Аппроксимация кривой разгона
Задания
1. Выбрать кривую разгона согласно варианту задания.
2. Аппроксимировать кривую разгона апериодическим звеном первого
порядка с запаздыванием. Определить соотношение угла наклона 
. Найти оптимальные настройки регулятора (метод Копеловича).
. Найти передаточную функцию замкнутой системы.
. Определить выражение замкнутой ВЧХ - P (ω).
. Методом трапеций найти переходной процесс соответствующим регулятором.
. Смоделировать АСР с использованием программы 20-sim.
. Произвести сравнительный анализ полученной системы.
Решение:
1. Выберем кривую разгона согласно варианту задания (рис.1):
закон регулирования - ПИД;
критерий качества регулирования - 20% перерегулирования (σ = 20%);
для ПИД закон регулирования:
где 
Рисунок 1
. Аппроксимируем кривую разгона апериодическим звеном первого
порядка с запаздыванием (рис.2). Определим соотношение угла наклона:
Рисунок 2
Получим
.
. Найдем оптимальные настройки регулятора (метод Копеловича).
Для нашего случая, формулы будут следующие:
где Ko - коэффициент усиления объекта, τ - транспортное запаздывание, T - постоянная времени объекта регулирования.
. Найдем передаточную функцию замкнутой системы.
Структурная схема замкнутой системы показана на рисунке 3,
где регулятор включен в цепь отрицательной обратной связи.
В этом случае передаточная функция замкнутой системы
определяется:
, 
.
Рисунок 3
Передаточная функция ПИД-регулятора:
.
Передаточная функция объекта регулирования:
.
Найдем передаточную функцию замкнутой системы WЗ (p):
Следовательно,
. Определим выражение замкнутой ВЧХ - P (ω).
Для ПИД закон регулирования:
где 
Тогда получим:
или
Определим значения вещественной частотной характеристики и
построим график вещественной частотной характеристики (рис.4).
Рисунок 4
. Методом трапеций найдем переходной процесс соответствующим
регулятором.
Для этого полученную ВЧХ представим в виде 5-и трапеций (рис.5).
Данные трапеций представлены в таблице 1.
Рисунок 5
Таблица 1
|
Трапеция 1
|
Трапеция 2
|
Трапеция 3
|
Трапеция 4
|
Трапеция 5
|
|
P1
|
0
|
P2
|
0,24
|
P3
|
0,28
|
P4
|
0,16
|
P5
|
0,0125
|
|
ωd1
|
0
|
ωd2
|
0,075
|
ωd3
|
0,15
|
ωd4
|
0,28
|
ωd5
|
0,425
|
|
ωk1
|
0,07
|
ωk2
|
0,1
|
ωk3
|
0,25
|
ωk4
|
0,33
|
ωk5
|
0,475
|
|
 0 0,75 0,6 0,85 0,9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя полученные данные и таблицу h-функций для нормированной
трапецеидальной действительной частотной функции, получим значения переходных
процессов для 5-и трапеций, которые занесем в таблицу 2.
Таблица 2
|
Трапеция 1
|
Трапеция 2
|
Трапеция 3
|
Трапеция 4
|
Трапеция 5
|
Сумма трапеций
|
|
λ1=0
|
ωk1=0,07
|
P1=0
|
λ2=0,75
|
ωk2=0,1
|
P2=0,24
|
λ3=0,6
|
ωk3=0,25
|
P3=0,28
|
λ4=0,85
|
ωk4=0,33
|
P4=0,16
|
λ5=0,9
|
ωk5=0,475
|
P5=0,0125
|
x=x1+x2+x3+x4+x5
|
|
τ
|
h1
|
t=τ/ωk1
|
x1=
=P1h1
|
h2
|
t=τ/ωk2
|
x2=
=P2h2
|
h3
|
t=τ/ωk3
|
x3=
=P3h3
|
h4
|
t=τ/ωk4
|
x4=
=P4h4
|
h5
|
t=τ/ωk5
|
x5=
P5h5
|
|
|
0
|
0,000
|
0,000
|
0
|
0,000
|
0
|
0,000
|
0,000
|
0
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
0,000
|
|
0,5
|
0,138
|
7,143
|
0
|
0,275
|
5
|
0,066
|
0,255
|
2
|
0,071
|
0,290
|
1,515
|
0,046
|
0,297
|
1,053
|
0,004
|
0,188
|
|
1
|
0,310
|
14,286
|
0
|
0,534
|
10
|
0,128
|
0,490
|
4
|
0,137
|
0,562
|
3,030
|
0,090
|
0,575
|
2,105
|
0,007
|
0,362
|
|
1,5
|
0,449
|
21,429
|
0
|
0,758
|
15
|
0,182
|
0,706
|
6
|
0, 198
|
0,794
|
4,545
|
0,127
|
0,813
|
3,158
|
0,010
|
0,517
|
|
2
|
0,572
|
28,571
|
0
|
0,938
|
20
|
0,225
|
0,878
|
8
|
0,246
|
0,974
|
6,061
|
0,156
|
0,986
|
4,211
|
0,012
|
0,639
|
|
2,5
|
0,674
|
35,714
|
0
|
1,067
|
25
|
0,256
|
1,010
|
10
|
0,283
|
1,090
|
7,576
|
0,174
|
1,105
|
5,263
|
0,014
|
0,727
|
|
3
|
0,755
|
42,857
|
0
|
1,142
|
30
|
0,274
|
1,100
|
12
|
0,308
|
1,164
|
9,091
|
0,186
|
1,172
|
6,316
|
0,015
|
0,783
|
|
3,5
|
0,783
|
50,000
|
0
|
1,166
|
35
|
0,280
|
1,145
|
14
|
0,321
|
1,174
|
10,606
|
0,188
|
1,175
|
7,368
|
0,015
|
0,803
|
|
4
|
0,857
|
57,143
|
0
|
1,161
|
40
|
0,279
|
1,158
|
16
|
0,324
|
1,149
|
12,121
|
0,184
|
1,141
|
8,421
|
0,014
|
0,801
|
|
4,5
|
0,883
|
64,286
|
0
|
1,127
|
45
|
0,270
|
1,134
|
18
|
0,318
|
1,099
|
13,636
|
0,176
|
1,085
|
9,474
|
0,014
|
0,777
|
|
5
|
0,896
|
71,429
|
0
|
1,069
|
50
|
0,257
|
1,107
|
20
|
0,310
|
1,037
|
15,152
|
0,166
|
1,019
|
10,526
|
0,013
|
0,745
|
|
5,5
|
0,900
|
78,571
|
0
|
1,016
|
55
|
0,244
|
1,070
|
22
|
0,300
|
0,979
|
16,667
|
0,157
|
0,962
|
11,579
|
0,012
|
0,712
|
|
6
|
0,904
|
85,714
|
0
|
0,956
|
60
|
0,229
|
1,021
|
24
|
0,286
|
18,182
|
0,149
|
0,922
|
12,632
|
0,012
|
0,676
|
|
6,5
|
0,904
|
92,857
|
0
|
0,936
|
65
|
0,225
|
0,982
|
26
|
0,275
|
0,910
|
19,697
|
0,146
|
0,903
|
13,684
|
0,011
|
0,656
|
|
7
|
0,904
|
100,000
|
0
|
0,917
|
70
|
0,220
|
0,957
|
28
|
0,268
|
0,908
|
21,212
|
0,145
|
0,909
|
14,737
|
0,011
|
0,645
|
|
7,5
|
0,907
|
107,143
|
0
|
0,911
|
75
|
0,219
|
0,944
|
30
|
0,264
|
0,927
|
22,727
|
0,148
|
0,934
|
15,789
|
0,012
|
0,643
|
|
8
|
0,910
|
114,286
|
0
|
0,936
|
80
|
0,225
|
0,941
|
32
|
0,263
|
0,955
|
24,242
|
0,153
|
0,970
|
16,842
|
0,012
|
0,653
|
|
8,5
|
0,918
|
121,429
|
0
|
0,958
|
85
|
0,230
|
0,944
|
34
|
0,264
|
0,990
|
25,758
|
0,158
|
1,006
|
17,895
|
0,013
|
0,665
|
|
9
|
0,924
|
128,571
|
0
|
0,990
|
90
|
0,238
|
0,961
|
36
|
0,269
|
1,023
|
27,273
|
0,164
|
1,039
|
18,947
|
0,013
|
0,683
|
|
9,5
|
0,932
|
135,714
|
0
|
1,015
|
95
|
0,244
|
0,980
|
38
|
0,274
|
1,048
|
28,788
|
0,168
|
1,059
|
20,000
|
0,013
|
0,699
|
|
10
|
0,939
|
142,857
|
0
|
1,036
|
100
|
0,249
|
0,933
|
40
|
0,261
|
1,059
|
30,303
|
0,169
|
1,063
|
21,053
|
0,013
|
0,693
|
|
10,5
|
0,946
|
150,000
|
0
|
1,046
|
105
|
0,251
|
1,007
|
42
|
0,282
|
1,058
|
31,818
|
0,169
|
1,055
|
22,105
|
0,013
|
0,715
|
|
11
|
0,947
|
157,143
|
0
|
1,047
|
110
|
0,251
|
1,014
|
44
|
0,284
|
1,044
|
33,333
|
0,167
|
1,034
|
23,158
|
0,013
|
0,715
|
|
11,5
|
0,949
|
164,286
|
0
|
1,043
|
115
|
0,250
|
1,017
|
46
|
0,285
|
1,024
|
34,848
|
0,164
|
1,010
|
24,211
|
0,013
|
0,712
|
|
12
|
0,950
|
171,429
|
0
|
1,025
|
120
|
0,246
|
1,019
|
48
|
0,285
|
1,000
|
36,364
|
0,160
|
0,984
|
25,263
|
0,012
|
0,704
|
|
12,5
|
0,950
|
178,571
|
0
|
1,010
|
125
|
0,242
|
1,018
|
50
|
0,285
|
0,980
|
37,879
|
0,157
|
0,965
|
26,316
|
0,012
|
0,696
|
|
13
|
0,950
|
185,714
|
0
|
0,993
|
130
|
0,238
|
1,014
|
52
|
0,284
|
0,964
|
39,394
|
0,154
|
0,955
|
27,368
|
0,012
|
0,688
|
|
13,5
|
0,950
|
192,857
|
0
|
0,982
|
135
|
0,236
|
1,010
|
54
|
0,283
|
0,958
|
40,909
|
0,153
|
0,954
|
28,421
|
0,012
|
0,684
|
|
14
|
0,952
|
200,000
|
0
|
0,974
|
140
|
0,234
|
1,008
|
56
|
0,282
|
0,961
|
42,424
|
0,154
|
0,965
|
29,474
|
0,012
|
0,682
|
|
14,5
|
0,954
|
207,143
|
0
|
0,970
|
145
|
0,233
|
1,005
|
58
|
0,281
|
0,971
|
43,939
|
0,155
|
0,981
|
30,526
|
0,012
|
0,682
|
|
15
|
0,956
|
214,286
|
0
|
0,976
|
150
|
0,234
|
1,002
|
60
|
0,281
|
0,987
|
45,455
|
0,158
|
1,001
|
31,579
|
0,013
|
0,685
|
|
15,5
|
0,959
|
221,429
|
0
|
0,984
|
155
|
0,236
|
1,001
|
62
|
0,280
|
1,003
|
46,970
|
0,160
|
1,019
|
32,632
|
0,013
|
0,690
|
|
16
|
0,961
|
228,571
|
0
|
0,993
|
160
|
0,238
|
1,000
|
64
|
0,280
|
1,018
|
48,485
|
0,163
|
1,031
|
33,684
|
0,013
|
0,694
|
|
16,5
|
0,964
|
235,714
|
0
|
165
|
0,240
|
1,001
|
66
|
0,280
|
1,027
|
50,000
|
0,164
|
1,036
|
34,737
|
0,013
|
0,698
|
|
17
|
0,965
|
242,857
|
0
|
1,008
|
170
|
0,242
|
0,999
|
68
|
0,280
|
1,030
|
51,515
|
0,165
|
1,032
|
35,789
|
0,013
|
0,699
|
|
17,5
|
0,966
|
250,000
|
0
|
1,012
|
175
|
0,243
|
0,997
|
70
|
0,279
|
1,027
|
53,030
|
0,164
|
1,023
|
36,842
|
0,013
|
0,699
|
|
18
|
0,966
|
257,143
|
0
|
1,014
|
180
|
0,243
|
0,997
|
72
|
0,279
|
1,018
|
54,545
|
0,163
|
1,008
|
37,895
|
0,013
|
0,698
|
|
18,5
|
0,966
|
264,286
|
0
|
1,012
|
185
|
0,243
|
0,995
|
74
|
0,279
|
1,007
|
56,061
|
0,161
|
0,993
|
38,947
|
0,012
|
0,695
|
|
19
|
0,967
|
271,429
|
0
|
1,009
|
190
|
0,242
|
0,993
|
76
|
0,278
|
1,007
|
57,576
|
0,161
|
0,981
|
40,000
|
0,012
|
0,694
|
|
19,5
|
0,967
|
278,571
|
0
|
1,005
|
195
|
0,241
|
0,992
|
78
|
0,278
|
0,985
|
59,091
|
0,158
|
0,973
|
41,053
|
0,012
|
0,689
|
|
20
|
0,967
|
285,714
|
0
|
1,001
|
200
|
0,240
|
0,992
|
80
|
0,278
|
0,979
|
60,606
|
0,157
|
0,972
|
42,105
|
0,012
|
0,687
|
|
20,5
|
0,968
|
292,857
|
0
|
0,996
|
205
|
0,239
|
0,994
|
82
|
0,278
|
0,976
|
62,121
|
0,156
|
0,974
|
43,158
|
0,012
|
0,686
|
|
21
|
0,968
|
300,000
|
0
|
0,993
|
210
|
0,238
|
0,997
|
84
|
0,279
|
0,975
|
63,636
|
0,156
|
0,981
|
44,211
|
0,012
|
0,686
|
|
21,5
|
0,969
|
307,143
|
0
|
0,992
|
215
|
0,238
|
1,000
|
86
|
0,280
|
0,988
|
65,152
|
0,158
|
0,997
|
45,263
|
0,012
|
0,689
|
|
22
|
0,971
|
314,286
|
0
|
0,991
|
220
|
0,238
|
1,000
|
88
|
0,280
|
0,997
|
66,667
|
0,160
|
1,012
|
46,316
|
0,013
|
0,690
|
|
22,5
|
0,973
|
321,429
|
0
|
0,992
|
225
|
0,238
|
1,004
|
90
|
0,281
|
1,008
|
68,182
|
0,161
|
1,022
|
47,368
|
0,013
|
0,693
|
|
23
|
0,974
|
328,571
|
0
|
0,994
|
230
|
0,239
|
1,006
|
92
|
0,282
|
1,015
|
69,697
|
0,162
|
1,025
|
48,421
|
0,013
|
0,695
|
|
23,5
|
0,975
|
335,714
|
0
|
0,997
|
235
|
0,239
|
1,007
|
94
|
0,282
|
1,017
|
71,212
|
0,163
|
1,023
|
49,474
|
0,013
|
0,697
|
|
24
|
0,975
|
342,857
|
0
|
1,000
|
240
|
0,240
|
1,008
|
96
|
0,282
|
1,017
|
72,727
|
0,163
|
1,015
|
50,526
|
0,013
|
0,698
|
|
24,5
|
0,975
|
350,000
|
0
|
1,002
|
245
|
0,240
|
1,006
|
98
|
0,282
|
1,014
|
74,242
|
0,162
|
1,005
|
51,579
|
0,013
|
0,697
|
|
25
|
0,975
|
357,143
|
0
|
1,003
|
250
|
0,241
|
1,004
|
100
|
0,281
|
1,008
|
75,758
|
0,161
|
0,991
|
52,632
|
0,012
|
0,696
|
|
25,5
|
0,975
|
364,286
|
0
|
1,004
|
255
|
0,241
|
1,002
|
102
|
0,281
|
1,001
|
77,273
|
0,160
|
0,986
|
53,684
|
0,012
|
0,694
|
|
26
|
0,975
|
371,429
|
0
|
1,004
|
260
|
0,241
|
1,000
|
104
|
0,280
|
0,987
|
78,788
|
0,158
|
0,984
|
54,737
|
0,012
|
0,691
|
Произведем суммирование переходных процессов. В результате
получаем график переходного процесса, как показано на рисунке 6.
Рисунок 6
. Смоделируем АСР с использованием программы 20-sim.
Для моделирования ПИД-закона регулирования воспользуемся
следующей схемой:
Рисунок 7
Зададим значения коэффициентов модели:
Рисунок 8
Начальные условия:
Рисунок 9
После того, как модель и необходимые параметры заданы, можно
провести эксперимент, т.е. осуществить решение сформулированной задачи.
аппроксимация кривая разгон программа
Рисунок 10
. Произведем сравнительный анализ полученной системы.
Найденный методом трапеций переходной процесс совпадает с
формой выходной характеристики, смоделированной при помощи программы 20-sim, расхождение в значениях
обусловлено погрешностью данного метода.
Проведем оценку качества регулирования, рассчитав по
полученным графикам основные критерии качества.
Степень затухания:
Перерегулирование:
Время регулирования (при Δ=2,5%): tp=92,15.
По результатам анализа можно сделать вывод, что полученная система
удовлетворяет всем требованиям задания.