Олигополия и теория игр в современной экономике

Олигополия и теория игр в современной экономике

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономическая теория»

на тему «Олигополия и теория игр в современной экономике»

Содержание

Введение

Глава 1. Олигополия в современной экономике

.1. Понятие «Олигополия» и ее признаки

.2. Становление олигополии

.3 Ценообразование в условиях олигополии

Глава 2. Модели олигополии

.1 Модель олигополии с ломанной кривой спроса

.2 Модель дуополии Курно

.3 Модель Бертрана (олигополистические войны)

.4 Модель ценового лидерства

.5 Модель картеля

.6 Основные олигополистические рынки

Глава 3. Теория игр в современной экономике

.1 Понятие теории игр

.2. Классификация игр

.3 Модели теории игр

.4 Применение теории игр для принятия стратегических управленческих решений

.5 Проблемы практического применения теории игр в управлении

Заключение

Список использованных источников и литературы

Введение

Понятие «экономика», как наука появилось еще в Древней Греции благодаря ученому Ксенофонту и его работе «Экономикос» (в переводе «домострой»). С течением времени менялась как внешняя оболочка этой науки (напр. название), так и внутреннее содержимое, а именно предмет экономической теории, методы изучения и применения экономических основ.

Современное поколение имеет отличную возможность наблюдать за одним из самых ярких этапов развития экономики и принимать непосредственное участие в ее совершенствовании. Сейчас существует огромное количество возможностей для реализации или приобретения товара, как для производителя, так и для потребителя: регулирование экономической деятельности законом, принцип «невидимой руки» рынка, не говоря уже о множестве способов распространять и получать информацию о товарах.

Выбранная тема несомненно актуальна. В современной экономике олигополия является одним из самых распространенных типов рынка. Одной из характерных черт олигополии является то, что решение каждой фирмы влияет на ситуацию на рынке, и одновременно зависит от решений других фирм: принимая решение фирма учитывает возможную реакцию участников рынка. Для того, чтобы рассчитать оптимальное решение фирма использует теорию игр. Теория игр - раздел математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. При этом под конфликтом понимается явление, в котором участвуют различные стороны наделенные различными интересами и возможностями выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами.

Цель данной работы - подробное изучение моделей олигополии и теории игр.

Объектом исследования будут являться модели олигополистического рынка и модели принятия оптимальных решений, а предметом - стратегии фирм-олигополистов в зависимости от выбранной модели действий и оптимальные стратегии фирм при принятии решений.

Глава 1. Олигополия в современной экономике

1.1     Понятие «Олигополия» и ее признаки

олигополия теория игра

Олигополия представляет собой тип рыночной структуры, для которой характерно стратегическое взаимодействие немногих фирм, конкурирующих за объем продаж. К олигополистическим структурам принято относить такие отрасли, в которых существует от 2 до 24 производителей (предел обусловлен тем, что с 25 производителей начинается отсчет структур монополистической конкуренции).

Олигополия обладает следующими признаками:

доминирование на рынке небольшого количества продавцов-олигополистов;

очень высокие барьеры для вступления в отрасль;

продаваемый товар может быть как однородным, так и дифференцированным;

решение каждой фирмы влияет на ситуацию на рынке, и одновременно зависит от решений других фирм: принимая решение, фирма-олигополист учитывает возможную реакцию других участников рынка. По этой причине на олигополистическом рынке весьма велика возможность сговора;

прибыль фирм-олигополистов в долгосрочном периоде отлична от нуля.

Олигополия действует на олигополистическом рынке. Олигополистический рынок - рынок, на котором небольшое количество продавцов, весьма чувствительных к политике ценообразования и маркетинговым стратегиям друг друга, торгуют с большим количеством покупателей.

Признаки характеризующие олигополистический рынок:

. Однородность и разнородность продукции- характеризует наличие или отсутствие дифференциации товара в отрасли. В соответствии с этим признаком различают два вида олигополий:

Дифференцированная олигополия (автомобилестроение, электротехника, электроника), для которой характерна значительная дифференциация продукта;

Недифференцированная олигополия (цементная, нефтяная промышленности, большинство отраслей металлургии), для которой характерен стандартизированный продукт.

. Малочисленность и крупные размеры фирм. Олигополистический рынок характеризует господство нескольких фирм, а это говорит о том, что на рынке действует несколько крупных производителей. В связи с их малочисленностью, фирмы - конкуренты зависят друг от друга, что означает необходимость каждого производителя учитывать и принимать во внимание решения каждого из своих конкурентов, а также их возможную реакцию на собственные действия. Однако степень олигополизации рынка устанавливается, учитывая не столько количество, сколько долю крупных фирм в производстве. Существует несколько подходов для рассмотрения видов олигополий в зависимости от количества фирм и их долей на рынке. Так например, если во всей отрасли господствуют две или три фирмы, то такую олигополию называют «жесткой», а если шесть или семь крупных производителей делят между собой около 70 или 80 % рынка, в то время как их более мелкие конкуренты удовлетворяют спрос оставшейся части рынка, то такая олигополия называется «расплывчатой». Если принимать во внимание именно количество фирм, а не их долю, то в олигополистической структуре выделяют несколько видов олигополий. Ситуация, когда на одном рынке действуют два производителя идентичной продукции, при этом монополизируя рынок, называется дуополией. Если количество ведущих компаний в отрасли равно 3 или 4, то олигополия называется классической, если количество лидирующих производителей колеблется от 5 и выше, то это аморфная олигополия.

Еще один подход для разделения типов олигополий был предложен экономистами П. Самуэльсоном и В. Нордхаусом. Согласно данному подходу разделение олигополии на подвиды происходит в зависимости от степени контроля предприятий над ценой:

тайная олигополия;

доминировавшая олигополия;

монополистическая конкуренция.

. Еще одной чертой олигополии являются высокие барьеры входа на рынок, это обуславливается большими размерами фирм-производителей, господствующих на данном рынке. В данном случае свою роль играют финансовый барьер и барьер емкости рынка.

Финансовый барьер связан прежде всего с эффектом масштаба, то есть с экономией на масштабе производства. Эффект масштаба можно по праву назвать одной из самых главных причин возникновения и широкого распространения олигополий в отраслях. Он заключается в том, что эффективный объем выпуска для некоторых отраслей предполагает производство очень большого количества продукции, что способны себе позволить только крупные предприятия. Сложность в том, что содержание этого предприятия, как и сам выпуск продукции, требует огромных капиталовложений и инвестиций, что может себе позволить не каждая фирма.

Барьер емкости рынка предполагает, что даже если некоторому дополнительному количеству компаний удастся преодолеть финансовый барьер, большинство из них придет к банкротству или будет вынуждено уйти из отрасли. Это произойдет в связи с ограниченностью емкости рынка. Отрасли, в которых возникает олигополистическая структура, характеризуется тем, что спрос может быть практически полностью удовлетворен несколькими крупными производителями. При появлении новых конкурентов предложение будет превышать спрос, а издержки производства будут только расти, что как раз таки и может привести к выходу из отрасли или банкротству. Тем более появление новых конкурентов нанесет ущерб производителям, давно занимающим эту «нишу», что может привести к ценовой войне или другим способам нечестной конкуренции и новый производитель в любом случае будет вытеснен с рынка.

. Несовершенная информация. При оценке поведения конкурентов несовершенство информации характерное для олигополий в связи с взаимозависимостью фирм становится субъективным фактором производства. Фирмы - олигополисты не обладают достаточными сведениями о решениях, принятых конкурентами, что заставляет их пытаться «предугадывать» возможное поведение других производителей данной отрасли.

В зависимости от цели деятельности и степени взаимовлияния и взаимосвязи различают олигополии:

нескоординированная олигополия, для которой характерны:

А) отсутствие сговора и общей цели у фирм - конкурентов;

Б) выбор оптимального объема производства в условиях нескоординированной монополии;

В) потеря гибкости цен и блокирование механизмов саморегуляции рынка при нескоординированной олигополии

Одной из наиболее простых моделей этого класса является модель ломаной кривой спроса, предложенная независимо П. Суизи, а также Р. Хитчем и К. Холлом в 1939г. для объяснения относительной стабильности цен на продукты олигополистических отраслей по сравнению с товарами конкурентных отраслей.

Модель опирается на предположение, что рассматриваемая фирма будет иметь две разные линии спроса при различном поведении фирм-конкурентов: линию DD - если конкуренты последуют за изменениями цен данной фирмы, D`D` - если они не будут реагировать на ее изменения цен. Линии DD и D`D` пересекаются в точке K (рис.1).

Допустим, что первоначально фирма выбрала цену Р_K и объем производства Q_K. Если фирма снизит цену на свой товар, а конкуренты последуют ее примеру, то она может ожидать, что ее объем продаж вырастет в меньшей степени, чем в том случае, если бы конкуренты сохранили свои цены без изменения. Логично предположить, что конкуренты снизят цену с тем, чтобы потерять как можно меньше своих покупателей. Следовательно, при ценах ниже Р_K линией спроса будет отрезок линии DD. Напротив, если фирма повысит цену, то разумно предположить, что конкуренты не последуют за ней и объем продаж увеличится меньше, чем при совместном повышении цен. Тогда при ценах выше Р_K линия спроса нашей фирмы пойдет по отрезку линии Единая кривая спроса, отмеченная сплошной линией, окажется с изломом в точке K.

Рис.1. Ломаная кривая спроса

Ломаная кривая спроса АКD высокоэластичная выше уровня текущей цены Рк и малоэластичная ниже нее.

Предполагая, что конкуренты будут вести себя рационально, фирма будет воздерживаться от изменения первоначальной цены Р_K. И только значительное изменение затрат может склонить фирму к изменению цены. Это объясняется формой кривой предельной выручки (ALMN). Ломаной линии спроса соответствует разрывная ломаная линия предельной выручки, которая образована участками линий MR и соответствующих отрезкам линий DD и D`D`, а также вертикальным отрезком LM, связанным с точкой излома K. Если кривая предельных затрат (МС) пересечет линию предельной выручки в точке вертикального участка, то оптимум фирмы будет достигаться при цене Р_K и объеме выпуска Q_K. Таким образом, сдвиг кривой MС выше или ниже положения, показанного на рисунке, не повлечет за собой изменения оптимальной комбинации цены и объема выпуска, если точка пересечения с линией предельной выручки не выйдет за пределы отрезка LM.

Предложенная модель объясняет относительную негибкость цен при олигополии. Повышение цены одной фирмой таит опасность захвата рынка конкурентами. Понижение цен также может не привести к желаемому росту объема продаж, т.к. конкуренты, точно также понизив цены, сохранят свои квоты на рынке.

Немногочисленность основных участников олигополистического рынка благоприятствует заключению между ними соглашения. Основная идея подобного сговора состоит в установлении объема производства и цен на таком уровне, который обеспечивает максимальную прибыль для всей группы, договаривающихся компаний в целом. Далее этот объем делится между участниками картеля с помощью определения квоты (доли) каждого из них в общем производстве или путем географического закрепления рынков (члены картеля обязуются не вторгаться на чужие участки рынка).

В большинстве стран картели законодательно запрещены. В настоящее время они существуют (и преследуются властями) как тайные сговоры - негласные соглашения о ценах, разделении рынков и других способах ограничения конкуренции. Легально они допускаются лишь в некоторых особых сферах экономики (например, в старых, умирающих отраслях или в экспортной деятельности) под контролем государства.

«Игра по правилам». Данная форма олигополии представляет собой компромисс между нескоординированной олигополией и прямым сговором. Фирмы не вступают друг с другом в соглашения, но подчиняют свое поведение определенным неписаным правилам. Такая политика, с одной стороны, позволяет избежать юридической ответственности, вытекающей из антикартельного законодательства. А с другой - уменьшить риск непредсказуемой реакции конкурентов, т. е. оградить себя от главной опасности, свойственной нескоординированной олигополии. «Игра по правилам» облегчает достижение олигополистического равновесия.

Наиболее часто употребляемым приемом «игры по правилам» является лидерство в ценах. Оно состоит в том, что все крупные изменения цен сначала проводит одна фирма (обычно самая крупная), а затем они повторяются в близких размерах остальными компаниями. Ценовой лидер фактически единолично определяет цены (а значит, и объем производства) для всей отрасли. Но делает это с таким расчетом, чтобы новые цены устроили и остальных. Ведь если они будут невыгодны конкурентам, то те просто не последуют за лидером и отрасль перейдет в опасное для всех участников состояние нескоординированной олигополии. Не случайно поэтому лидер часто «прощупывает» отношение конкурентов, заранее предавая огласке размер предстоящего изменения и прислушиваясь к реакции других фирм.

.2 Становление олигополии

В основе исторической тенденции образования олигополий лежит механизм рыночной конкуренции, который с неотвратимой силой вытесняет с рынка слабые предприятия путём либо их банкротства, либо поглощения и слияния с более сильными конкурентами. Банкротство может быть вызвано как слабой предпринимательской активностью руководства предприятия, так и воздействием усилий, предпринимаемых конкурентами против определенного предприятия.

Поглощение осуществляется на основе финансовых операций, направленных на приобретение того или иного предприятия либо полностью, либо частично скупки контрольного пакета акций или значительной доли капитала. Это отношение между сильными и слабыми конкурентами. Слияние, как правило, носит добровольный характер. Хотя подобного рода централизация капитала и производства может быть экономически вынужденной, как выбор третьего из двух зол: либо полная утрата самостоятельности, либо изматывающая экономическая война.

Процессы поглощения и слияния позволяют существенно увеличить свои доли продаж на соответствующем рынке. Рост рыночной власти нескольких корпораций делает бессмысленной ценовую конкуренцию, которая может превратиться в «войну» цен и привести к истощению всех ее участников.

Другим существенным фактором формирования олигополистических структур рынка является стремление предприятий реализовать эффект масштаба производства. В процессе совершенствования техники и появления новых технологий оптимальные размеры производства достигли таких масштабов, которые стали существенным препятствием для вхождения в отрасль новых предприятий. Эти препятствия связаны как с ограниченностью финансов, достижением низких издержек производства, так и более рациональным использованием ресурсов несколькими хозяйствующими объектами, нежели многими конкурентами с незначительными объемами производства.

.3 Ценообразование в условиях олигополии

На олигополистических рынках, по меньшей мере, некоторые фирмы могут влиять на цену благодаря их большим долям в общем количестве выпускаемого товара. Продавцы на олигополистических рынках знают, что когда они либо их соперники изменят цены или выпускаемое количество продукта, то последствия скажутся на прибылях всех фирм на рынке. Продавцы осознают свою взаимозависимость, признавая, что изменение цены на их продукцию или объема выпускаемой продукции вызовет реакцию конкурирующих фирм, и с этой реакцией они должны будут считаться. Реакция, которой отдельные продавцы ждут от своих соперников, влияет на равновесие на олигополистических рынках.

Рис. 2. Долгосрочное равновесие фирмы, осуществляющей рекламную кампанию

Универсальной теории олигополии не существует. Дело в том, что реакция конкурентов на то или иное действие олигополиста может быть очень различной. Каждому предположению о характере этой реакции соответствует своя модель олигополии. Тем не менее, для всех моделей олигополии характерны некоторые общие черты.

Поведение олигополии всегда определяется двумя силами, действующими в противоположных направлениях. Первая сила - это простая заинтересованность фирм в максимизации совокупной прибыли отрасли посредством сговора и совместных действий фирм, как если бы они были единственным максимизирующим прибыль монополистом.

Сговор - это явное или молчаливое соглашение между фирмами в отрасли с целью установления фиксированных цен и объемов выпуска или же в целях ограничения каким-то иным способом соперничества между ними.

Вторая сила, влияющая на поведение олигополиста,- это эгоистическая заинтересованность каждого продавца в максимизации своих собственных прибылей, даже если в результате этого уменьшится общая величина прибыли отрасли.

Возникновение сговора наиболее вероятно при условии его законности и наличии небольшого числа продавцов. Различия между фирмами или различия в продукции, изменения в издержках или объемах спроса, а также возможность снижать цены втайне от других затрудняют процесс сговора.

Когда сговор носит законный характер, олигополисты в целях установления фиксированных цен и ограничения объема выпуска часто идут на создание картелей.

Глава 2. Модели олигополии

.1 Модель олигополии с ломанной кривой спроса

Данная модель, разработанная Полом Суизи в конце 30-х гг. ХХ в., объясняет почему цены на рынках олигополии часто остаются стабильными, несмотря значительные изменения в издержках.

Суизи начал с предположения о том, что каждая фирма назначает одну и ту же цену ( на рис.).

Олигополист рассуждает следующим образом: если я уменьшу цену, то некоторые из моих конкурентов, опасаясь сокращения своих продаж, могут последовать моему примеру. Поэтому в случае понижения цены я вряд ли резко увеличу свои продажи, и линия спроса на мою продукцию на соответсвующем участке АВ имеет довольно крутой наклон. Если я увеличу цену, то конкуренты, стремясь к увеличению продаж, вряд ли последуют моему примеру. Тем самым они смогут привлечь некоторых моих покупателей. Поэтому кривая спроса на мою продукцию на участке СА имеет пологий наклон.

Рис. 3. Модель ломанной кривой спроса

При наличии такой кривой спроса, что должен делать олигополист, максимизирующий прибыль? Единственный ответ - уравнять MR и MC. Но какая кривая предельной выручки соответствует кривой САВ? Для объема производства меньше Q - это отрезок СК кривой предельной выручки, соответствующий участку СА кривой спроса. Для объемов производства больше Q - это отрезок EF кривой предельной выручки, соответствующий участку АВ кривой спроса. Отметим, что поскольку два участка кривой спроса имеют разные наклоны, появляется разрыв в кривой предельной выручки при Q. Если кривая предельных издержек проходит через этот разрыв (КЕ), то уровнем выпуска продукции, максимизирующим прибыль, будет Q. Разрыв в кривой предельной выручки позволяет значительно менять предельные издержки без изменения максимизирующего прибыль уровня выпуска продукции. Таким образом П. Суизи попытался объяснить тот факт, что цены на товары фирм-олигополистов имеют тенденцию к удивительной стабильности.

.2 Модель дуополии Курно

· обе фирмы производят однородный товар;

· им известна кривая рыночного спроса;

· обе фирмы принимают решения о производстве одновременно, причем самостоятельно и независимо друг от друга;

· каждая из фирм предполагает выпуск конкурента постоянным;

· продавцы не могут иметь точной информации о своих ошибках относительно выбранных объемов производства.

Рассмотрим данную модель с помощью кривых реагирования (рис.4). Кривые реагирования показывают максимизирующие прибыль размеры выпуска, который будет осуществляться одной фирмой, если даны объемы выпуска фирмы-соперницы. Если бы фирма А выпускала 30 ед., то выпуск фирмой Б был бы равен нулю. Если бы Q_Б = 30, то Q_А = 0.

Фирма А начинает производство первой. До того как фирма Б начнет производство, фирма А обладает всем рынком и чувствует себя монополистом, выбирая объем производства 15 единиц, максимизирующий его прибыль. Затем на рынке появляется фирма Б, предполагая, что фирма А не будет отвечать изменением выпуска. Фирма Б сможет обслужить всех тех покупателей, которые купили бы продукцию, если бы цена упала ниже текущей цены фирмы А. В этом случае объем выпуска фирмы Б составит 7,5 единиц.

Падение цены товара, вызванное дополнительным производством фирмы Б, приводит к изменению кривой спроса фирмы А. Теперь уже А предполагает, что Б будет производить 7,5 единиц продукции. Она отрегулирует свой выпуск до 11,25 единиц.

Рис.4. Кривые реагирования в дуополии Курно

Теперь очередь фирмы Б отвечать снова. Она увеличивает объем до 9,4 единиц. В следующих периодах выпуск фирмы А будет продолжать снижаться, в то время как выпуск фирмы Б - увеличиваться (правда, на все меньшую величину). Процесс приспособления продолжается. Конечный равновесный выпуск каждой фирмы достигает 1/3 конкурентного выпуска (общий рыночный выпуск равен 2/3 равновесного конкурентного выпуска при данном спросе на товар).

Пересечение кривых реагирования двух фирм - точка Е - показывает равновесие Курно: каждая фирма правильно угадывает поведение конкурента и принимает самое оптимальное для себя решение. При равновесии Курно каждый дуополист устанавливает объем производства, который максимизирует его прибыль при данном объеме производства своего конкурента, и поэтому ни у одного дуополиста нет стимула менять свой объем производства.

Модель равновесия Курно предполагает, что фирмы - дуополисты конкурируют друг с другом.

Ситуация принципиально изменится, если дуополисты достигнут соглашения и будут коллективно намечать объем производства таким образом, чтобы максимизировать совокупную прибыль, а затем разделить ее пополам. Тогда множество возможных решений придется на контрактную линию.

И если они будут делить прибыль пополам, то и будут производить каждую половину продукции (в нашем примере по 7,5 единиц). Сравнение показывает, что при равновесии Курно общий объем производства выше, чем при дуополистическом сговоре (20 > 15), но ниже, чем он был бы при конкурентном равновесии (20 < 30).

.3 Модель Бертрана (олигополистические войны)

Итак, при наличии нескольких продавцов цена зависит не только от оценок каждым из них предельных затрат и предельных доходов, но также от того, как каждый продавец оценивает действия другого (рис.5).

Первоначально два продавца делят рынок пополам. Каждый назначает цену 20 ден. ед. за штуку и соответственно при средних затратах 10 ден. ед. получает прибыль по 10 ден. ед. со штуки.

Легко понять, каким образом два продавца могут втянуться в ценовую войну. Поскольку каждый из продавцов думает, что его соперник не будет реагировать на снижение им цены, то у каждого из них есть искушение увеличить ежемесячные продажи, сокращая цены. Снижая цену ниже цены своего конкурента, каждый продавец может захватить весь рынок и тем самым увеличить прибыль. Например, при текущей цене 20 ден. ед. каждый продает 0,5 единиц и получает ежемесячную прибыль 5 ден. ед. Если бы один из них понизил цену до 19 ден. ед., то количество, на которое есть спрос, выросло бы до 1,05 шт. И если один из конкурентов снизит цену, а другой нет, то весь товар будет приобретаться у продавца, снизившего цену, то есть все 1,05 шт. у одного продавца. Теперь прибыль со штуки составит 9 ден. ед., а ежемесячная прибыль - 9,45 ден. ед. Взбешенный соперник реагирует тем, что устанавливает цену ниже цены конкурента и получает себе весь рынок. Война цен продолжается до тех пор, пока цена не упадет до уровня средних издержек. После этого ни одна фирма не сможет получать выгоды от снижения цен. Таким образом, в состоянии равновесия оба продавца назначают одну и ту же цену Р == АС = МС.

Рис.5. Модель Бертрана

Обычно олигополисты устанавливают цены и делят рынки таким образом, чтобы избежать перспективы ценовых войн и их неблагоприятных воздействий на прибыли. Поэтому ценовые войны скоротечны и в настоящее время бывают довольно редко. Конкурентная борьба чаще всего приводит к соглашениям.

.4 Модель ценового лидерства

Рассматривавшиеся до сих пор модели относились к конкуренции среди примерно равных участников. В то же время крупнейшие фирмы отрасли могут во много раз превосходить по размерам своих мелких конкурентов. В некоторых отраслях единственная фирма или совместно действующая группа фирм удерживает доминирующее положение.

Ценообразование за лидером - разновидность ценообразования на олигополистическом рынке с доминирующим по объему выпуска производителем, устанавливающим максимизирующую его прибыль цену, которой добровольно придерживаются остальные производители.

Модель лидерства в ценах называют еще частичной монополией, поскольку лидер устанавливает монопольную цену, основанную на его предельном доходе и предельных издержках. Прочие фирмы принимают эту цену как данную (рис. 6).

Рис. 6. Лидерство в установлении цен

Доминирующая на рынке фирма оценивает, сколько товара продадут при каждой возможной цене прочие фирмы, и вычитает этот объем из оценки общего спроса на рынке (D). Таким образом, она определяет спрос на свой товар (D_L). Затем она определяет предельный доход для этого спроса (MR_L) и производит количество товара q_L, позволяющее ей максимизировать прибыль (MR_L = МС). Остальные фирмы производят при цене Р_L, установленной лидером, q_F единиц продукции. В состоянии равновесия q_L + q_F = q_D и рыночная цена равна цене лидера.

Разновидностью данной модели является барометрическое ценовое лидерство. Барометрические ценовые лидеры не обладают достаточной силой, чтобы навязать свою цену конкурентам. Их роль состоит в том, что они первыми объявляют цены (высокие или низкие), которые, по их мнению, отвечают новым рыночным условиям. Обычно барометрическая фирма достигает лидирующего положения благодаря своему опыту и уважению, которое она завоевала в отрасли, так как другие фирмы могут не иметь возможности или желания брать на себя ответственность непрерывно оценивать отраслевые условия спроса и предложения.

.5 Модель картеля

Картель - это группа фирм, действующих совместно и согласующих решения по поводу объемов выпуска продукции и цен так, как если бы они были единой монополией. Поскольку картель - это группа фирм, а не одна фирма, он сталкивается с трудностями при установлении монопольных цен, которых не существует для чистой монополии. Основная проблема, с которой сталкивается картель, - это проблема согласования решений между фирмами-членами картеля по вопросу установления системы ограничений (квот) для каждой фирмы (рис. 7).

Текущая конкурентная цена - Р_C, текущий объем выпуска - Q_C. Первоначальное равновесие существует в точке Е (рис.7а). При цене P_C каждый производитель получает нормальную прибыль. До осуществления картельного соглашения фирма ведет себя так, как если бы спрос на ее продукцию при цене P_C являлся бесконечно эластичным. Она боится поднять свою цену из опасения потери всех своих продаж в пользу конкурентов, а потому при цене Р_C выпускает q_C единиц продукции (рис. 7. б). При организации картеля и установлении картельной цены Р_Mфирме разрешен выпуск q_M(MR* = MC _{каждой фирмы}).

Допустим, владельцы фирмы полагают, что рыночная цена не понизится, если они будут продавать больше, чем это количество (например, q'), при котором Р_M = МС. То есть путем превышения своей квоты фирма может увеличить прибыли с Р_MАВС до P_MFGH.

Если же все фирмы превысят свою квоту, чтобы увеличить свои прибыли при картельной цене Р_M, то отраслевой выпуск увеличится до Q' (рис. 7 а).

Каждый месяц существовал бы избыток продукции (Q' - Q_C), и цена стала бы падать, пока этот избыток не исчезнет, то есть до уровня Р_C. Таким образом, производители вернулись бы туда, откуда начинали.

Картели обычно пытаются установить штрафы для тех, кто обходит картельное соглашение, превышая свои квоты. Основная проблема заключается в том, что как только установлена картельная цена, отдельные фирмы, максимизирующие прибыль, могут заработать больше путем обмана. Если обманывают все, то картель распадается.

Рис. 7. Картель

Картели также сталкиваются с проблемой принятия решения о монопольной цене и уровне выпуска. Эта проблема особенно остра, если фирмы не могут договориться об оценке рыночного спроса, его ценовой эластичности или если у них разные издержки производства. Фирмы с более высокими средними издержками добиваются более высоких картельных цен.

Когда явный сговор является противозаконным, фирмы иногда ищут пути к тайному сотрудничеству. Зачастую это достигается при помощи молчаливой договоренности о том, что одна фирма будет действовать в качестве лидера в области цен, а остальные будут следовать за ее изменениями цен.

.6 Основные олигополистические рынки

Черная металлургия. Одна из классических отраслей для рынка олигополии. В России - стране одной из лидеров по запасам железной руды эта отрасль является ключевой. На данный момент на рынке представлено более 20 фирм, но 80% рынка держат 7 металлургических компаний. Несмотря на ощутимый рост за последние 5 лет, объемы производства продукции остаются низкими.

Крупнейшие компании черной металлургии 2003 г.

Следует отметить, что доля отдельных металлургических предприятий возрастает если рассматривать отдельно рынки производства продукции: рынок чугуна, стали и проката. Так, например, ТМК является крупнейшим производителем труб в России.

Нефтяная промышленность. В данный момент является определяюшей для всей Российской экономики. Хотя нефтяная и угольная промышленность имеет долю в основных видах промышленной продукции в нашей стране всего около 5 %, по суммарной добычи сырьевой нефти Россия постепенно выходит на первое место в мире, добывая около 2900 млн. баррелей в год. На сегодняшнем рынке (после распродажи "Юкоса") представлены несколько общероссийских и региональных компаний: "Лукойл", "Сибнефть", "ТНК", "Татнефть", "Роснефть", "Транснефть", "РиТек", "Башнефть", "Сургутнефтегаз" и некоторые другие. По объемам добычи между этими компаниями, разумеется, существует большая разница. Основными игроками на рынке являются общероссийские компании. Так в 2004 году 11 крупнейших нефтяных компаний добывали около 91,28% всей нефти в России, а четыре общероссийских "ЛукОйл", "Юкос", "Сибнефть" и "ТНК" чуть менее 60%. При этом "Лукойл" и "Юкос" занимали по 20% рынка (добыча нефти по 35,4 млн т. за полтора квартала).

Автомобильная промышленность. «Автоваз» несомненный лидер в производстве легковых автомобилей от 70 - 75 % всех произведенных ежегодно. Общий объем произведенной продукции компанией «Автоваз» в 2007 году составил 148926 млн.рублей. Государство проводит активную протекционистскую политику по отношению к автопрому. Благодаря высоким пошлинам на иномарки и стабильному росту спроса на внутреннем рынке, "Автоваз" ежегодно испытывает рост. Однако уже в 2003 году каждый третий купленный в России автомобиль - был иномарка.

Глава 3. Теория игр в современной экономике

.1 Понятие теории игр

Первую попытку создать математическую теорию игр предпринял в 1921 г. Э.Борель. Как самостоятельная область науки впервые теория игр была систематизировано изложена в монографии Дж.фон Неймана и О.Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение” в 1944 г. С тех пор многие разделы экономической теории (например, теория несовершенной конкуренции, теория экономического стимулирования и др.) развивались в тесном контакте с теорией игр.

Игра - это идеализированная математическая модель коллективного поведения нескольких лиц (игроков), интересы которых различны, что и порождает конфликт. Конфликт не обязательно предполагает наличие антагонистических противоречий сторон, но всегда связан с определенного рода разногласиями. Конфликтная ситуация будет антагонистической, если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приводит к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину и наоборот. Антагонизм интересов порождает конфликт, а совпадение интересов сводит игру к координации действий (кооперации).

В теории игр предполагается, что игра состоит из ходов, выполняемых игроками одновременно или последовательно.

Ходы бывают личными и случайными. Ход называется личным, если игрок сознательно выбирает его из совокупности возможных вариантов действий и осуществляет его (например, любой ход в шахматной игре). Ход называется случайным, если его выбор производится не игроком, а каким-либо механизмом случайного выбора (например, по результатам бросания монеты).

Совокупность ходов, предпринятых игроками от начала до окончания игры, называется партией.

Одним из основных понятий теории игр является понятие стратегии. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. В простых (одноходовых) играх, когда в каждой партии игрок может сделать лишь по одному ходу, понятие стратегии и возможного варианта действий совпадают. В этом случае совокупность стратегий игрока охватывает все возможные его действия, а любое возможное для игрока i действие является его стратегией. В сложных (многоходовых играх) понятие «варианта возможных действий» и «стратегии» может отличаться друг от друга.

Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает данному игроку при многократном повторении игры максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш, независимо от того, какие стратегии применяет противник. Могут быть использованы и другие критерии оптимальности.

Возможно, что стратегия, обеспечивающая максимальный выигрыш, не обладает другим важным представлением оптимальности, как устойчивостью (равновесностью) решения. Решение игры является устойчивым (равновесным), если соответствующие этому решению стратегии образуют ситуацию, которую ни один из игроков не заинтересован изменить.

Примерами конфликтной ситуации являются ситуации, складывающиеся во взаимоотношениях покупателя и продавца; в условиях конкуренции различных фирм; в ходе боевых действий и др. Примерами игр являются и обычные игры: шахматы, шашки, карточные, салонные и др. (отсюда и название “теория игр” и ее терминология).

В большинстве игр, возникающих из анализа финансово-экономических, управленческих ситуаций, интересы игроков (сторон) не являются строго антагонистическими ни абсолютно совпадающими. Покупатель и продавец согласны, что в их общих интересах договориться о купле-продаже, однако они энергично торгуются при выборе конкретной цены в пределах взаимной выгодности.

Теория игр (theory of games)- математические расчеты гипотетического поведения принятия решения двумя или более людьми в ситуациях, где каждый способен сделать выбор между двумя или более направлениями деятельности "стратегиями", их интересы могут частично или полностью быть противоположными, для любого лица числовые значения прилагаются к "полезности" комбинации результатов. Разработанная прежде всего фон Нойманом (см. фон Нойман и Моргенштерн, 1944), теория игр основана на традиционных формах рационального моделирования в политэкономии.

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнёра. Такие ситуации относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнёров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.

Для грамотного решения задач с конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теория игр.

.2 Классификация игр

В теории игр не существует установившейся классификации видов игр. Однако по определенным критериям некоторые виды можно выделить.

Количество игроков. Если в игре участвуют две стороны, то ее называют игрой двух лиц. Если число сторон больше двух, ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух лиц. Они и математически более глубоко проработаны и в практических приложениях имеют наиболее обширную библиографию.

Количество стратегий игры. По этому критерию игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стратегий, игра является бесконечной.

Взаимоотношения сторон. Согласно данному критерию игры делятся на кооперативные, коалиционные и бескоалиционные. Если игроки не имеют право вступать в соглашения, образовывать коалиции, то такая игра относится к бескоалиционным; если игроки могут вступать в соглашения, создавать коалиции - коалиционной. Кооперативная игра - это игра, в которой заранее определены коалиции.

Характер выигрышей. Этот критерий позволяет классифицировать игры с нулевой и с ненулевой суммой. Игра с нулевой суммой предусматривает условие: «сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю». Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических. Естественно, выигрыш одного игрока при этом равен проигрышу другого. Примерами игр с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков перераспределяется между игроками, но не меняется. К играм с ненулевой суммой также можно отнести большое количество экономических задач. Например, в результате торговых взаимоотношений стран, участвующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игра, в которой нужно вносить взнос за право участия в ней, является игрой с ненулевой суммой.

Вид функции выигрышей. По этому критерию игры подразделяются на матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т. д. Поясним суть некоторых из них.

Матричная игра - конечная игра двух игроков с нулевой суммой. В общем случае ее платежная матрица является прямоугольной. Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой игроком 1. Номер столбца соответствует номеру стратегии игрока 2. Выигрыш игрока 1 является элементом матрицы. Выигрыш игрока 2 равен проигрышу игрока 1. Как показано в приложении, матричные игры всегда имеют решения в смешанных стратегиях. Они могут быть решены методами линейного программирования.

Биматричная игра - конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии игрока 1, а столбец - стратегии игрока 2. Однако элемент первой матрицы показывает выигрыш игрока 1, а элемент второй матрицы - выигрыш игрока 2. Для биматричных игр так же, как и для матричных, разработана теория оптимального поведения игроков.

Если функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий является непрерывной, игра считается непрерывной. Если функция выигрышей выпуклая, то и игра - выпуклая.

Если функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций одного аргумента; то игра относится к сепарабельной.

Количество ходов. Согласно этому критерию игры можно разделить на одношаговые и многошаговые. Одношаговые игры заканчиваются после одного хода каждого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков происходит распределение выигрышей. Многошаговые игры бывают позиционными, стохастическими, дифференциальными и др.

Информированность cmoрон. По данному критерию различают игры с полной и неполной информацией. Если каждый игрок на каждом ходу игры знает все ранее примененные другими игроками на предыдущих ходах стратегии, такая игра определяется как игра с полной информацией. Если игроку не все стратегии предыдущих ходов других игроков известны, то игра классифицируется как игра с неполной информацией. Мы далее убедимся, что игра с полной информацией имеет решение. Решением будет седловая точка при чистых стратегиях.

Степень неполноты информации. По этому критерию игры подразделяются на статистические (в условиях частичной неопределенности) и стратегические (в условиях полной неопределенности,). Игры с природой часто относят к статистическим играм. В статистической игре имеется возможность получения информации на основе статистического эксперимента, при котором вычисляется или оценивается распределение вероятностей состояний (стратегий) природы. С теорией статистических игр тесно связана теория принятия экономических решений.

.3 Модели теории игр

Когда между фирмами существует взаимодействие и поведение каждой из них обусловлено многими институциональными условиями - неполнотой информации, неопределенностью, наличием трансакционных издержек, множественностью целей, действием конкурентов и т.д., - опирающиеся на стабильность предпочтений и абсолютную рациональность участников рынка, полноту информации и существование единственного Парето-оптимального равновесия модели неоклассической теории становятся малопригодными для экономического анализа. Более предпочтительной для анализа взаимодействия участников рынка и обусловливающих такое взаимодействие условий является институциональная экономическая теория. Она исходит из того, что предпочтения не являются заданными и стабильными, а формируются под влиянием многих изменяющихся условий (институтов). Учитывая наличие информационных издержек и ограниченность знания, в качестве определяющего выбор принципа теория использует не оптимальность, а удовлетворенность. Наконец, она постулирует необязательность Парето-оптимального равновесия и допускает как множественность точек равновесия, так и отсутствие равновесия вообще. В институциональной теории используются разные методы анализа, в том числе и формальные модели, применяемые для исследования взаимодействия фирм. В основе построения таких моделей лежит теория игр.

Теория игр представляет собой способ анализа взаимообусловленного поведения, когда решения одного участника оказывают влияние на решения другого, и наоборот. Она не требует полной рациональности в поведении и не предполагает наличия единственного равновесия. Поскольку речь идет о взаимообусловленном поведении, то вся игра строится на принципе оценки результатов стратегий участников игры. Для этого создается матрица выигрышей, представляющая собой варианты и оценки результатов решений участников взаимодействия, а сама игра может быть представлена в стратегической или развернутой форме (рис. 18.12). Кроме того, игры могут быть не кооперативными, когда не допускается обмен информацией между участниками, и кооперативными, когда такой обмен возможен.

Обе формы иллюстрируют возможные решения и оценку результатов этих решений. Если фирма А снизит цену на свою продукцию, то она увеличит свою прибыль, увеличив объем продаж, только в том случае, если фирма Б не снизит цену на свою продукцию (15; -10). Если же фирма Б последует примеру фирмы А и снизит цену, то это приведет к снижению прибыли у обеих фирм (-5; -5). Напротив, в случае снижения цены фирмой Б и сохранения ее фирмой А прибыли последней сократятся, а у фирмы Б - вырастут (-10; 15). Только в случае сохранения существующей цены у фирм не происходит изменения прибылей (0; 0). Суть игры заключается в том, чтобы в условиях неопределенности поведения конкурента выработать равновесную, то есть наиболее приемлемую с точки зрения последствий, стратегию взаимодействия.

В рамках взаимодействия фирм могут быть достигнуты различные типы равновесия. Когда действия фирмы А обеспечивают максимальный результат вне зависимости от характера реагирования фирмы Б, говорят о равновесии доминирующей стратегии. Оно достигается в случае пересечения доминирующих стратегий обеих фирм. Ситуация, при которой стратегия фирмы А обеспечивает максимальный результат в зависимости от действия фирмы Б, называется равновесием по Нэшу, которое означает, что ни одна из фирм не сможет увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке. Если же равновесие достигается при условии, что улучшение положения одной из фирм невозможно без ухудшения положения другой, то в этом случае имеет место равновесие по Парето. В случае, когда максимизация результатов участников игры достигается в результате принятия решения одной фирмой на основе известного ей решения другой фирмы, возникает равновесие по Штакельбергу, которое имеет место всегда.

В приведенной игре равновесие доминирующих стратегий отсутствует, так как нет стратегий, дающих максимальный выигрыш независимо от действий конкурента. Равновесие по Нэшу будет достигнуто в точке (0; 0), так как при данной стратегии ни один из участников не заинтересован ее менять. Равновесие по Парето достигается в точках (0; 0) и (-3; -3), поскольку в этих ситуациях нельзя улучшить положение одного участника без ухудшения положения другого. Что касается равновесия по Штакельбергу, то оно будет находиться для фирмы А в точке (5; -10), а для фирмы Б - в точке (-10; 5).

Модели теории игр позволяют не только проанализировать поведение участников рынка в той или иной ситуации, но и выявить возникающие в процессе их взаимодействия проблемы - координации, совместимости и кооперации. Поскольку в реальной практике фирмы находятся в постоянном взаимодействии (повторяющиеся игры), то принимаемые ими решения основываются на предыдущем опыте, а сами они приходят к выводу о том, что в долгосрочном периоде кооперативное поведение выгоднее некооперативного.

.4 Применение теории игр для принятия стратегических управленческих решений

Рис. 8. Решение о проникновении на рынок

Рис. 9. Нормальная форма игры, предметом которой является проникновение на рынок

Та же самая игровая ситуация может быть представлена и в нормальной форме (рис.9). Здесь обозначены два состояния - “вступление/дружественная реакция” и “невступление/ агрессивная реакция”. Очевидно, что второе равновесие несостоятельно. Из развернутой формы следует, что для уже закрепившейся на рынке компании нецелесообразно реагировать агрессивно на появление нового конкурента: при агрессивном поведении теперешний монополист получает 1(платеж), а при дружественном - 3. Компания-аутсайдер к тому же знает, что для монополиста не рационально начинать действия по ее вытеснению, и поэтому она принимает решение о вступлении на рынок. Грозившие потери в размере (-1) компания-аутсайдер не понесет.

Подобное рациональное равновесие характерно для “частично усовершенствованной” игры, которая заведомо исключает абсурдные ходы. Такие равновесные состояния на практике в принципе довольно просто найти. Равновесные конфигурации могут быть выявлены с помощью специального алгоритма из области исследования операций для любой конечной игры. Игрок, принимающий решение, поступает следующим образом: вначале делается выбор “лучшего” хода на последнем этапе игры, затем выбирается “лучший” ход на предшествующем этапе с учетом выбора на последнем этапе и так далее, до тех пор пока не будет достигнут начальный узел дерева игры.

Какую пользу могут извлечь компании из анализа на базе теории игр? Известен, например, случай столкновения интересов компаний IВМ и Telex. В связи с объявлением о подготовительных планах последней к вступлению на рынок состоялось “кризисное” совещание руководства IВМ, на котором были проанализированы мероприятия, направленные на то, чтобы заставить нового конкурента отказаться от намерения проникнуть на новый рынок.

Компании Telex, видимо, стало известно об этих мероприятиях. Анализ на базе теории игр показал, что угрозы IВМ из-за высоких затрат безосновательны.

Это свидетельствует, что компаниям полезно в эксплицитном виде обдумывать возможные реакции партнеров по игре. Изолированные хозяйственные расчеты, даже опирающиеся на теорию принятия решений, часто носят, как в изложенной ситуации, ограниченный характер. Так, компания-аутсайдер могла бы и выбрать ход “невступление”, если бы предварительный анализ убедил ее в том, что проникновение на рынок вызовет агрессивную реакцию монополиста. В этом случае в соответствии с критерием ожидаемой стоимости разумно выбрать ход “невступление” при вероятности агрессивного ответа 0,5.

.5 Проблемы практического применения теории игр в управлении

Следует, однако, указать и на наличие определенных границ применения аналитического инструментария теории игр. В следующих случаях он может быть использован лишь при условии получения дополнительной информации.

Во-первых, это тот случай, когда у предприятий сложились разные представления об игре, в которой они участвуют, или когда они недостаточно информированы о возможностях друг друга. Например, может иметь место неясная информация о платежах конкурента (структуре издержек). Если неполнотой характеризуется не слишком сложная информация, то можно оперировать сопоставлением подобных случаев с учетом определенных различий.

Во-вторых, теорию игр трудно применять при множестве ситуаций равновесия. Эта проблема может возникнуть даже в ходе простых игр с одновременным выбором стратегических решений.

В-третьих, если ситуация принятия стратегических решений очень сложна, то игроки часто не могут выбрать лучшие для себя варианты. Легко представить более сложную ситуацию проникновения на рынок, чем та, которая рассмотрена выше. Например, на рынок в разные сроки могут вступить несколько предприятий или реакция уже действующих там предприятий может оказаться более сложной, нежели быть агрессивной или дружественной.

Экспериментально доказано, что при расширении игры до десяти и более этапов игроки уже не в состоянии пользоваться соответствующими алгоритмами и продолжать игру с равновесными стратегиями.

Заключение

Теория игр анализирует поведение лиц и организаций с противоположными интересами. Результаты решения управления фирм зависят не только от самих этих решений, но и от решений конкурентов. Теорию игр можно применить к ценовой стратегии олигополистических фирм.

В олигополии прибыль, которую может получить фирма, зависит от реакции соперника. Для принятия оптимального решения подсчитывается своя прибыль как для случая если конкурент оставит цену неизменной, так и для случая если конкурент изменит цену. Итогом этого является матрица результатов, которая показывает выгоду или убыток от каждой возможной стратегии для каждого возможного ответа соперника по игре. Сколько игрок может выиграть или проиграть зависит от стратегии соперника.

Основные модели олигополии:

1. Модель Курно - фирмы определяют объем прибыли, максимизирующий их прибыль, делая предположение, что объем выпуска, выбранный другой фирмой, является постоянным. Равновесие Курно подразумевает такой выпуск продукции, который бы устроил обоих производителей, причем отрасль при таком положении становится почти конкурентной

2.       Картель и картелеподобная структура рынка -ситуация явного или скрытого сговора между производителями на рынке для достижения монопольного положения на рынке. Имеет схожие с монополией последствия. Картель запрещен законодательством многих стран.

.        Модель Суизи - иначе модель ломаной кривой спроса. Характеризует и объясняет своеобразный вид кривой спроса для олигополизированной отрасли, а также разрыв кривой предельного дохода.

.        Модель Бертрана (олигополистические войны) - ситуация в которой при наличии нескольких продавцов цена зависит не только от оценок каждым из них предельных затрат и предельных доходов, но также от того, как каждый продавец оценивает действия другого.

.        Модель ценового лидерства - ситуация при которой обычно (но не всегда) крупнейшая, действует как ценовой лидер, который устанавливает цену, чтобы максимизировать свои собственные прибыли, в то время как другие фирмы следуют за лидером. Соперничающие фирмы назначают ту же цену, которая установлена лидером, и работают при уровне выпуска, который максимизирует их прибыли при этой цене.

Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации.

Список использованных источников и литературы

1.     Курс экономической теории: Общие основы экономической теории. Микроэкономика. Макроэкономика. Основы национальной экономики: Учебное пособие / Под ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Издательство «Дело и Сервис», 2001. - 832 с.

2.       Теория игр: Учебное пособие / Л.Ф. Василевич - М.: КИИМ, 2000. - 147 с.

.        Цены и ценообразование: Учебник / Под ред. В.Е. Есипова - СПб.:Питер, 2006. - 560 с.

.        Моделирование рисковых ситуации в экономике и бизнесе: Учеб. пособие/А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев; Под ред. Б.А. Лагоши.- М.: Финансы и статистика, 2000.- 176 с.

.        Теория игр и экономическое поведение/ Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн; Под ред. Н.Н.Воробьева. - М.: Издательство «Наука», 1970. - 707 с.

.        Фелькер Р. Использование теории игр в практике управления/Р. Фелькер // Менеджмент и маркетинг. - 1999. - № 5.

.        Журнал мировая экономика и международные отношения. - 2008.- №6.- С. 49-50.

8.       <http://lada.ru/cgi-bin/pr.pl?id=17545&prev=9&id_article=38729>