Расчет статистических показателей
Задача 1. Произведите группировку двадцати
предприятий по объему продукции на основании следующих данных
|
Номер
предприятия
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
Объем
продукции, млрд. р.
|
32,0
|
15,5
|
36,2
|
24,5
|
155,0
|
58,0
|
44,2
|
24,3
|
27,4
|
83,0
|
|
Номер
предприятия
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
Объем
продукции, млрд. р.
|
25,5
|
43,4
|
68,5
|
143,1
|
52,6
|
48,5
|
31,8
|
25,6
|
58,0
|
182,5
|
Выделите типовые группы с интервалами: от 15,0
до 30,0; от 30,0 до 80,0; от 80,0 до 200,0 млрд р.
Решение задачи:
Произведем группировку исходных данных, распределив
предприятия по группам с объемом продукции от 15,0 до 30,0; от 30,0 до 80,0; от
80,0 до 200,0 млрд р.
По каждой группе и по совокупности предприятий
определим общий объем продукции и количество произведенной продукции в среднем
на одно предприятие:
|
Группы
предприятий по объему продукции, млрд. р.
|
Число
предприятий
|
Объем
продукции, млрд. р.
|
|
|
всего
|
в
среднем на 1 предприятие
|
|
15,0
- 30,0
|
6
|
142,8
|
23,8
|
|
30,0
- 80,0
|
10
|
473,2
|
47,32
|
|
80,0
- 200,0
|
4
|
563,6
|
140,9
|
|
Итого
|
20
|
1179,6
|
58,98
|
Задача 2. Определите отдельно число телефонов и
трансляционных радиоточек, приходящихся на 100 жителей района, а также динамику
полученных показателей на основании следующих данных:
|
Год
|
Число
на конец года, ед.
|
Население
на конец года, тыс. чел.
|
|
Телефонных
аппаратов
|
Радиотрансляционных
точек
|
|
|
Базисный
|
6
435
|
18
480
|
82,5
|
|
Отчетный
|
8
385
|
29
445
|
97,5
|
Решение задачи
Число телефонов и трансляционных радиоточек,
приходящихся на 100 жителей района:
|
Год
|
Число
на конец года, приходящихся на 100 жителей, ед.
|
|
Телефонных
аппаратов
|
Радиотрансляционных
точек
|
|
Базисный
|
6
435 : 82500 х 100 = 7,8
|
18
480 : 82500 х 100 = 22,4
|
|
Отчетный
|
8
385 : 97500 х 100 = 8,6
|
29
445 : 97500 х 100 = 30,2
|
Таким образом, на конец отчетного периода по
сравнению с базисным число телефонных аппаратов, приходящихся на 100 жителей
увеличилось на 0,8 ед. (8,6 - 7,8 = 0,8) или на 10,3 % (8,6 : 7,8 х 100 =
110,3). Число радиотрансляционных точек, приходящихся на 100 жителей, в
отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилось на 7,8 ед. (30,2 - 22,4 = 7,2
ед.) или на 34,8% (30,2 : 22,4 х 100 = 134,8).
Задача 3. Используя следующие данные,
рассчитайте средний объем продукции по предприятию обычным способом и способом
моментов:
|
Группы
предприятий по объему продукции, млрд р.
|
До
20
|
20-30
|
30-40
|
40-50
|
50-60
|
Свыше
60
|
|
Число
предприятий
|
10
|
15
|
18
|
4
|
4
|
2
|
Решение задачи:
В условии задачи дается интервальный
вариационный ряд распределения с открытыми интервалами. Чтобы определить
средний объем продукции, нужно от интервального ряда перейти к дискретному, т.е.
найти середину каждого интервала как полусумму нижней и верхней границ. При
этом величина открытого интервала первой группы приравнивается к величине
интервала второй группы, а величина открытого интервала последней группы - к
величине интервала предпоследней группы.
После вышесказанных преобразований исходная
таблица будет выглядеть следующим образом:
|
Группы
предприятий по объему продукции, млрд р.
|
15
|
25
|
35
|
45
|
55
|
65
|
|
Число
предприятий
|
10
|
15
|
18
|
4
|
4
|
2
|
Средний объем продукции по предприятию по
формуле средней арифметической взвешенной:
(млрд.р.)
Средний объем продукции способом
моментов:
где A = (xmax + xmin)/2 = 40.
d - величина интервала. d = 10.
Рассчитанные показатели сведем в
таблицу:
|
Итого
|
|
х
|
15
|
25
|
35
|
45
|
55
|
65
|
|
|
f
|
10
|
15
|
18
|
4
|
4
|
2
|
53
|
|
xi
- А
|
-25
|
-15
|
-5
|
5
|
15
|
25
|
|
|
(xi
- А)/d
|
-2,5
|
-1,5
|
-0,5
|
0,5
|
1,5
|
2,5
|
|
|
((xi
- А)/d)* fi
|
-25
|
-22,5
|
-9
|
2
|
6
|
5
|
-43,5
|
Таким образом, средний объем продукции будет
равен:
,5/ 53*10 + 40 = 31,792 (млрд. р.)
Средние размеры объем продукции, рассчитанные
разными способами, равны.
Задача 4. По данным задачи 3: 1) определите моду
и медиану изучаемого показателя; 2) постройте гистограмму; 3) оцените характер
асимметрии.
Решение задачи:
Мода (Мо) - варианта, встречающаяся в ряду
распределения чаще всего, т.е. варианта, которой соответствует наибольшая
частота.
Для дискретного ряда распределения мода
определяется наиболее просто: варианта, против которой расположена наибольшая
частота, и будет модой.
В интервальном ряду наибольшая частота указывает
не на модальную варианту, а на содержащий моду интервал. Вычисление моды
производится по следующей формуле:
где
- начало (нижняя граница) модального
интервала; 
- величина
интервала; 
- частота модального
интервала; 
- частота
интервала, предшествующего модальному; 
- частота интервала, следующего за
модальным.
Таким образом, мода равна:
31,765 млрд. руб.
Медиана 
- варианта,
находящаяся в середине ранжированного ряда распределения. Для ее определения
достаточно расположить в порядке возрастания или убывания все варианты.
Серединная варианта и будет являться медианой. Расчет медианы для интервального
ряда производится по формуле:
- начало (нижняя граница) медианного
интервала; iMe - величина интервала; 
- сумма всех частот ряда; 
- сумма
накопленных частот вариантов до медианного; 
- частота медианного интервала.
Для определения медианного интервала
необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех
пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем случае - 26,5.)
|
Группы
предприятий по объему продукции, млрд р.
|
15
|
25
|
35
|
45
|
55
|
65
|
|
Сумма
накопленных частот
|
10
|
25
|
43
|
47
|
51
|
53
|
Таким образом, медианным является интервал с
границами 30 - 40.
Медиана равна:
Соотношение моды, медианы и средней
арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности,
позволяет оценить его асимметрию. Из соотношения этих показателей в нашем
случае следует вывод о правосторонней асимметрии распределения предприятий по
объем продукции. Это подтверждает построенная гистограмма:
Рис.4.1. Распределение предприятий
по объему продукции
Задача 5. По данным таблицы
произведите выравнивание ряда динамики методом укрупнения периодов (в
квартальном разрезе) и методом скользящей средней (трехчленной).
Сделайте вывод о характере общей
тенденции изучаемого явления.
|
Месяцы
|
I
|
II
|
III
|
IV
|
V
|
VI
|
VII
|
VIII
|
IX
|
X
|
XI
|
XII
|
|
Выпуск
продукции, тыс. ед.
|
94
|
88,1
|
106,0
|
98,0
|
90,0
|
97,0
|
108,0
|
94,0
|
110,0
|
97,0
|
114,0
|
122,0
|
Решение задачи:
Рассмотрим применение метода укрупнения
интервалов на ежемесячных данных о выпуске продукции на предприятии. Различные направления
изменений уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной
тенденции производства. Если соответствующие месячные уровни объединить в
квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам (табл.
5.1), т. е. укрупнить интервалы, то решение задачи упрощается.
Таблица 5.1. Выпуск продукции предприятия (по
кварталам) тыс. ед.
|
Квартал
|
За
квартал
|
В
среднем за месяц
|
|
I
|
288,1
|
96,033
|
|
II
|
285
|
95
|
|
III
|
312
|
104
|
|
IV
|
333
|
111
|
После укрупнения интервалов основная тенденция
роста производства стала очевидной:
96,033 > 95 < 104 < 111 тыс. ед.
Выявление основной тенденции может
осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его
заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа,
обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем - из
такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с
третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики,
передвигаясь на один срок.
Расчет скользящей средней по данным о выпуске
продукции приведен в табл. 5.2.
Сглаженный ряд по трем месяцам короче
фактического на один член ряда в начале и в конце. Он меньше, чем фактический
подвержен колебаниям из-за случайных причин, и четче, в виде некоторой плавной
линии на графике, выражает основную тенденцию роста выпуска продукции за
изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и
условий развития.
Таблица 5.2. Исходные данные и результаты
расчета скользящей средней, тыс. ед.
|
Месяц
|
Выпуск
продукции, тыс. ед.
|
Скользящая
средняя (трехчленная)
|
|
1
|
94
|
-
|
|
2
|
88,1
|
(94
+ 88,1 + 106,0) / 3 = 96,033
|
|
3
|
106,0
|
(88,1
+ 106,0 + 98,0) / 3 = 97,367
|
|
4
|
98,0
|
(106,0
98,0 + 90,0) /3 = 98
|
|
5
|
90,0
|
95
|
|
6
|
97,0
|
98,33333
|
|
7
|
108,0
|
99,66667
|
|
8
|
94,0
|
104
|
|
9
|
110,0
|
100,3333
|
|
10
|
97,0
|
107
|
|
11
|
114,0
|
111
|
|
12
|
122,0
|
-
|
Задача 6. На основании следующих данных
вычислите: 1) индивидуальные индексы средней заработной платы по каждой группе
рабочих; 2) агрегатный индекс заработной платы. Сформулируйте выводы по исчисленным
показателям.
|
Группы
телефонистов по уровню квалификации
|
Базисный
период
|
Отчетный
период
|
|
Фонд
оплаты труда, млн р.
|
Среднесписочная
численность рабочих, чел.
|
Фонд
оплаты труда, млн р.
|
Среднесписочная
численность рабочих, чел.
|
|
I
кл.
|
190,0
|
95
|
210,0
|
100
|
|
II
кл.
|
115,2
|
72
|
117,3
|
69
|
|
III
кл.
|
56,0
|
40
|
52,5
|
35
|
Решение задачи:
Рассчитаем заработную плату по каждой группе
рабочих и по предприятию в целом в базисном и отчетном периодах:
|
Группы
телефонистов по уровню квалификации
|
Базисный
период
|
Отчетный
период
|
|
Фонд
оплаты труда, млн р.
|
Среднесписочная
численность рабочих, чел.
|
Средняя
заработная плата, млн.руб./ чел.
|
Фонд
оплаты труда, млн р.
|
Среднесписочная
численность рабочих, чел.
|
Средняя
заработная плата, млн.руб./ чел.
|
|
I
кл.
|
190,00
|
95,00
|
2,00
|
210,00
|
100,00
|
2,10
|
|
II
кл.
|
115,20
|
72,00
|
1,60
|
117,30
|
69,00
|
1,70
|
|
III
кл.
|
40,00
|
1,40
|
52,50
|
35,00
|
1,50
|
|
Итого
|
361,20
|
207,00
|
1,745
|
379,80
|
204,00
|
1,862
|
Таким образом, работники 1-й группы получают
наибольшую заработную плату.
Индивидуальные индексы средней заработной платы:
|
Группы
телефонистов по уровню квалификации
|
Средняя
заработная плата, млн.руб./ чел
|
Индекс
средней заработной платы, %
|
|
Базисный
период
|
Отчетный
период
|
|
|
I
кл.
|
2,00
|
2,10
|
2,10
/ 2,0 * 100 = 105
|
|
II
кл.
|
1,60
|
1,70
|
1,70
/ 1,60 * 100 = 106,25
|
|
III
кл.
|
1,40
|
1,50
|
1,50
/ 1,40 * 100 = 107,14
|
Таким образом, средняя заработная плата
работников первой группы в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась
на 5 %, работников 2-й группы - на 6,25 %, работников 3-й группы - на 7,14 %.
Агрегатный индекс заработной платы составил:
I = 1,862 / 1,745 * 100 = 106,7 %.
Таким образом, средняя заработная плата в
отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 6,7 %.
Задача 7. Имеются следующие данные:
|
Год
|
Часовая
выработка на одного рабочего, ед.
|
Продолжительность
рабочего дня, ч
|
Продолжительность
рабочего месяца, дн.
|
|
Базисный
|
35
|
7,9
|
21
|
|
Отчетный
|
60
|
7,8
|
20
|
Определите: 1) влияние динамики часовой
выработки одного рабочего, продолжительности рабочего дня и рабочего месяца на
динамику среднемесячной выработки; 2) количество продукции (в абсолютном
выражении) в расчете на одного рабочего, полученное (недополученное) за счет
каждого фактора.
Решение задачи:
Производительность труда одного работника за
месяц (W) равна его среднечасовой выработке (а), умноженной на среднюю
продолжительность дня (b) и на среднюю продолжительность рабочего месяца (с).
= cba.
Система много факторных индексов:
=
.
.
Таким образом, производительность
труда в базисном периоде составила:
W0 = 35 * 7,9 * 21 = 5806,5 ед.
в отчетном периоде:
W1 = 60 * 7,8 * 20 = 9360 ед.
,612 = 0,952 . 0,987 . 1,714
Таким образом, видно, что рост
производительности труда одного работника был обусловлен увеличением часовой
выработки одного рабочего. Это подтверждают и рассчитанные показатели в
абсолютном выражении:
ΔW = 9360 - 5806,5 = 3553,5
Количество продукции (в абсолютном
выражении) в расчете на одного рабочего, полученное за счет роста часовой
выработки одного рабочего:
ΔWа = (60 - 35)* 7,9 * 21 =
4147,5 ед.
Количество продукции (в абсолютном
выражении) в расчете на одного рабочего, полученное за счет снижения
продолжительности рабочего дня:
ΔWb = 60 * (7,8 - 7,9) * 21 =
-126 ед.
Количество продукции (в абсолютном
выражении) в расчете на одного рабочего, полученное за счет снижения
продолжительности рабочего месяца:
ΔWс = 60 * 7,8 * (20 - 21) = -
468 ед.
Проверка:
ΔW = ΔWа + ΔWb + ΔWс
,5 = 4147,5 - 126 - 468
,5 = 3553,5
Задача 8. Изменение удельного веса
городского населения в общей численности населения области с 15 января 1970 г.
по 15 января 1989 г. характеризуется следующими данными:
|
Год
|
Численность
населения, %
|
|
городского
|
сельского
|
всего
|
|
1970
|
48
|
52
|
100
|
|
1989
|
56
|
44
|
100
|
Изобразите данные этой таблицы с помощью
прямоугольных и секторных диаграмм. Какие выводы об изменении структуры
населения области за этот период можно сделать по данным графическим
изображениям?
Решение задачи:
Прямоугольные диаграммы:
Рис. 8.1. Структура населения в 1970, 1989 гг.
Секторные диаграммы:
Рис. 8.1. Структура населения в 1970, 1989 гг.
Таким образом, за рассматриваемый период доля
городского населения возросла с 48 % до 56 %.
Задача 9. Методом механического отбора проведено
однопроцентное обследование веса однотипных деталей, изготовленных цехом за
сутки. Распределение 100 отобранных деталей по весу дало следующие результаты:
|
Вес
деталей, г
|
96-98
|
98-100
|
100-102
|
102-104
|
|
Число
деталей
|
8
|
45
|
42
|
5
|
Определите с вероятностью 0,954: а) средний вес
деталей в выборке; б) предельную ошибку среднего веса суточной продукции
данного типа деталей; в) пределы, в которых может быть гарантирован средний вес
детали во всей суточной продукции.
Решение задачи:
Сначала перейдем от интервального ряда к дискретному:
|
Вес
деталей, г
|
97
|
99
|
101
|
103
|
|
Число
деталей
|
8
|
45
|
42
|
5
|
Тогда средний вес деталей в выборке равен:
= 
г.
Возможные границы генеральной
средней определяется по формуле:
,
Предельная ошибка выборочной
средней:
Дисперсия равна:
= ((97-99,88)2 . 8 + (99 - 99,88)2 .
45 + (101 - 99,88)2 . 42 + (103 - 99,88)2 . 5) / 100 = (66,3552 + 34,848 +
52,6848 + 48,672)/ 100 = 2,0256
Границы среднего веса деталей:
г.
,6 
100,16 г.
Задача 10. Зависимость фондоотдачи
от размера предприятия (по стоимости основных производственных фондов)
выражается следующими данными:
|
Номер
предприятия
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
Стоимость
основных фондов, млрд р.
|
10
|
13
|
15
|
19
|
23
|
26
|
27
|
30
|
34
|
35
|
|
Фондоотдача,
р.
|
80
|
82
|
84
|
85
|
83
|
88
|
87
|
91
|
95
|
98
|
Составьте уравнение линейной регрессии,
определите параметры и оцените тесноту изучаемой связи.
Решение задачи:
Видно, что при росте размера предприятия
возрастает фондоотдача, т.е. между этими показателями существует прямая
корреляционная зависимость.
Коэффициент парной корреляции определяет тесноту
связи между результативным и факторным показателями:
Расчет показателя тесноты связи
|
№
п/п
|
Стоимость
основных фондов, млрд р.
|
Фондо-отдача,
р.
|
Линейные
отклонения у,  Линей-ные
отклоне-ния х,  Квадрат
линейного отклонения у, 2 Квадрат
линей-ного отклоне-ния х, 2Произве-дение у на х, хуКвадрат
значения фактора, х2
|
|
|
|
|
|
|
1
|
10
|
80
|
-7,3
|
-13,2
|
53,29
|
174,24
|
800
|
100
|
|
2
|
13
|
82
|
-5,3
|
-10,2
|
28,09
|
104,04
|
1066
|
169
|
|
3
|
15
|
84
|
-3,3
|
-8,2
|
10,89
|
67,24
|
1260
|
225
|
|
4
|
19
|
85
|
-2,3
|
-4,2
|
5,29
|
17,64
|
1615
|
361
|
|
5
|
23
|
83
|
-4,3
|
-0,2
|
18,49
|
0,04
|
1909
|
529
|
|
6
|
26
|
88
|
0,7
|
2,8
|
0,49
|
7,84
|
2288
|
676
|
|
7
|
27
|
87
|
-0,3
|
3,8
|
0,09
|
14,44
|
2349
|
729
|
|
8
|
30
|
91
|
3,7
|
6,8
|
13,69
|
46,24
|
2730
|
900
|
|
9
|
34
|
95
|
7,7
|
10,8
|
59,29
|
116,64
|
3230
|
1156
|
|
10
|
35
|
98
|
10,7
|
11,8
|
114,49
|
139,24
|
3430
|
1225
|
|
Итого
|
232
|
873
|
|
|
306,1
|
689,6
|
20677
|
6070
|
8,3
5,5
Т.к. 0< 
<1,
значит корреляция между x и y называется положительной, и она показывает, что с
ростом одного показателя второй показатель возрастает. Связь между показателями
довольно тесная
Определим параметры a и b уравнения
регрессии y = a + bх
Уравнение регрессии y = 73,009
+0,616х.
Графики, соответствующие
эмпирическому ряду данных и уравнению
Проанализировав зависимость
фондоотдачи от размера предприятий, можно сказать, что зависимость между этими
показателями прямая и очень тесная. Это подтверждается значением коэффициента
корреляции и графическом анализе направления и тесноты связи.
Список использованных источников
группировка индекс
статистический средний
Теория
статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика,
1999.
Ефимова
М.Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 1991.
Гусаров
В.М. Статистика: Учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
Елисеева
И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник. - М.: Финансы и
статистика, 2000.
1.