Дискретная обработка сигналов

Дискретная обработка сигналов

Дискретная обработка сигналов

Введение

Цифровая обработка сигналов (ЦОС, DSP - англ. digitalsignalprocessing) - преобразование сигналов, представленных в цифровой форме.

Любой непрерывный (аналоговый) сигнал s(t) может быть подвергнут дискретизации по времени и квантованию по уровню (оцифровке), то есть представлен в цифровой форме. Если частота дискретизации сигнала Fd не меньше, чем удвоенная наивысшая частота в спектре сигнала Fmax (то есть ), то полученный дискретный сигнал s(k) эквивалентен сигналу s(t) (см. теорему Котельникова). При помощи математических алгоритмов s(k) преобразуется в некоторый другой сигнал s1(k) имеющий требуемые свойства. Процесс преобразования сигналов называется фильтрацией, а устройство, выполняющее фильтрацию, называется фильтр. Поскольку отсчёты сигналов поступают с постоянной скоростью Fd, фильтр должен успевать обрабатывать текущий отсчет до поступления следующего (чаще - до поступления следующих n отсчётов, где n - задержка фильтра), то есть обрабатывать сигнал в реальном времени. Для обработки сигналов (фильтрации) в реальном времени применяют специальные вычислительные устройства - цифровые сигнальные процессоры.

Всё это полностью применимо не только к непрерывным сигналам, но и к прерывистым, а также к сигналам, записанным на запоминающие устройства. В последнем случае скорость обработки непринципиальна, так как при медленной обработке данные не будут потеряны.

Различают методы обработки сигналов во временной (англ. timedomain) и в частотной (англ. frequencydomain) области. Эквивалентность частотно-временных преобразований однозначно определяется через преобразование Фурье.

Обработка сигналов во временной области широко используется в современной электронной осциллографии и в цифровых осциллографах. А для представления сигналов в частотной области используются цифровые анализаторы спектра. Для изучения математических аспектов обработки сигналов используются пакеты расширения (чаще всего под именем SignalProcessing) систем компьютерной математики MATLAB, Mathcad, Mathematica, Maple и др.

В данной курсовой работе мы использовали пакеты MATLAB 2006 (для разработки цифрового фильтра), Mathcad 14 (для математических вычислений)

В последние годы при обработке сигналов и изображений широко используется новый математический базис представления сигналов с помощью "коротких волночек" - вейвлетов. С его помощью могут обрабатываться нестационарные сигналы, сигналы с разрывами и иными особенностями и сигналы в виде пачек.

Линейная фильтрация - селекция сигнала в частотной области; синтез фильтров, согласованных с сигналами; частотное разделение каналов; цифровые преобразователи Гильберта и дифференциаторы; корректоры характеристик каналов.

Основные задачи ЦОС:

·        Спектральный анализ - обработка речевых, звуковых, сейсмических, гидроакустических сигналов; распознавание образов

·        Частотно-временной анализ - компрессия изображений, гидро- и радиолокация, разнообразные задачи обнаружения сигнала

·        Адаптивная фильтрация - обработка речи, изображений, распознавание образов, подавление шумов, адаптивные антенные решетки

·        Нелинейная обработка - вычисление корреляций, медианная фильтрация; синтез амплитудных, фазовых, частотных детекторов, обработка речи, векторное кодирование

·        Многоскоростная обработка - интерполяция (увеличение) и децимация (уменьшение) частоты дискретизации в многоскоростных системах телекоммуникации, аудиосистемах

·        Свертка - традиционные типы

·        Секционная свертка

Часть 1

Выполнить дискретизацию радиосигнала S(t) методом полосовой дискретизации

=94

B=17 (номер по журналу)

 

Дано: _с=N(группы) - частота сигнала , f_с=94 МГц;=16,2 МГц - полоса частот радиосигнала.

 

 

Рисунок 1.1 - Полосовой радиосигнал.

 

Решение

Определить диапазон целочисленных значений коэффициента k.

 

f_н= f_с- B/2= 94-16,2/2=85,9МГц (нижняя частота сигнала)

f_в= f_с+B/2= 94+16,2/2=102,1 МГц (верхняя частота сигнала)

выбираем исходя из условия:<f_н/(f_в-f_н)=85,9/(102,1-85,9)=5,3. Округляем до целого в меньшую сторону.=5

Определить диапазон возможных частот дискретизации .

Диапазон дискретизации выбираем из условия :

 

(2f_с +B)/(k+1)≤f_d≤(2f_с -B)/k

При k=1: (2*94+16,2)/18 ≤f_d≤(2*94-16,2)/17; 102,1≤f_d≤171,8

При k=2: (2*94+16,2)/19 ≤f_d≤(2*94-16,2)/18; 68,1≤f_d≤85,9

При k=3: (2*94+16,2)/20 ≤f_d≤(2*94-16,2)/19; 51,05≤f_d≤57,26

При k=4: (2*94+16,2)/21 ≤f_d≤(2*94-16,2)/20; 40,84≤f_d≤42,95

При k=5: (2*94+16,2)/22 ≤f_d≤(2*94-16,2)/21; 34,03≤f_d≤40,84

 

Построить спектральные диаграммы дискретизированного сигнала для полученных значений k и частот дискретизации. Обозначить на спектре положительные частоты дискретизации и пронумеровать соответствующие полосы дискретизации для всех k.

{Значение f_d для каждого k ,берём любое исходя из интервала}

См. рисунок 1.2

Полосовой сигнал это тот сигнал, центральная частота которого не равна нулю.

Важно чтобы не было наложения сигнала. Для точного восстановления сигнала по его дискретным отчетам требуется обеспечить отсутствие перекрытий сдвинутых копий спектра. При этом восстановление исходного сигнала происходит при помощи цифрового фильтра.

При некотором целом значении k зеркальная половина спектра должна быть расположена между k и k+1 сдвинутыми копиями спектра из условия.

Рисунок 1.2 - Спектральные диаграммы дискретизированного сигнала.

 

Часть 2

 

1)      Вычислить ДПФ сигнала на одном периоде сигнала с взятием 16 отсчетов.

)        Вычислить ДПФ сигнала на Тс=2*Т, Тс=2.5*Т, Тс=4*Т, Тс=4.5*Т, Тс=8*Т, Тс=8.5*Тс. Для последних двух вычислить ДПФ с использованием весового окна (Хэмминга)..

)        Вычислить ДПФ смеси гармонических сигналов с отношением их амплитуд A1/A2=40, после чего дополнить смесь нулевыми отсчетами и посмотреть как измениться частотный спектр сигнала.

Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, DiscreteFourierTransform) - это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Преобразования бывают одномерные, двумерные и даже трёхмерные.

Дано

 

№_группы=94; №_{по журналу}=17;- количество точек ДПФ и количество сигнала на 2 периодах.=16;_c= частота сигнала S(t)._c=№_группы+№_{по журналу}=94+17=111 Гц

S(t)=cos(2πf_ct);

.1 Вычисление ДПФ сигнала на одном периоде:

clear all=111;=1/f;=T/16;=1/Td;=T/Td;=(N-1)*Td;=0:Td:Ts;=cos(2*pi*f*t);(t,x)

Рисунок 2.1 - Непрерывный сигнал

.2 Построение дискретных отчетов (8) непрерывного сигнала (один период):

clear all=111;=1/f;=T/16;=1/Td;=T/Td;=(N-1)*Td;=0:Td:Ts;=cos(2*pi*f*t);(t,x)

Рисунок 2.2 - Дискретные отсчеты нашего сигнала

.3 ДПФ сигнала на одном периоде:

clear all=111;=1/f;=T/16;=1/Td;=T/Td;=(N-1)*Td;=0:Td:Ts;=cos(2*pi*f*t);=fft(x)/N;=(0:N-1)/N*fd;=fftshift(y);(f,abs(y))

(Tc):

Рисунок 2.3 - Спектр сигнала при неизменном периоде сигнала

.4 Вычисление ДПФ при Тс=2*Т, Тс=2.5*Т, Тс=4*Т, Тс=4.5*Т, Тс=8*Т, Тс=8.5*Тс

(2Tc):

Рисунок 2.4 -Спектр сигнала при удвоенном периоде сигнала

(2.5Tc):

Рисунок 2.5 - Спектр сигнала при периоде сигнала, умноженном на 2.5

(4Tc):

Рисунок 2.6 - Спектр сигнала при периоде сигнала, умноженном на 4

(4.5Tc):

Рисунок 2.7 - Спектр сигнала при периоде сигнала, умноженном на 4.5

(8Tc):

Рисунок 2.8 - Спектр сигнала при периоде сигнала, умноженном на 8

(8.5Tc):

Рисунок 2.9 - Спектр сигнала при периоде сигнала, умноженном на 8.5

Вывод: при изменении длительности сигнала в четное число раз видно, что растекание спектра не наблюдалось. Однако, если мы увеличим длительность в нечетное число раз спектр сигнала начнет растекаться как это видно на спектральных диаграммах. От величины длительности сигнала напрямую зависит количество отсчетов, которые мы выбираем для дальнейшего восстановления сигнала.

.5 ДПФ (Ts=8.5*T) сигнала с взвешивающим окном (Хэмминга):

clear all =111=8.5/f; =T/16;=1/Td;=T/Td;=(0:N-1)*T=(0:N-1)/N*fd;=cos(2*pi*f*t);=hamming(N);=w';=times(l,x);=fft(d)/N;(t,abs(d))(f,abs(y)).

Рисунок 2.10 - ДПФ сигнала с взвешивающим окном, с умножением на 8.5

.6 Вычисление ДПФ смеси c 1024 отсчетами:

clear all=111=f+30=128=N*f=1/f =1/fd=(0:N-1)*Td=1024=(0:M-1)/M*fd;=8*cos(2*pi*f*t)+0.1*cos(2*pi*f2*t)

Рисунок 2.11 - Сигнал с взятием 128 отсчетов

y=fft(x)/N(f1,abs(y))

Рисунок 2.12 - Спектр сигнала, состоящего из 128 дискретных отсчетов

y1=wextend(1,'zpd',x,896,'r');=fft(y1)/1024(f1,abs(y2))

Рисунок 2.13 - Спектр сигнала с добавлением 896ти нулевых отсчетов

w=hamming(M)=w'=l.*y1=fft(q)/M(f1,abs(d))

Рисунок 2.14 - Спектр сигнала, дополненный нулевыми отсчетами с использованием окна Хэмминга

Видно, что применение весового окна привела к прореживанию спектра сигнала и более четкого выделения наших частот

Часть 3

) Спроектировать ФНЧ методом весового окна и добиться ослабления в 65 Дб

) Спроектировать ФНЧ при помощи метода частотной выборки и добиться требуемого ослабление в 65 Дб

) Проверить фильтр, подав на его вход смесь гармонических сигналов.

 

Дано

А=65 Дб, Fd=16000Гц, Fc=4800 Гц, dF=3200 Гц

.1 Проектирование ФНЧ методом весовых окон: (Требуемое ослабление 65дБ)

Рисунок 3.1 - Импульсная, амплитудно-частотная и фазовая характеристики ФНЧ (методом весовых окон)

fd=16000; % частота дискретизации=4800; % частота среза Гц=3200; % полоса пропускания=2*pi*fc/fd;% норм. Частоты среза=2*fp*pi/fd; %норм. переходная полоса=round((65-7.95)/(2.285*wper)); % порядок фильтра для окна Хэмминга=2*fc/fd;=2*(fc+fp)/fd;

h=fir1(M,Wn,'low',window);

freqz(h);

.2 Проектирование ФНЧ методом частотной выборки

Рисунок 3.2 - Импульсная, амплитудно-частотная и фазовая характеристики ФНЧ (методом частотной выборки)

M=23 =0:fd/(2*M):fd/2;=2*f./fd;=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0];=fir2(M,f1,b);(h1);

Добились требуемого ослабления на частоте fpod=8000Гц.

Чтобы добиться ослабления на частоте подавления (8000 Гц) при использовании метода частотной выборки нам понадобился более высокий порядок фильтра. (М=23)

.3 Проверка фильтра и подача на его вход смеси сигналов

Подадим на вход фильтра, например: sin(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t)+0.1*randn(size(t)), где f1=500 Гц, f2=8000 Гц.

Используем наш ФНЧ, чтобы подавить частоту 8000 Гц.

Используя команду sptool и и пропускаем смесь через наш ФНЧ, спроектированный методом весовых окон:

Рисунок 3.3 - Частотный спектр отфильтрованного сигнала (ФНЧ с весовым окном)

Добились подавления нижней частоты, следовательно, спроектированный нами ФНЧ методом весового окна Хэмминга правильный.

Проверим фильтр, спроектированный методом частотной выборки.

Рисунок 3.4 - Частотный спектр отфильтрованного сигнала (ФНЧ методом частотной выборки)

Фильтр также удовлетворяет нашим требованиям.

Вывод: как видно из работы , чтобы добиться ослабления на частоте подавления (500 Гц) при использовании метода частотной выборки нам понадобился более высокий порядок фильтра. (М=23) в отличии от метода весовых окон, который в этом случае является более практичным.

Часть 4

) Провести операцию интерполяции смеси гармонических сигналов и шума (увеличить частоту дискретизации)

) Спроектировать ФНЧ, для последующего его использования при децимации

) Провести операцию децимации (уменьшение частоты дискретизации)

Децима́ция (от лат. decimatio, от decem - «десять») - уменьшение частоты дискретизации дискретного во времени сигнала путем удаления его отсчетов.

При децимации из исходной последовательности отсчетов

, a1, a2, …

 

берется каждый N-й отсчет (N - целое число):

, aN, a2N, … ; N > 1

 

остальные отсчеты отбрасываются. Преобразование спектра при децимации существенно зависит от спектра исходного сигнала:

Если исходный сигнал не содержит частот, превышающих частоту Найквиста децимированного сигнала, то форма спектра полученного (децимированного) сигнала совпадает с низкочастотной частью спектра исходного сигнала. Частота дискретизации, соответствующая новой последовательности отсчетов, в N раз ниже, чем частота дискретизации исходного сигнала, и спектр полученного сигнала масштабирован по оси абсцисс относительно спектра исходного сигнала.

Если исходный сигнал содержит частоты, превышающие частоту Найквиста децимированного сигнала, то при децимации будет иметь место алиасинг (наложение спектров).

Таким образом, для сохранения спектра необходимо до децимации удалить из исходного сигнала частоты, превышающие частоту Найквиста децимированного сигнала. Эта операция производится цифровыми фильтрами.

Интерполяция это процесс обратный децимации (увеличение частоты дискретизации)

 

Дано

№ по списку в журнале 17.

Fd=8400 Гц, f1=2000 Гц, f2=3800, l=4, m=5

F₁, F₂- несущие частоты сигнла,

l - коэффициентинтероляции,

m- коэффициент децимации,

F_d - частота дискритизации.

Рисунок 4.1 - Структурная схема проектируемого фильтра.

.1 Зададим сигнал в виде смеси гаромнических и шума:

clear all=8400=2000=3800=1=1/Fs=0:td:t1=sin(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t)+0.1*randn(size(t))

Рисунок 4.2 - Временная диаграмма нашей смеси

Рисунок 4.3 - Частотный спектр смеси, при помощи программы sptool

4.2 Проводим интерполяцию: увеличиваем частоту дискретизации в 3 раза командой

=upfirdn(x,1,4,1)

Рисунок 4.4 - Частотный спектр, после интерполяции

.3 Проектируем фильтр и подготавливаем сигнал для децимации

Выбираем частоту среза исходя из соотношения: fd*3/16=>2662 Гц < fc. Выберем fc =2100 Гц

На основе этого проектируем фильтр с заданной частотой дискретизации и частотой среза при помощи команды fdatool

Рисунок 4.5 - Амплитудно-частотная характеристика, требуемого ФНЧ

Рисунок 4.6 - Импульсная характеристика нашего ФНЧ

.4 Децимируем сигнал и используем разработанный фильтр, для выделения первой гаромоники

Уменьшение частоты дискретизации в 8 раз), при помощи команды: w1=upfirdn(w,Num,1,5), где Num - коэффициенты испульсной характеристики нашего ФНЧ.

Рисунок 4.7 - Временная диаграмма сигнала и его спектр, после децимации и фильтрации

На спектре видно, что теперь наша частота f1=2000 Гц, передается уже на новой частоте дискретизации.

Вывод

Сравнивая спектры, полученные на последних рисунках, можно сделать вывод о некорректной работе функции upfirdn(x,h,l,m). Как мы можем видеть одна из зеркальных составляющих спектра последнего рисунка не была подавлена. Мы же смогли устранить эффект Гиббса с помощью промежуточного фильтра. В итоге, хоть и часть информации была утеряна, но искажения проявились в меньшей степени (см. временные диаграммы).

Заключение

спектральная диаграмма радиосигнал дискретизация

Все понятия и методы, использованные в данной курсовой работе, образуют взаимосвязанное единство по анализу и синтезу любых ЦУ.

В данной работе был произведён ряд вычислений, наиболее полно отражающий содержание курса. В частности научились дискретизировать различные сигналы и получали их спектры (ДПФ). Также научились по спектру дискретного сигнала получать сигнал во временной области (ОДПФ). Научились проектировать цифровые фильтры в среде МatLAB с использованием пакетов sptool и fdatool. Выполнили преобразование частоты дискретизации.

В данной работе я выполнил анализ большого объема информации по ЦОС, радиоэлектронике. В процессе работы, были использованы следующие математические пакеты: Mathcad 14, MatLab2006, AdvancedGrapher.Все они мне помогли сделать работу точнее, быстрее и нагляднее.

Все расчеты имеют практический характер в реально жизни. Примером может стать цифровое телевидение, которое в момент написания курсовой работы бурно вводится в России (DVB-T). Все эти преобразования используются там, но конечно сигналы и спектры там намного сложнее.

Список использованной литературы

спектральная диаграмма радиосигнал дискретизация

1.       Конспект лекций по МоЦОС: СибГУТИ.

.        ЦОС. Часть 1. Методические указания к лабораторным работам/Рязань. Гос РТ университет./Сост: В.В Витязев,2009, 36с.

.        Радиотехника: Энциклопедия / Под ред. Ю.Л. Мазова, Е.А. Мачусского, В.И. Правды.- 2-е изд., стер.- М.: Издательский дом «Додэка-XXI», 2009.-944 с.

.        Зеленцов Б.П. Математика в формулах и таблицах - Новосибирск: СибГУТИ, 2005. - 117 с.

.        Макаров Е.Г. Mathcad 14: учебный курс.-Спб.: Питер, 2009.-384 с.: ил.