Рост и развитие сорных растений в условиях техногенного загрязнения почвы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский томский политехнический университет Институт ИДО

Кафедра Высшей математики

Направление Экономика

Математический анализ

Функции нескольких переменных

Томск, 2012

Задача 1. Найдите частные производные первого порядка

  ; 1.2№

; 1.4 .

Решение

;

Принимая у за постоянную при нахождении  и принимая  за постоянную при нахождении , находим:

;

Принимая у за постоянную при нахождении  и принимая х за постоянную при нахождении , находим:

;

Принимая у за постоянную при нахождении  и принимая х за постоянную при нахождении , находим:

Принимая у за постоянную при нахождении  и принимая х за постоянную при нахождении , находим:

Задача 2. Найдите и постройте область определения функции

Решение

Выражение под корнем не может быть меньше нуля, то есть , откуда . Этому неравенству соответствует область на координатной плоскости, лежащая выше прямой , включая ее саму.

Выражение под знаком логарифма должно быть больше нуля, то есть , откуда . Этому неравенству соответствует область на координатной плоскости, лежащая выше параболы , не включая ее саму.

Область определения функции определяется пересечением указанных областей. Изобразим ее:

Задача 3. Найдите производную  от функции, заданной неявно.

Решение

Функция задана в виде . Частные производные функции:

По формуле  находим:

Задача 4. Найдите полный дифференциал dz функции

Решение

Принимая у за постоянную при нахождении  и принимая  за постоянную при нахождении , находим частные производные функции:

Находим полный дифференциал функции:

.

Задача 5. Докажите, что функция  удовлетворяет уравнению

Решение

Принимая у за постоянную при нахождении  и принимая  за постоянную при нахождении , находим частные производные функции:

Подставляем их в заданное уравнение:

.

Это соответствует заданному уравнению, значит функция удовлетворяет уравнению.

Задача 6. Исследуйте функцию  на экстремум

Решение

Находим частные производные функции:

Необходимое условие экстремума:  

- критическая точка

Частные производные второго порядка:

В точке М

В точке  нет экстремума, т.к. .

Задача 7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  в замкнутой области, ограниченной линиями

Решение

Частные производные функции:

Необходимое условие экстремума:

М(0,5; -3) - критическая точка, не принадлежит заданной области.

Рассматриваем границы заданной области.

При  на отрезке  функция примет вид: .

При  на отрезке  функция примет вид: .

Тогда . Критическая точка . Значения функции на концах отрезка и к критической точке: .

При  на отрезке  функция примет вид: .

Тогда . Критическая точка  не принадлежит отрезку . Значения функции на концах отрезка: .

При  на отрезке  функция примет вид: .

Тогда . Критическая точка  не принадлежит отрезку . Значения функции на концах отрезка: .

Сравниваем все найденные значения и находим:

наибольшее значение функции:  в точках (0; 2) и (1; 2);

наименьшее значение функции:  в точке (0,5; 0). Задача 8. Найдите частные производные второго порядка от данных функций

 8.2

Решение

Находим частные производные первого порядка:

Находим частные производные второго порядка:

Находим частные производные первого порядка:

Находим частные производные второго порядка:

Задача 8. Даны комплексные числа

Найдите  . Ответы представьте в алгебраической форме.

Решение

Задача 9. Изобразите множество D точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию

Преобразуем выражение:

 означает вещественную часть комплексного числа z.

Значит, . Так как , то , или . Область, соответствующая этом условию, находится между прямыми  и .

производная функция дифференциал экстремум

Литература

1. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высш. шк., 1963. - 545 с.

. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1965. - 423 с.

. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Росвузиздат, 1962. - 422 с.

. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. - М.: Высш. шк., 1989. - 382 с.

. Бакланова Л. В. Высшая математика: программа и методические указания по выполнению контрольных работ №5 и №6 для студентов ЦДО по специальности 061100 и направлений 521600, 522000. - Томск: изд. ТПУ, 1998. - 24 с.

. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 2 т. - М.: Высш. шк., 1978.

. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление.- М.: Наука, 1975. - 570 с.

. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 т. - М.: Высш. шк., 1986.

. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. - М.: КомпьютерПресс, 1998.