы и рассчитаны рекурсивные и нерекурсивные фильтры низких частот. В результате работы, рассчитанные вручную коэффициенты совпадают с полученными с помощью компьютера. Дискретное преобразование Фурье, используемое во всех непараметрических методах спектрального оценивания, подразумевает периодическое продолжение анализируемого фрагмента сигнала. При этом на стыках фрагментов могут возникать скачки, приводящие к появлению боковых лепестков значительного уровня в спектральной области. Для ослабления этого эффекта сигнал перед выполнением ДПФ умножают на спадающую от центра к краям весовую функцию (окно). В результате величина скачков на стыках сегментов уменьшается, меньше становится и уровень нежелательных боковых лепестков спектра - платой за это является некоторое расширение спектральных пиков. Помимо спектрального анализа весовые функции применяются при синтезе нерекурсивных фильтров путем обратного преобразования Фурье желаемой частотной характеристики. В этом случае они позволяют увеличить подавление сигнала в полосе задерживания фильтра за счет некоторого расширения полосы пропускания.