Расчет балки на изгиб

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

.        МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РАСЧЕТЕ БАЛКИ НА ИЗГИБ

.        ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ К ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧЕ

.        ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР СРЕДСТВАМИ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ MICROSOFT EXCEL

.        ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР СРЕДСТВАМИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ MathCAD

.        ПОЛУЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ В СРЕДЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ DELPHI

ВЫВОДЫ

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ

ВВЕДЕНИЕ

Повсеместное внедрение компьютеров в инженерную практику предопределяет проведение разных расчётов, в частности, балок на изгиб с использованием компьютерных технологий. Это значительно уменьшает время, расходуемое на выполнение вычислений, помогает избежать вычислительных ошибок и может использоваться при повторных расчётах. Широкое применение программ обработки электронных таблиц во многом объясняется универсальными возможностями их применения, поскольку без вычислений в широком смысле этого слова, не обойтись в самых разных сферах нашей жизни. Благодаря наличию мощных математических и инженерных функций в Microsoft Excel, можно решать множество задач в области естественных и технических наук. Применение табличного процессора Microsoft Excel позволяет автоматизировать как расчёт определяемых характеристик, так и построение их эпюр. Этот программный пакет достаточно широко распространён в инженерной среде, благодаря большим вычислительным возможностям, наличию вспомогательных приёмов наряду с простотой использования. В литературе встречаются указания на применение электронных таблиц Microsoft Excel для решения задач маркшейдерии, гидрогеологии строительной механики.

Совокупность методов, служащих для определения внутренних сил и выбора по ним прочных размеров частей сооружений и машин, составляет сущность инженерной дисциплины «Сопротивление материалов». Ясно, что они являются одной из главных составляющих в образовании инженеров любой строительной или механической специальности. Изучение изгиба представляет собой большую и сложную задачу, в которой немалую роль занимает этап исследования изогнутой оси балки и определение прогибов в наиболее характерных точках. Напряжения, возникающей в разных сечениях балки, зависят от величины изгибающего момента (М) и перерезывающей силы (Q) в соответствующих сечениях. При исследовании балок нужно знать величины M и Q в любом сечении. Изменение этих величин по всей длине балки удобнее всего представить графически. Линию, параллельную оси балки, принимают за ось абсцисс (x) и строят два графика, ординаты которых изображают для каждого сечения балки соответствующие значения M и Q. Эти графики называют эпюрами изгибающих моментов и перерезывающих сил. Для построения эпюр используют различные методы: по определенным опорным реакциям, способ сложения действия сил, непосредственное интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки, метод начальных параметров.

Целью выполняемой работы является расчёт методом начальных параметров балки, длинной , с жестко заделанными концами, выполненную из одного материала, нагруженную равномерной нагрузкой q = 35 кН.

1.     
МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РАСЧЕТЕ БАЛКИ НА ИЗГИБ

В качестве исходного в методе начальных параметров применяется дифференциальное уравнение изгиба оси балки 4^го порядка:

, где

EI - жесткость балки, v - прогиб, q - нагрузка.

Это уравнение устанавливает зависимость между прогибом балки v и внешней нагрузкой q, так что оказывается возможным найти изогнутую ось балки непосредственно по виду внешней нагрузки, не прибегая к предварительному её статическому расчету и не составляя выражения изгибающего момента по участкам. Решение уравнения имеет вид:

, где

С₁, С₂, С₃, С₄ - произвольные постоянные интегрирования,

V_неодн (x) - частное решение неоднородного уравнения.

По сути метода начальных параметров произвольным постоянным интегрирования придан физический смысл, заключающийся в том, что погиб в начале координат есть постоянная С₄, уменьшенная в EI раз, т.е. ; угол наклона оси балки в начале координат есть постоянная C₃, уменьшенная в EI раз, т.е. ; изгибающий момент в начале координат есть постоянная C₂ с противоположным знаком ; перерезывающая сила пост. С₁ с противоположным знаком .

Введем обозначения:

Таким образом:  

Зная вид нагрузки и условия закрепления балки, приходим к уравнению, определяющему прогиб в любой точке оси балки.

Для определения изгибающего момента и перерезывающей силы используются известные соотношения сопротивления материалов:

,т.е.

Нужно дифференцировать выражения для прогиба по x.

2.      ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ К ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧЕ

Рис. 1. Схема балки

Так как нагрузка равномерно распределена по всей длине балки, то , а учитывая то, что балка закреплена жестко закреплена с обоих концов → прогиб и угол поворота равняется нулю ().

Примя во внимание условие задачи получим:

.(2.1)

Так как балка закреплена жестко то , следовательно:

Продифференцировав (2.1) получим:

Приравняем к нулю:

Получаем систему уравнений:

Выполним необходимые преобразования:

(2.2)

Подставив известные значения получим:

 ; →

Для получения зависимости изгибающего момента от координаты  нужно взять вторую производную от прогиба:

Формула изгибающего момента:

 (2.3)

Для получения зависимости перерезывающей силы от координаты  нужно взять третью производную от прогиба:

Формула перерезывающей силы

 (2.4)

Аналитические выражения зависимостей:

 (2.5)  (2.6)

3.      ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР СРЕДСТВАМИ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ MICROSOFT EXCEL

Для решения системы (2. 2) используем матричный способ решения системы линейных алгебраических уравнений. В Excel заносим в ячейки В2 и В3 исходные данные для расчета (рис 2.). В ячейках А6-В7, D6-D7 вычисляем коэффициенты и столбец свободных членов системы линейных алгебраических уравнений (2.2). Определяем обратную матрицу в диапазоне ячеек А10-В11. В ячейках D10-D11 вычисляем начальные значения M₀ и Q₀ как результат умножения обратной матрицы на столбец свободных членов.

Рис.2 Фрагмент таблицы Excel с исходными данными расчета в режиме отображения чисел

Рис.3 Фрагмент таблицы Excel с исходными данными расчета в режиме отображения формул

В ячейки F14-F26 заносятся значения координаты x, для которых будут вычисляться смещения, угол поворота, изгибающие моменты и перерезывающая сила. В ячейках G14-G26 вычисляется прогиб по формуле (2.5). В ячейках H14-H26 вычисляется угол поворота точек оси балки по формуле (2.6). В ячейках I14-I26 вычисляется изгибающий момент точек оси балки по формуле (2.3). В ячейках J14-J26 вычисляется перерезывающая сила точек оси балки по формуле (2.4).

Рис. 4 Фрагмент таблицы Excel с решением системы в режиме отображения чисел

Рис. 5(а). Фрагмент таблицы Excel с вычислениями прогиба в режиме отображения формул

Рис. 5(б) Фрагмент таблицы Excel для удобства проверки

Рис 6. Фрагмент таблицы Excel с вычислениями угла поворота в режиме отображения формул

Рис. 7. Фрагмент таблицы Excel с вычислениями изгибающего момента оси балки в режиме отображения формул

Рис. 8. Фрагмент таблицы Excel с вычислениями перерезывающей силы оси балки в режиме отображения формул

Для построения эпюр воспользуемся мастером диаграмм:

Аналитическое выражение, показывающее зависимость напряжения от x:

Рис.9 Эпюра прогиба оси балки

Аналитическое выражение, показывающее зависимость угла поворота от x:

Рис. 10. Эпюра угла поворота оси балки

Аналитическое выражение, показывающее зависимость изгибающего момента от x:

Рис. 11. Эпюра изгибающего момента оси балки

Аналитическое выражение, показывающее зависимость изгибающего момента от x:

Рис. 12. Эпюра перерезывающей силы оси балки

4.     
ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР СРЕДСТВАМИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ MathCAD

Рис.13. Фрагмент листа MathCAD с заданием исходных данных и решением системы методом Гаусса

Рис.14. Эпюра прогиба оси балки Рис. 15. Эпюра угла поворота оси балки

Рис. 17. Эпюра изгибающего момента оси балки Рис. 16. Эпюра перерезывающей силы оси балки

5.     
ПОЛУЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ В СРЕДЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ DELPHI

Применение метода начальных параметров позволило определить формулы для вычисления прогиба, угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы в любой точке балки. Для построения эпюр этих величин нужно знать их значения.

Вычисления по полученным формулам (2.3), (2.4), (2.5), (2.6) нужно выполнить на компьютере.

Задача свелась к просчету значений четырех функций при изменении аргумента на промежутке некоторым шагом. В программировании это реализуется организацией цикла табулирования.

Общий вид схемы алгоритма такой программы приводится на рис. 18, где использованы обозначения x_нач - первое значение аргумента, f(x) - вычисляемая функция, h - шаг изменения аргумента, x_кон - последнее значение аргумента. В решаемой задаче x_нач = 0, x_кон = l =3 м.

Рис. 18. Схема алгоритма решаемой задачи.

Рис.19 Программа для вычисления прогиба, угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы

var q,l,A11,A12,A21,A22,B1,B2,,det1,det2,M0,Q0,x,v,v1,k,M1:real;,v111,M11,Q1:string;

begin

q:=StrToFloat(Edit1.Text);:=StrToFloat(Edit2.Text);:=l*l/2;:=l*l*l/6;:=-l;:=-(l*l)/2;:=q*l*l*l*l/24;:=-(q*l*l*l)/6;:=A11*A22-A12*A21;:=B1*A22-B2*A12;:=A11*B2-A21*B1;:=det1/det;:=det2/det;:=0;

repeat

v:=(-M0*x*x/2)-(Q0*x*x*x/6)+q*x*x*x*x/24;:=(-M0*x)-(Q0*x*x/2)+(q*x*x*x)/6;:=M0+Q0*x-(q*x*x)/2;:=Q0-q*x;(v:10:2,v11);(v1:10:2,v111);(M1:10:2,M11);(k:10:2,Q1);.Lines.Add(v11);.Lines.Add(v111);.Lines.Add(M11);.Lines.Add(Q1);:=x+0.25;

until x>l

end;

end.

ВЫВОДЫ

Расчет балки на изгиб можно производить с использованием компьютера в вычислительной части расчёта. Применение табличного процессора Microsoft Excel, благодаря большому количеству встроенных функций, значительно ускоряет вычисления и позволяет не только производить расчёты на компьютере, но и получать электронный вариант эпюр.

Решение данной задачи средствами пакета математических расчётов MathCAD позволяет быстро реализовать вычисления и наглядно представить их результаты графически.

Программа на языке программирования Borland Delphi является реализацией цикла табулирования, типичной задачей курса информатики. Выполнение всех этих действий полностью подготовлено содержанием курса «Информатика», освоенного в I и II семестрах.

балка изгиб эпюра excel delphi

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ

1) Быкова О.Г. Информатика. Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 130504.- СПб, 2007.- 44с.