Создание математической модели
Создание математической
модели
Введение
Вторая половина XX века связана с появлением и широким
распространением новой методологии исследования сложных объектов и систем. В ее
основе лежит метод математического моделирования и реализованные на его основе
вычислительные эксперименты. Математические модели использовались и раньше. Они
позволяли уже тогда анализировать недоступные или несуществующие объекты и
процессы. Например:
1) Планета Уран была открыта путем анализа возмущений орбит
трех планет (Леверье).
2) К.Э. Циолковский показал, что для преодоления земного
притяжения требуется первая космическая скорость, а не скорость света.
Однако считалось, что методы математического моделирования не
пригодны для исследования сложных технических, экономических, биологических и
социальных систем. В области техники отсутствие объективных математических
методов привело, с одной стороны, к созданию многочисленных частных, так
называемых инженерных методик расчета, носивших рецептурный характер, а с другой
- к полному безраздельному господству эмпирики (натурных экспериментов).
Недостаточно полная проработка вариантов приводила к
субъективным решениям.
Положение начало меняться во второй половине XX в. при развитии средств
вычислительной техники, в частности современных ЭВМ, которое дало в руки
исследователей новое эффективное средство моделирования сложных систем. В
настоящее время не существует объектов, при изучении которых не применялись бы
методы математического моделирования. Разработаны и активно используются
математические модели технических устройств, модели разнообразных
технологических процессов, экономические модели предприятий, регионов и целых
государств, экологические модели, модели геологических и геофизических
процессов, модели социальных систем, биологические и медицинские модели.
Передо мной встала задача создания математической модели
непрерывно действующей противоточной сушилки.
Противоточные сушилки применяют в тех случаях, когда материал
не чувствителен к высоким температурам или если сухой материал должен иметь
очень низкую влажность. В таких сушилках для предотвращения разложения
материала под действием высоких температур в качестве основной регулируемой
величины нужно использовать температуру материала на выходе из сушилки и
вносить регулирующие воздействия изменением расхода сушильного агента.
Температура воздуха на входе в барабан регулируется изменением расхода
теплоносителя, подаваемого в воздухоподогреватель, а влажность - изменением
расхода рециркулирующего воздуха. Узлы регулирования расхода влажного материала
и разрежения остаются такими же, как и в прямоточных сушилках. Наибольшее
распространение получили барабанные противоточные сушилки (рисунок 1).
Рисунок 1 - Барабанная противоточная сушилка:
- барабан; 2 - бандаж; 3 - ролики; 4 - зубчатая передача; 5 -
ролики; 6 - питатель; 7 - лопасти приемно-винтовой насадки; 8 - вентилятор; 9 -
циклон; 10 - камера; 11 - разгрузочное устройство.
Эти сушилки широко применяются для сушки кусковых, зернистых
и сыпучих материалов. Барабанная сушилка в соответствии с рисунком 1 имеет
цилиндрический барабан 1, установленный с небольшим наклоном к горизонту
(1/15-1/50) и опирающийся с помощью бандажей 2 на ролики 3. Барабан приводится
во вращение электродвигателем через зубчатую передачу 4 и редуктор. Число
оборотов барабана обычно не превышает 5-8 мин-1; положение его в
осевом направлении фиксируется упорными роликами 5. Материал подается в барабан
питателем 6, предварительно подсушивается, перемешиваясь лопастями 7
приемно-винтовой насадки, а затем поступает на внутреннюю насадку,
расположенную вдоль почти всей длины барабана. Насадка обеспечивает равномерное
распределение и хорошее перемешивание материала по сечению барабана, а также
его тесное соприкосновение при пересыпании с сушильным агентом - топочными
газами. Газы и материал особенно часто движутся прямотоком, что помогает
избежать перегрева материала. Чтобы избежать усиленного уноса пыли с газами
последние просасываются через барабан вентилятором 8 со средней скоростью, не
превышающей 2- 3 м/сек.
Перед выбросом в атмосферу отработанные газы очищаются от
пыли в циклоне 9. У разгрузочного конца барабана имеется подпорное устройство в
виде сплошного кольца или кольца, образованного кольцеобразно расположенными
поворотными лопатками (в виде жалюзи). Назначение этого кольца - поддерживать
определенную степень заполнения барабана материалом; как правило, степень
заполнения не превышает 20%. Время пребывания обычно регулируется скоростью
вращения барабана и резке - изменением угла его наклона. Высушенный материал
удаляется из камеры 10 через разгрузочное устройство 11 с помощью которого
герметизируется камера 10 и предотвращается поступление в нее воздуха извне.
Подсосы воздуха привели бы к бесполезному увеличению
производительности и энергии, потребляемой вентилятором 5.
Устройство внутренней насадки барабана зависит от размера
кусков и свойств высушиваемого материала.
Подъемно-лопастная насадка используется для сушки
крупнокусковых и склонных к налипанию материалов, а секторная насадка - для
малосыпучих и крупнокусковых материалов с большой плотностью. Для
мелкокусковых, сильно сыпучих материалов широко применяются распределительные
насадки. Сушка тонкоизмельченных, пылящих материалов производится в барабанах,
имеющих перевалочную насадку с закрытыми ячейками. Иногда используют
комбинированные насадки, например подъемно-лопастную (в передней части
аппарата) и распределительную.
Типы промышленных барабанных сушилок разнообразны: сушилки,
работающие при противотоке сушильного агента и материала, с использованием
воздуха в качестве сушильного агента, контактные барабанные сушилки и др.
Постановка
задачи
Определить расход воздуха, расход и необходимое давление
греющего пара для непрерывно действующей противоточной сушилки, работающей по
нормальному сушильному варианту.
Производительность сушилки по влажному материалу: Gн = 350 кг/ч;
Начальная влажность материала: uн = 42%;
Конечная влажность материала: uк = 11%;
Температура материала, поступающего на сушку: 1 = 18º С;
Температура материала, выходящего из сушилки: 2 = 47º С;
Характеристика состояния воздуха:
до калорифера: t0 = 15º C, φ0 = 70%;
после сушилки: t2 = 45º C, φ2 = 60%;
Теплоёмкость высушенного (uк = 11%) материала: ck = 2,35*103
Дж/кг*град;
Масса транспортирующего устройства (стальной транспортёр): Gтр = 600 кг;
Тепловые потери сушилки в окружающую среду Qпот = 12% от суммы всех
остальных слагаемых теплового баланса;
Влажность греющего пара: 6%.
Решение
Количество испаренной в сушилке влаги определим по уравнению:
, (1)
Где Gн - производительность сушилки по влажному
материалу, кг/ч;
uн - начальная влажность материала, %;
uк - конечная влажность материала, %.
Расход сухого воздуха в сушилке на испарение W кг влаги в час находим
по уравнению:
, (2)
Где W - количество испаренной в сушилке влаги, кг/ч;
x0 - влагосодержание воздуха до калорифера;
x2 - влагосодержание воздуха, выходящего
из сушилки;
Расход тепла в теоретической сушилке определяем из уравнения:
Qт = L*(I2 - I0), (3)
Где L - расход сухого воздуха в сушилке на испарение W кг влаги в час, кг/ч;
I2 - теплосодержание воздуха, выходящего из
сушилки, кДж/кг;
I0 - теплосодержание воздуха, до калорифера,
кДж/кг.
Общее количество тепла, которое должно быть подведено в
калорифер, с учетом потерь в окружающую среду определим по формуле:
Qр = ((Qт + Gк* ck*(2 - 1) + Gтр* cтр*(2 - 1)) - W* 1* cв) *1,12, (4)
Где Qт - расход тепла в теоретической сушилке, вт;
Gк - производительность сушилки по сухому
материалу, кг/ч;
ck - теплоёмкость высушенного (uк = 11%) материала,
Дж/кг*град;
2 - температура материала, выходящего из сушилки, º С;
1 - температура материала, поступающего на сушку, º С;
W - количество испаренной в сушилке влаги, кг/ч;
cв - теплоёмкость влажного материала, Дж/кг*град.
, (5)
Где Qр - общее количество тепла, которое должно быть
подведено в калорифер, с учетом потерь в окружающую среду, вт;
L - расход сухого воздуха в сушилке на испарение W кг влаги в час, кг/ч;
I0 - теплосодержание воздуха, до калорифера,
кДж/кг.
tгр.п = t1 + ∆t, (6)
где t1 - температура воздуха после калорифера, º С;
∆t - разница температур на выходе воздуха из калорифера, º С.
Расход греющего пара:
D = Qр/r * x´, (7)
где x´ - паросодержание;
r - теплота конденсации пара при tгр.п.
Удельный расход пара:
d = D/W, (8)
где D - расход греющего пара, кг/ч;
Численный
пример
Количество испаренной в сушилке влаги определим по уравнению:
По диаграмме 1 - x находим влаго- и теплосодержание воздуха до
калорифера и воздуха, выходящего из сушилки:
x0 = 0,0077 x2
= 0,038
I0 = 35 кДж/кг I2
= 145 кДж/кг
Расход сухого воздуха в сушилке на испарение W кг влаги в час находим
по уравнению:
Расход тепла в теоретической сушилке определяем из уравнения:
В действительной сушилке тепло расходуется на подогрев
материала
а также на нагрев транспортирующих устройств. В условиях
нашей задачи последнее количество тепла:
где 0,5*103 - теплоёмкость стали, Дж/(кг*град).
Из общего количества тепла, которое необходимо подать в
сушилку, надо вычесть количество тепла, вносимое влагой, находящейся во влажном
материале:
Тогда общее количество тепла, которое должно быть подведено в
калорифер, с учетом потерь в окружающую среду составит:
Qр = (123 000 +4300+2420-2560)*1,12 = 142500 вт
Сравнивая расходы тепла в теоретической и действительной
сушилке, можно видеть, что в последней расход тепла выше лишь на 15%.
Так как
Qр = L*(I1 - I0) = 142500 вт
то
Следовательно
I1 = 127,5 * 103 + I0 = 127,5 *103 +
35 *103 = 162,5 *103 Дж/кг сухого воздуха
Этому значению I1 соответствует температура воздуха после
калорифера t1 ≈ 138º C (по диаграмме I - x).
Таблица 1 - Зависимость I - x
I, *10 3,
Дж/кг сухого воздуха
|
Температура воздуха после калорифера t1, º C
|
160
|
135
|
162,5
|
138
|
165
|
141
|
Принимаем на выходе воздуха из калорифера:
∆t = tгр.п - t1 = 10 град
Тогда
tгр.п = 138+10 = 148º С
чему соответствует необходимое давление греющего пара pабс ≈ 4,7 атм
Таблица 2 - Зависимость давления греющего пара от температуры
Температура, º
С
|
Абсолютное давление, атм
|
145
|
4,238
|
148
|
4,7
|
150
|
4,855
|
Расход греющего пара:
D = Qр/r * x´ = 142 500/2124 *103
* 0,94 = 0,0715 кг/сек = 257 кг/ч
где x´ - паросодержание;
r - теплота конденсации пара при 148º C.
Удельный расход пара:
d = D/W = 257/122 =2,1 кг / кг испаряемой влаги
Листинг
- программы
Sub Polina()
'Описание переменных'
Dim Gn As Integer, un As Integer, uk As Integer,
R1 As Integer, R2 As Integer, t0 As Integer, _As Integer, t2 As Integer, j2 As
Integer, ck As Integer, Gtr As Integer, x0 As Single, x2 As Single, _As Long,
I2 As Long, t1 As Integer, dt As Integer, tgrp As Integer, x11 As Integer, _As
Long, W As Long, L As Long, Qt As Long, Qr As Long, D As Single, dm As Single,
_As Single, cv As Integer, r As Single, p As Single, I As Long, Qp As Double,
Qtr As Single, Qw As Double
'Ввод данных'= InputBox («Введите Gn =», «350»)=
InputBox («Введите un =», «42»)=
InputBox («Введите uk =», «11»)=
InputBox («Введите R1 =», «18»)=
InputBox («Введите R2 =», «47»)=
InputBox («Введите t0 =», «15»)=
InputBox («Введите j0 =», «70»)=
InputBox («Введите t0 =», «45»)=
InputBox («Введите j2 =», «60»)=
InputBox («Введите ck =»,
«2350»)= InputBox («Введите Gtr =», «600»)= InputBox («Введите x0 =», «0,0077»)=
InputBox («Введите I0 =»,
«35000»)= InputBox («Введите x2 =», «0,038»)= InputBox («Введите I2 =», «145000»)=
InputBox («Введите ctr =»,
«500»)= InputBox («Введите cv =», «4190»)= InputBox («Введите r =», «2124000»)=
InputBox («Введите x11 =»,
«0,94»)
Количество испаренной в сушилке влаги'
W = Gn * ((un - uk) / (100 - uk))
Расход сухого воздуха в сушилке на испраение W кг влаги в час'
L = W / (x2 - x0)
Расход тепла в теоретической сушилке'
Qt = (L * (I2 - I0)) / 3600
Общее количество тепла, которое должно быть подведено в
калорифер, с учетом потерь в окружающую среду:'
Qp = ((Gn - W) * ck * (R2 - R1)) / 3600= (Gtr *
ctr * (R2 - R1)) / 3600= (W * R1 * cv) / 3600= (Qt + Qp + Qtr - Qw) * 1.12= Qr
/ (L + I0)I = 162500 Then= 138I = 16000 Then= 135
t1 = 141
End If
Разница температур на выходе из калорифера:'
Расход греющего пара:'
D = Qr / (r * x11)
Удельный расход пара:'
dm = D / W
MsgBox «Расход сухого воздуха в сушилке, кг/ч» & L
Cells (1, 1) = «Расход сухого воздуха в сушилке, кг/ч»
Cells (1, 2) = L
MsgBox «Расход греющего пара, кг/сек» & D
Cells (2, 1) = «» Расход греющего пара, кг/сек
Cells (2, 2) = D
MsgBox «Давление греющего пара, атм» & p
Cells (3, 1) = «Давление греющего пара, атм»(3, 2) =
pSub
Многофакторный
эксперимент
Определить зависимость расхода сухого воздуха в непрерывно
действующей противоточной сушилке от испарения влаги (W) и влагосодержания (x).
сушилка программа давление противоточный
Таблица 9.1
Уровни
|
x1 (W), кг/ч
|
x2 (x)
|
основной
|
122
|
0,03
|
нижний
|
120
|
0,025
|
верхний
|
124
|
0,035
|
интервал варьирования
|
2
|
0,005
|
Таблица 9.2 - Карта проведения эксперимента
|
Порядок реализации опыта
|
Матрица планирования
|
x1*x2
|
Выходной y, кг/ч
|
|
|
x1
|
x2
|
|
yu1
|
yu2
|
yu
|
1
|
2,3
|
-1
|
-1
|
+1
|
4020
|
4022
|
4021
|
2
|
3,1
|
+1
|
-1
|
-1
|
4026
|
4034
|
4030
|
3
|
4,4
|
-1
|
+1
|
-1
|
4030
|
4035
|
4032,5
|
4
|
1,2
|
+1
|
+1
|
+1
|
4031
|
4029,5
|
Рассчитаем построчное среднее по следующей формуле:
, (9)
где j - число повторных опытов
;
Определим построчные дисперсии - дисперсии воспроизводимости:
, (10)
= 4,5.
Рассчитаем сумму построчных дисперсий:
(11)
S2∑ = 2 + 32 + 15 + 4,5 = 53,5
Проверим воспроизводимость опыта по критерию Кохрена:
, (12)
= 0,598
Табличное значение при N=4, y=2, Gt = 0,906, p=0,95
Опыты равноточны, так как Gr < Gt
Определим коэффициенты уравнения регрессии:
Проверим значимость коэффициентов регрессии, то есть
проверяем дисперсию эксперимента:
, (14)
Также рассчитаем усреднённую дисперсию эксперимента:
S2y = S2y / 2 = 13,375/2 = 6,6875
Определим дисперсию и среднеквадратичную ошибку коэффициентов
регрессии:
, (15)
, (16)
Находим значение доверительного интервала для коэффициентов
регрессии:
∆bi = ±t * Sbi, (17)
где t - значение коэффициента Стьюдента, выбранного в зависимости
от числа степеней свободы.
Определим степень свободы:
f = N * (j - 1), (18)
f = 4*(2-1) = 4;
Выбранный уровень значимости: 0,95.
Сравним полученные коэффициента с доверительным интервалом:
b0 = 4028,25 - значимый;
b1 = 1,5 - незначимый;
b2 = 2,75 - значимый;
b12 = -3 - значимый.
Определим адекватность модели по критерию Фишера:
Fр < Fт - модель адекватна;
Fр = S2ад / S2y = S2ад / 6,6875, (19)
где S2ад - это дисперсия адекватности (остаточная
дисперсия);
S2y - усредненная дисперсия
эксперимента с учетом повторных опытов
, (20)
где yu - рассчитанное по полученному уравнению значение
выхода;
yu - усредненное значение выхода параметра
оптимизации, полученное при реализации повторных опытов для каждой строки;
k - число варьируемых факторов
Fт рассчитывается в зависимости от степени свободы:
f1 = N-k-1 = 4-2-1=1;
f2 = N*(j-1) = 4* (2-1) = 4;
Для определения S2ад вычисляем:
y1 = 4028,5 + 2,75*(-1) -3*(+1) = 4022,75;
y2 = 4028,5 +2,75*(-1) -3*(-1) = 4028,75;
y3 = 4028,5 +2,75*(+1) -3*(-1) = 4034,25;
y4 = 4028,5 +2,75*(+1) -3*(+1) = 4028,25;
Fр = 9,25/6,6875 = 1,38;
Fт = 7,71
Так как 1,38<7,71, то есть Fр< Fт - модель является
адекватной.