Идентификация и диагностика систем

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Филиал "СЕВМАШВТУЗ" государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

"Санкт-Петербургский государственный морской

технический университет" в г. Северодвинске

Курсовая работа

"Идентификация и диагностика систем"

Студент: Иванов С.А.

Группа: 1405

Преподаватель: Музыка М.М.

Северодвинск

2012

Содержание

Введение

1. Идентификация с использованием степенных полиномов

2. Идентификация статических характеристик с помощью ортогональных полиномов Чебышева

3. Настраиваемая модель

4. Идентификация прямым методом наименьших квадратов для авторегрессионной модели

5. Идентификация рекуррентным методом наименьших квадратов для авторегрессионной модели

6. Оценка параметров системы со скользящим средним, прямым методом

7. Оценка параметров системы со скользящим средним, рекуррентным методом

8. Формирование множеств проверок диагностируемого объекта с помощью аппарата булевых функций

9. Построение достаточно простых диагностических тестов. Алгоритм Яблонского-Мак-Класки

0. Построение достаточно простых диагностических тестов. Алгоритм Синдеева

Заключение

Введение

В данной курсовой работе будет проводиться идентификация объектов различными способами, при этом контроля над входным сигналом нет, а он вместе с выходным сигналом объекта только измеряется, кроме настраиваемой модели. Идентификация, позволяет выяснить, какими параметрами обладает система и с использованием этих параметров построить модель системы, которая будет соответствовать реальной, но с некоторой ошибкой. Также будет рассмотрено формирование множества проверок диагностируемого объекта с помощью аппарата булевых функций; построение достаточно простых диагностических тестов: алгоритмами Яблонского-Мак-Класки и алгоритмом Синдеева.

.        Идентификация с использованием степенных полиномов

Есть какой-то объект, у которого измерены входные (x) и выходные (f(x)) сигналы:

В задании указано, что необходимо провести идентификацию объекта, по измеренным значениям с его выхода и входа (таблица 1.1), с использованием степенных полиномов.

Допустим, объект описывается функцией:

, (1.1)

Поиск решения уравнения (1.1) при наличии шумов, затруднен.

Для приближения характеристики, минимизируют некоторый функционал, характеризующий различия объекта и модели, как правило, это квадратичная функция (1.2).

, (1.2)

 - Множество ошибок, между выходными значениями исследуемого объекта () и выходными значениями модели объекта ().

Для того, чтобы найти минимальное значение E, необходимо продифференцировать уравнение (1.2).

В итоге, после некоторых преобразований получим уравнение, записанное в матричной форме:

, (1.3)

 - вектор значений, снятых с выхода исследуемого объекта.

 - Информационная матрица Фишера, положительно определенная, и, чтобы было возможно найти ее обратную матрицу, должна быть еще и невырожденной (квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля).

Матрица Ф, в виде степенного ряда, будет иметь вид:

N - Число измерений.

n - размерность объекта.

Выразим вектор параметров объекта  из уравнения (1.3):

, (1.4)

Пусть размерность объекта n=4, тогда:

Решив уравнение (1.4), получим вектор B:

Таким образом, функция, описывающая поведения объекта в зависимости от параметров B и входного сигнала, будет иметь вид:

 (1.5)

На рисунке 1.1, разместим измеряемые значения с выхода объекта y(x) и график, соответствующий уравнению yr(x) (1.5).

Рисунок 1.1

Оценку точности будем проводить с помощью дискретной нормы среднеквадратичной оценки:

 (1.6)

 - измеренные значения с выхода объекта;  - расчетные значения, зависящие, от входного воздействия на объект и рассчитанных параметров; Решив уравнение (1.6), получим:

.        Идентификация статических характеристик с помощью ортогональных полиномов Чебышева

Есть какой-то объект, у которого измерены входные (x) и выходные (f(x)) сигналы, часть данных приведена в таблице 1.1. В задании указано, что необходимо провести идентификацию объекта, по измеренным значениям с его выхода и входа (таблица 1.1), с использованием ортогональных полиномов Чебышева. Для этого, необходимо отрезок, на котором мы исследуем функцию, разделить на отрезки одинаковой длины:

N = 99 - количество равных по длине отрезков, на которые n точек разбивают исходный интервал ();  - начальная точка;  - конечная точка; Подставив в уравнение, значения , a, b и M:

Многочлены Чебышева, определяем по следующей формуле:

При этом:

По аналогии с идентификацией с помощью степенных полиномов, возьмем размерность объекта , тогда, определим 5 полиномов Чебышева:

Проверим условие ортогональности найденных полиномов:

; ;

;;

;;

;;

;;

; ;

; ;

;

Как видно, условия ортогональности выполняются, поэтому найдем коэффициенты идентифицируемого объекта:

;;;;

;

Искомая функция:

+

На рисунке 2.1, разместим измеряемые значения с выхода объекта y(x) и график расчетных значений yr(x).

3.       Настраиваемая модель

Нам дана передаточная функция объекта (3.1), и мы должны ее идентифицировать с помощью настраиваемой модели.

 (3.1)

Пусть, нам известны порядки полинома числителя и знаменателя объекта, т.е. известна его структура и необходимо идентифицировать лишь параметры объекта, тогда уравнение (3.1), представим, как (3.2):

 (3.2)

Поделим числитель и знаменатель передаточной функции (3.2) на полином  степени, у которого корни положительны и известны: , где , (указано в задании), тогда уравнение (3.2), можно записать в виде:

 (3.3)

Модель настраиваемой модели, рисунок 3.1

Рисунок 3.1

Графики переходных процессов, параметров , в настраиваемой модели Рисунок 3.2

Рисунок 3.2

Искомые коэффициенты из параметров настраиваемой модели можно определить:

; ;

; ;

Найденные коэффициенты, совпадают с коэффициентами исследуемой модели, т.е. передаточная функция исследуемого объекта определена, как:

4.       Идентификация прямым методом наименьших квадратов для авторегрессионной модели

Сигнал помехи f(t), подается на вход объекта, при этом точно измеряется, так же, как и выходной сигнал y(t), часть исходных данных приведена в таблице 4.1.

Искомые коэффициенты определим таким образом, чтобы разность (невязка) между левой и правой частью уравнения (4.1) была минимальной:

Для решения этой задачи формируется сумма квадратов невязок:

Минимально значение уравнения (4.2), можно найти, продифференцировав его, поэтому:

Тогда, выразив из уравнения (4.3), оценку , получим (4.5)

Допустим порядок системы , тогда:

Найдем матрицу  из уравнения (4.4):

Тогда вектор оценок параметров, найдем из формулы (4.5):

Уравнение, описывающее поведение объекта:

На рисунке 4.1, разместим измеряемые значения с выхода объекта y(t) и график расчетных значений yr(t).

Рисунок 4.1

5.       Идентификация рекуррентным методом наименьших квадратов для авторегрессионной модели

Требуется идентифицировать параметры объекта в темпе реального процесса, это означает, что оценка неизвестных параметров должна осуществляться сразу, после измерения выхода объекта. Решить эту задачу возможно с помощью следующего алгоритма:

идентификация полином реккурентный авторегрессионный

При этом:

, где x - любая, положительная постоянная. I - единичная матрица, размерностью nxn

Пусть порядок объекта , тогда:

Нахождение параметров системы, будем проводить до тех пор, пока они не установятся. Построим графики изменений параметров на рисунке 5.1

Рисунок 5.1

Возьмем следующие параметры:

Уравнение, описывающее поведение объекта:

На рисунке 5.2, разместим измеряемые значения с выхода объекта y(t) и график расчетных значений yr(t).

Рисунок 5.2

6.       Оценка параметров системы со скользящим средним, прямым методом

 - порядок фильтра входного полинома;

 - порядок фильтра входной помехи;

Тогда модель может быть описана следующим образом:

Кроме векторов  и , расчет ничем не отличается от прямого метода наименьших квадратов, т.е. надо решить уравнение вида:

Тогда, сначала определим :

Матрица , определяется по формуле (6.2)

Тогда оценка параметров , будет иметь вид:

Теперь найденные значения параметров подставим в формулу (6.1), и получим следующее уравнение, описывающее поведение объекта:

 - Гауссовский белый шум с нулевым средним (не может быть измерен). График с измеренной y(t) и расчетной переменной yr(t) приведен на Рисунке 6.1.

Рисунок 6.1

7.       Оценка параметров системы со скользящим средним, рекуррентным методом

Требуется идентифицировать параметры объекта в темпе реального процесса, это означает, что оценка неизвестных параметров должна осуществляться сразу, после измерения выхода объекта. Решить эту задачу возможно с помощью следующего алгоритма:

При этом:

, где x - любая, положительная постоянная. I - единичная матрица, размерностью , соответственно и , будет той же размерностью.

 - нулевая матрица, поскольку к каким значениям будут стремиться параметры вектора  нам неизвестно. Размерность .

Кроме векторов  и , расчет ничем не отличается от рекуррентного метода наименьших квадратов, т.е. надо последовательно решать уравнения (7.1), (7.2), (7.3): Пусть:

 - порядок фильтра входного полинома;

 - порядок фильтра входной помехи;

 - выбирается из следующих соображений: при заданных порядках фильтра входного полинома и фильтра входной помехи, нам необходимо обращаться к предыдущим значениям: u(k-4) и y(k-2), поэтому начать с , не получится, поскольку до этого еще измерений не проводилось. При , u(k-4)=u(0).

Тогда:

Построим графики изменений параметров

В конце концов, при учете всех исходных данных, вектор оценок  полностью сходится с полученным вектором  при расчете прямым методом со скользящим средним, что логично.

Но поскольку смысл рекуррентного метода состоит в поиске параметров во время измерений, возьмем другой вектор оценок параметров системы. Из графиков видно, что все параметры пришли в устойчивое состояние гораздо раньше 600 измерения, поэтому выберем оценку параметров системы, на 200 позиции:

Тогда уравнение модели системы:

 - Гауссовский белый шум с нулевым средним (не может быть измерен). Графики измеренного y(t) сигнала и расчетного yr(t), изображены на Рисунке 6.2

8.       Формирование множеств проверок диагностируемого объекта с помощью аппарата булевых функций

1.       По структурной схеме составляется таблица состояний, которая имеет вид:

2.       Булева матрица, построенная по таблице состояний, выглядит следующим образом:

По булевой матрице записывается функция в форме "дизъюнкция конъюнкций":

(pi) = (p1vp2vp3vp5vp6vp8)&p1&(p1vp3vp5vp7vp9)&(p1vp3vp9) &(p1vp3vp5vp6vp8)&(p1vp3vp4vp5vp9)&(p1vp3vp5vp7vp8)&(p1vp3vp4vp5vp7)&(p2vp3vp5vp6vp8)&(p2vp6vp7vp8vp9)&(p2vp5vp6vp8vp9)&p2&(p2vp4vp6vp8vp9)&(p2vp6vp7)&(p2vp4vp6vp7vp8)&(p3vp5vp7vp9)&(p3vp9)&(p3vp5vp6vp8)&(p3vp4vp5vp9)&(p3vp5vp7vp8)&(p3vp4vp5vp7)&(p5vp7)&(p6vp7vp8vp9)&(p4vp7)&(p8vp9)&(p4vp9)&(p5vp6vp8vp9)&(p4vp5)&(p5vp7vp8vp9)&(p4vp5vp7vp9)&(p4vp6vp8vp9)&(p6vp7)&(p4vp6vp7vp8)&(p4vp7vp8vp9)&(p7vp9)&(p4vp8)=p1&p2&(p3vp9)&(p3vp5vp6vp8)&(p5vp7)&(p4vp7)&(p8vp9)&(p4vp9)&(p4vp5)&(p6vp7)&(p7vp9)&(p4vp8)=(p1p2p3vp1p2p9)&(p3p5vp3p7vp5vp5p7vp6p5vp6p7vp8p5vp8p7)&(p4p8vp4p9vp7p8vp7p9)&(p4vp4p5vp9p4vp9p5)&(p6p7vp6p9vp7vp7p9)&(p4vp8)=(p1p2p3p7vp1p2p3p5)&(p4p8vp4p9vp7p9p5)&(p6p9p4vp6p9p8vp7p4vp7p8)=(p1p2p3p7p4p8vp1p2p3p7p4p9vp1p2p3p7p9p5vp1p2p3p5p4p8vp1p2p3p5p4p9)&(p6p9p4vp6p9p8vp7p4vp7p8)=p1p2p3p7p4p8vp1p2p3p7p9p5p8vp1p2p3p5p4p9p6vp1p2p3p7p4p9)

Т1 = {p1p2p3p7p4p8} и Т2 = {p1p2p3p7p4p9}.

. Построение достаточно простых диагностических тестов. Алгоритм Яблонского-Мак-Класки

1. в строке s1s4 содержится проверка п1, она поглащает все остальные строки содержащие единицу в п1 проверка п1, как и строка s1s4 отмечается как входящая в тест и выводится из рассмотрения

. пусть строка поглотитель s2s8

. пусть строка поглотитель s7s11

. пусть строка поглотитель s2s12

. пусть строка поглотитель s3s11

. пусть строка поглотитель s3s5

7. дальше правило поглощения строк применять нельзя, используем правило поглощения столбцов

Применяем правило поглощения строк, п2, входит в тест.

п8 входит в тест

п6 входит в тест

В результате получаем: п1п2п8п6.

11.     Построение достаточно простых диагностических тестов. Алгоритм Синдеева

H = log₂ 12 = 3,585

Максимальная 3,7,9,11,12.

В качестве первой проверки берем 3 строку.

Расчёт условной энтропии первой проверки p₁ производится при учёте следующих данных:

·   Число единиц (положительных исходов) в первой строке (первой проверки) напротив единиц строки p₃ l₁ = 2;

·   Число нулей в первой строке напротив единиц строки p₃ (l - l₁) = 4;

·   Число единиц в первой строке напротив нулей строки p₃ l₂ = 5;

Число нулей в первой строке напротив нулей строки p₃(n - l - l₁) =1 Тогда условная энтропия первой проверки

Количество информации, которое несёт первая проверка при условии, что 3 уже проведена

=0.784

Максимальная p₉. Она же и выбирается в качестве второй проверки, проводимой после проверки p3. Учитывая, что соответствующая ей условная энтропия H(p₉/p₃) = 1,585, можно рассчитать энтропии и количества информации остальных проверок, при условии проведения проверки p₃ и p₉.

Максимальное количество информации несёт проверка p₁₂. Она же и выбирается в качестве третей проверки, проводимой после проверок p₃ и p₉. Учитывая, что соответствующая ей условная энтропия H(p₁₂/p₃,p₉) = 0,667, можно рассчитать энтропии и количества информации остальных проверок, при условии проведения проверки p₃, p₉ и p₁₂.

Максимальное количество информации несут проверки p₁ и p₈ p₁₀. В качестве четвёртой проверки, выбрана проверка p₁. Учитывая, что соответствующая ей условная энтропия H = 0.5 можно рассчитать энтропии и количества информации остальных проверок, при условии проведения проверки p₃, p₉, p₁₂ и p₁.

После проведения проверки энтропия становится нулевой. А это значит, что искомый близкий к минимальному тест определён и будет иметь вид:

Т={p_3,p₉,p₁₂,p₁}

Заключение

Было произведено различными способами определение математической модели объекта по результатам наблюдения за его входными и выходными сигналами. Идентификация статической характеристики методами ортогональных полиномов Чебышева и степенных полиномов дали примерно одинаковый результат. Более правильной системой получилась модель со скользящей средней, даже при наличии не измеряемых помех. Настраиваемая модель дала хороший результат, но работоспособность модели зависит от того какие мы выберем входные сигналы. Также было рассмотрено формирование множеств проверок диагностируемого объекта с помощью аппарата булевых функций; построение достаточно простых диагностических тестов: алгоритмами Яблонского-Мак-Класки и алгоритмом Синдеева.