Гастрит и другие капризы желудка Вашей собаки
Задание №1
Вероятность поражения для каждого из трех
стрелков соответственно равны 0,7 ; 0,5; 0,6.Случайная величина X-
число поражений цели при условии , что каждый стрелок сделал по одному выстрелу
.
1. Построить
многоугольник распределения.
2. Найти
функцию распределения F(x)
и построить её график.
3. Вычислить
математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду.
Решение.
) Возможные значения случайной величины X: 0, 1,
2, 3. Условие задачи можно рассматривать как серию из n=3
независимых испытаний, вероятность события A={попадание в мишень} равна P(A1)=0,7;
P(A2)=0,5;
P(A3)=0,6;
. В данном случае для вычисления вероятностей возможных значений случайной
величины Х можно воспользоваться формулой Бернулли:
0.06
0.29
0.44
0.21
Ряд распределения данной случайной
величины Х имеет вид.
|
xi
|
0
|
1
|
2
|
3
|
|
pi
|
0.06
|
0.29
|
0.44
|
0.21
|
) Вычислим функцию распределения
данной случайной величины.
математический медиана дисперсия многоугольник
при x
(- ∞.0]
F(x)=0;
при x(0.1] F(x)=P(X=0)=0.06;
при x(1.2] F(x)= P(X=0)+ P(X=1)=0.35;
при x(2.3] F(x)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)=0.79;
при x(3. + ∞]
F(x)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)=1;
) Вычислим числовые характеристики
данной случайной величины. Математическое ожидание:
0·0.06+1·0.29+2·0.44+3·0.21=1.8
т.е. среднее число удачных испытаний,
равно = 1.8
Дисперсия:
0.7
Среднее квадратичное отклонение :
0.84
т.е. среднее квадратическое
отклонение числа неисправных приборов, равно 1.46.
Задание №2
Задана плотность распределения f(x)
непрерывной СВ x:
f(x)= C(x+x²) при x [0;2]
0 при x [0;2];
1.
Построить
график f(x).
2. Найти
интегральную функцию F(x)
и построить её график.
3. Вычислить
математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду,
медиану.
4. Найти
вероятность попадания СВ x в интервал (-1 ; 2).
Решение.
Неизвестный параметр А плотности распределения
вероятностей найдём из соотношения:
= 1
Поскольку плотность f(x) при x £ 0 равна
нулю, то:
,
т. к. 
;
C = 3/14;
Следовательно, плотность
распределения вероятностей имеет вид:
f(x)= 3/14(x+x²) при x [0;2]
0 при x [0;2];
График функции f(x):
Вычислим функцию распределения F(x).
При х (∞, 0] 
При х [0, 2] 
При х [2, ∞) 
;
, при х (∞, 0];
F(x)= 
,при х [0,
2];
1, при х [2, ∞);
График функции F(x):
А) Математическое ожидание:
Б) Мода СВ x равна 0.
В) Медиану найдём из уравнения: F(x) = 0,5;
/14(x+x²) = 0,5;
x = 1.1;
Г) Дисперсия СВ x:
;
Д) Среднее квадратическое отклонение СВ x:
sx = 
»
1,06;
Вероятность того, что -1 £ x £ 2, вычислим
по формуле:
p{-1 < x < 2} = 
Задание №3
Предполагая, что время, необходимое
для ремонта поступившего вагона, распределено по экспоненциальному закону с
параметром l = 0,25 [час-1],
найти вероятность того, что для ремонта одного вагона понадобится не более
шести часов.
Решение.
В данном случае мы имеем дело с
непрерывной СВ (x) - временем
ремонта вагона. Наша задача состоит в том, чтобы найти вероятность её попадания
в интервал (0;6).
Как известно, вероятность того, что
непрерывная случайная величина x,
которая распределена по показательному закону, попадёт в интервал (a; b),
вычисляется по формуле:
P(a < x < b) = e-la - e-lb;
Произведём необходимые вычисления (l = 0,25; a = 0; b = 6):
P(0 < x <6) = e-0,25×0 - e-0,25×6 = 1 - 0,223
» 0,777;
Т. е. вероятность того, что вагон отремонтируют
менее, чем за шесть часов равна 0,777.
Ответ: 0,777.
Задание № 4
При определении расстояния радиолокатором
случайные ошибки распределяются по нормальному закону. Какова вероятность того,
что ошибка при определении расстояния не превысит 20 м, если известно, что
систематических ошибок радиолокатор не допускает, а дисперсия случайных ошибок
равна 1370 м2 ?
Решение.
Воспользуемся формулой:
Так как a = 20(м), b = -20 (м), Mx = 0 (м), s = 37 (м),
то имеем:
Ответ: 0.4108.