Погрешность измерений
Введение
Целью курсовой работы является:
Закрепление теоретических знаний, полученных на
лекциях;
Научиться правильно, применять теоретические
знания на практике;
Закрепить расчёта результатов прямых измерений и
исключение грубых ошибок;
Закрепить навыки оценки погрешностей косвенных
измерений с использованием результатов многократных прямых измерений.
1. Расчет результатов прямых
измерений
Количество наблюдений n = 20, результаты
наблюдений можно обработать.
1.1 Расчет среднеарифметического
значения результатов наблюдений
Среднее арифметическое из этих результатов, то
есть величина ():
(1.1)
где х - измеряемая величина,
, , … , - результаты
отдельных измерений, - число отдельных измерений.
Расчет для :
Результаты для остальных величин приведены в
таблице 1.
Таблица 1 - Среднеарифметические значения
|
U1,
В
|
U2,
мВ
|
R,кОм
|
f,
кГц
|
|
1,204
|
562,1
|
0,201
|
12,01
|
1.2 Расчет среднеквадратического
отклонения результатов наблюдений
Оценка среднеквадратического отклонения
результатов наблюдения ():
(1.2)
Расчет для :
Для следующих наблюдений значений
среднеквадратические отклонения результатов приведены в таблице 2.
Таблица 2 - Среднеквадратические отклонения
результатов наблюдения
|
U1,
В
|
U2,
мВ
|
R,
кОм
|
f,
кГц
|
|
0,0214
|
0,2618
|
0,00353
|
0,0153
|
1.3 Выявление грубых ошибок
Выявим и исключим грубые ошибки по критерию
Романовского:
(1.3)
>,<
где xi - это предполагаемая грубая ошибка
Для начала из таблиц ( см. Приложение А Таблица
А.3 - Значения критерия Романовского) выбираем (теоретическое).
У нас имеется число измерений 20 и доверительная вероятность p = 0,95, равно
2,78. Если >,
то значения являются грубой ошибкой и исключаются. Если <,
то значение не является грубой ошибкой и остается в расчетах.
Начнём проверку:
Для U1 возьмём: 1,114 В
4,223>2,78 , xi- грубая ошибка, исключается;
Укажем в таблице 3 грубые ошибки.
Таблица 3 -Найденные грубые ошибки
|
U1,
В
|
U2,
мВ
|
R,
кОм
|
f,к
Гц
|
xi
|
1,262
|
726,9
|
0,214
|
12,07
|
Вычислим среднеарифметические значения без учета
промаха. Укажем их в таблице 4.
Таблица 4 - Среднеарифметические значения без
учета промаха.
|
U1,
В
|
U2,
мВ
|
R,
кОм
|
f,к
Гц
|
xi
|
562,07
|
0,200
|
12,011
|
После, найдём среднеквадратические отклонения
результатов наблюдения без учета промаха, укажем их в таблице 5. СКО для без
учета промаха, высчитанное по формуле (1.4) приведем в таблице 5.1
Таблица 5 - Среднеквадратические отклонения
результатов наблюдения без учета промаха
|
U1,
В
|
U2,
мВ
|
R,
кОм
|
f,к
Гц
|
|
0,024
|
0,0733
|
0,0018
|
0,081
|
Таблица 5.1 - СКО для без
учета промаха, высчитанное по формуле (1.4)
|
U1,
В
|
U2,
мВ
|
R,
кОм
|
f,
кГц
|
|
0,0055
|
0,017
|
0,0004
|
0,019
|
(1.4)
1.4 Расчет коэффициентов корреляции
результатов наблюдений
Рассчитаем коэффициент корреляции по формуле
(1.5) для установления зависимости двух пар.
(1.5)
где - результаты i-го
наблюдения;
- средние значения
наблюдений;
Если <
0,7 - корреляция отсутствует, т.е. xi и yj независимы.
> 0,7 - полная
функциональная зависимость.
Коэффициент корреляции между U1 и U2:
После, укажем коэффициент корреляции для других
пар в таблице 6.
Таблица 6 - коэффициент корреляции для
установления зависимости двух пар
|
U1
|
U2
|
R
|
f
|
U1
|
1
|
|
|
|
U2
|
-0,386
|
1
|
|
|
R
|
0,675
|
-0,1619
|
1
|
|
f
|
0,208
|
0,5229
|
0,239
|
1
|
Если коэффициент корреляции меньше по модулю,
чем 0,7, следовательно, измерения независимы. Если больше - зависимые.
|-0,386| < 0,7, следовательно, U1 и U2 -
независимые измерения;
|0,675| < 0,7, следовательно, U1 и R -
независимые измерения;
|-0,162| < 0,7, следовательно, U2 и R -
независимые измерения;
|0,208| < 0,7, следовательно, U1 и f -
независимые измерения;
|0,239| < 0,7, следовательно, R и f -
независимые измерения.
1.5 Оценка границ доверительного
интервала
(1.6)
Где -коэффициент
Стьюдента, выбранный в таблице Величины коэффициента Стьюдента для различных
значений доверительной вероятности.
При n=20 и p=0,95 =2,086.
Для U1:
Для U2:
Для R:
Для f:
1.6 Расчет предельно
инструментальных погрешностей
Рассчитываем предельно инструментальные
погрешности результатов прямых измерений (см. Приложение А Таблицы А.1, А.2
-Метрологические характеристики средств измерений).
1.6.1 Расчет основной погрешности
измерений с помощью универсального вольтметра В7-16
при Тпр =
20мс,(1.7)
при Тпр =
20мс,(1.8)
гдеUк, Rк - нормированное значение напряжения
(сопротивления);х, Rх - среднее значение результата наблюдения;
Тпр - время преобразования.
1.6.2 Расчет основной погрешности
измерений с помощью электронно-счетного частотомера Ч3-34
(1.9)
где -
предельная погрешность частоты кварцевого генератора;
- среднее значение
результатов наблюдений частоты;
ТИЗМ - время измерений, ТИЗМ = 1; 10 мс; 0,1; 1;
10 с;
= 5· 10-6 - до 12
месяцев после поверки;
Тизм = 0,1с - т.к. при этой величине достигается
необходимая точность при измерениях.
1.6.3 Находим предельную
инструментальную погрешность с учетом дополнительных погрешностей
где Р = 0,95
(1.10)
где-
общая инструментальная погрешность;
- среднее значение
измерений;
(1.11)
где1,1 - коэффициент, позволяющий получить общую
погрешность с доверительной вероятностью 0,95;
- инструментальная
погрешность;
- дополнительная
погрешность.
Так как измерения проводились при Т=19˚С и
Uc=210В, то для универсального вольтметра В7-16 появляется дополнительная
погрешность для напряжения, нормальные условия которых Т=(20 ± 1)˚С и
U=(220±4,4)В (при измерении напряжения в диапазоне U=(220±20)В):
(1.12)
гдеUk - нормируемое значение напряжений;-
среднее значение результатов измерения напряжения.
Нормальным условием для напряжения является
Т=(20±1)˚С и U=(220±4,4)В, поэтому появляется дополнительная погрешность
сопротивления.
(1.13)
Где Rк - нормируемое значение сопротивления;х -
среднее значение результатов измерения сопротивления.
Нормальные условия для частоты (20±4)º
С,
поэтому дополнительной погрешности нет.
Для U1:
Для U2:
%
Для R:
%
кОм
Для f:
кГц
1.6.4 Расчет общей погрешности
измерений
Рассчитаем общую погрешность измерения для
независимых измерений по формуле:
(1.14)
Для зависимых по формуле:
(1.15)
Для U1 (независимое измерение):
B
Для U2 (независимое измерение):
B
кОм
Для f (независимое измерение):
кГц
1.6.5 Запись результатов каждого из
прямых измерений
Результаты прямых измерений
|
U1,В
|
U2,В
|
R,
кОм
|
f,
кГц
|
(среднее
знач.)
|
1,209
|
0,562
|
0,200
|
12,011
|
(СКО)
|
0,024
|
0,073
|
0,0018
|
0,091
|
,%(осн.
погр.)
|
0,46
|
0,05
|
0,3
|
0,84
|
,%(доп. погр.)
|
0,1654
|
0,035
|
0,1
|
-
|
(общ.
погр.)
|
0,0128
|
0,035
|
0,0012
|
0,040
|
Предельные инструментальные погрешности:
U1 = В
U2 = В
R = кОм
f = кГц.
2. Расчет результатов косвенных
измерений
Расчет результатов косвенных измерений проводят
следующим образом:
2.1 Расчет среднего значения
величины косвенного измерения
Определяют среднее значение величины косвенного
измерения:
(1.16)
2.2 Расчет абсолютных коэффициентов
влияния
измерение инструментальный
погрешность корреляция
Рассчитывают абсолютные коэффициенты влияния
Частная производная:
(1.17)
Коэффициенты влияния всегда рассчитываются
именно для значений наблюдаемых величин.
Возьмем производную для каждой величины.
Для U1:
,
= 0,266
Для U2:
,
Для R:
,
Для f:
,
2.3 Расчет погрешности результата
измерения при доверительной вероятности Р=0,95
Рассчитывают погрешности результата измерения:
(1.18)
где
- коэффициент влияния;
предельная инструментальная погрешность.
(1.19)
С=0,0350,00173.
Заключение
В ходе расчетной курсовой мы получили следующие
значения:
|
U1,В
|
U2,В
|
R,
кОм
|
f,
кГц
|
(среднее
знач.)
|
1,209
|
0,56207
|
0,200
|
12,011
|
(СКО)
|
0,024
|
0,073
|
0,0018
|
0,091
|
,%(осн.
погр.)
|
0,46
|
0,05
|
0,3
|
0,84
|
,%(доп.
погр.)
|
0,1654
|
0,035
|
0,1
|
-
|
(общ.
погр.)
|
0,0128
|
0,035
|
0,0012
|
0,040
|
Предельные инструментальные погрешности:
U1 = В
U2 = В
R = кОм
f = кГц
С=0,0350,00173.
Таким образом, мы научились обрабатывать
результаты прямых и косвенных измерений, выявлять грубые ошибки, исключать их,
используя наши теоретические знания.
Список использованной литература
1. “Метрология,
стандартизация, спецификация” Сергеев А.Г., Тегеря В.В., 2010
2. ГОСТ
2.105-95 “Общие требования к текстовым документам”.
. ГОСТ
2.106-96 “Текстовые документы”.
. ГОСТ
7.32-81 “Отчет по НИР”.
. ГОСТ
8.563-2009 (ГСИ) “Методики измерений”.
Приложение
Метрологические характеристики
средств измерений
Таблица А.1 -Метрологические характеристики
средств измерений
Вольтметр
универсальный В7-16
|
Измеряемый
параметр. Диапазоны измерений
|
Входные
сопротивление и емкость
|
Основная
погрешность. Нормальные области значений
|
Дополнительные
погрешности. Рабочие области значений.
|
Постоянное
напряжение Ux 0,1 мВ...1000 В UK=1; 10; 100; 1000 В
|
10
Мом 120 пФ
|
ТПР = 20 мс ТПР = 2 мс
Норм. условия: (20±1) °С; (220±4,4) В
|
При
изменении температуры в диапазоне t = (-50...60) °С: при
измерении напряжения питания в диапазоне U = (220±20) В: dдпU = (0,02Uк/Ux)%
|
Гармоническое
напряжение Ux с содержанием гармоник не более 0,19 0,1 мВ...1000 В UК =1; 10;
100; 1000 В
|
1
Мом 120 пФ
|
Uк
= 10; 100 В f = 0,02…20 кГц f = 20…50
кГц f = 50…100 кГц Норм. условия: (20±1) °С; (220±4,4) В
|
При
изменении температуры в диапазоне t = (-50...60) °С: при
измерении напряжения питания в диапазоне U -= (220±20) В: dдпU = (0,02Uк/Ux)%
|
Сопротивление
Rx 0,1 Ом...10Мом RK =1; 10; 100 кОм; 1; 10 МОм
|
|
при ТПР =
20 мс при ТПР = 2 мс Норм. условия: (20±1) °С; (220±4,4) В
|
при
измерении напряжения питания в диапазоне U = (220±20) В: dдпU = (0,02Rк/Rx)%
|
Примечания:
Погрешности нормированы только для времени
преобразования Tпр = 20 мс
Если прибор не устанавливают на нуль и не
калибруют, то появляется дополнительная погрешность с пределом 15 единиц
младшего разряда показаний прибора при Tпр = 20 мс за время 16 часов в
нормальных условиях.
Частотомер
электронно-счетный Ч3-34
|
Измеряемый
параметр. Диапазоны измерений
|
Входные
сопротивление и емкость
|
Основная
погрешность. Нормальные области значений
|
Дополнительные
погрешности. Рабочие области значений
|
Частота
fx
|
При
изменении температуры в диапазоне (-30...50) °С предел температурной нестабильности частоты
кварцевого генератора
|
Частота
fx 10 Гц…20 МГц 0,1…120 МГц
|
Вход
А: 50 кОм 70 пФ Вход Б: 50 Ом
|
; - до 15
суток после поверки; - до 12
мес. после поверки
|
|
Период
повторения Tx
|
|
Период
повторения Tx 100 мкс…100 с Гармонический сигнал
|
Вход
А: 50 кОм 70 пФ Вход Б: 50 Ом
|
;
|
|
Импульсный
сигнал
|
|
|
|
Интервал
времени tx
|
|
0,1
мкс…100 с
|
Входы
В, Г 5 кОм 50 пФ
|
,
(длительность фронтов менее 0,5 T0)
|
|
Примечания:
Нормальные условия: t = (20±4)
°С
ТИЗМ - время измерений, ТИЗМ = 1; 10 мс; 0,1; 1;
10 с;
Т0 - период повторения счетных импульсов, Т0 =
0,1; 1; 10 мск; 0,1; 1; 10 мс;- число периодов, заполняемых счетными
импульсами, n = 1; 10; 102; 103; 104.
При поверке прибора частота кварцевого
генератора устанавливается с предельной погрешностью dопf
= 310-8.