Расчёт настроек регулятора по заданным динамическим характеристикам объекта

Министерство связи и транспорта Украины

Одесская национальная академия связи им А.С. Попова

Кафедра информатизации и управления

Курсовая работа

по дисциплине Теория автоматического регулирования

на тему:

«Расчет настроек регулятора по заданным динамическим характеристикам объекта »

Одесса 2010

1. Цель работы

Целью курсовой работы есть формирование знаний по теории линейных одноконтурных автоматических систем регулирования (АСР). Закрепления умений применять на практике инженерные способы выбора настроек регуляторов и анализ переходных процессов регулирования с использованием цифровой и аналоговой вычислительной техники.

1.2 Задание к курсовой работе

Для системы, состоящей из объекта регулирования 2-го порядка с запаздыванием и ПИ-регулятора, выбрать оптимальные настройки регулятора, то есть настройки, с которыми регулятор будет обеспечивать переходный процесс нужного качества для заданной системы.

1.3 Входные данные

2. Вычисление характеристик автоматической системы регулирования на ЭЦВМ

Способ, примененный в данной курсовой работе для вычисления настроек регулятора, основан на свойствах комплексно - частотной характеристики. Поэтому вычисления проводятся в частотной области, то есть путем перехода от передаточных до частотных функций. Конечный результат - , поэтому для составления одного из его показателей качества - первого динамического отклонения  с конечным отклонением на неуправляемом объекте  при одинаковом возмущении N необходимо владеть передаточной функцией объекта, которая может быть подана в виде кривой разгона.

2.1 Определение передаточной функции объекта управления. Построение кривой разгона

Результаты математического описания действующего объекта управления наиболее часто подаются в виде дифференциального уравнения. Для теплоэнергетики же характерны объекты, которые имеют значительную инерционность и запаздывание, поэтому их дифференциальные уравнения могут иметь вид:

, (1)

где - независимая переменная времени;

 - выходная координата (регулированная величина);

 - входная координата (возмущение);

 - транспортное запаздывание (время);

, , ,  - коэффициенты уравнения.

При рационализации выражения (1), путем деления на  получим:

,

где  - постоянная времени, характеризующая колебательные свойства объекта;

 - постоянная времени, характеризующая демпфирующие свойства объекта;

 - коэффициент передачи объекта по каналу возмущения.

Решением дифференциального уравнения (1) удобно использовать с применением способа операторного преобразования Лапласа. Относительно этого передаточная функция объекта по каналу возмущения имеет вид:

, (2)

где S - оператор преобразования Лапласа;

 - передаточная функция звена чистого запаздывания.

Передаточная функция объекта по каналу регулирования может и по инертным свойствам, и по коэффициентам передачи отличаться от передаточной функция объекта по каналу возмущения. Однако чаще всего отличие заключается только в различных коэффициентах передачи , тогда

.

Преобразование по Лапласу выходной функции объекта можно получить, если “пропустить” через объект  входное воздействие :

Запишем выходную функцию в виде дроби:

 (3)

Для перехода от выходной функции к ее оригиналу  можно применить метод Хевисайда. Метод заключается в формальном получении оригинала путем нахождения корней знаменателя дроби (3) как характеристического уравнения. Корни подставляют в формулу Хевисайда:

, (4)

где ,  - числитель дроби (3);

,  - значение преобразованного характеристического уравнения при нулевом корни и первой производной этого же уравнения при i - том корни;

 - корни преобразованного характеристического уравнения;

n - общее число корней.

,

 (5)

Подставим числовые значения и найдем  и :

Так как корни характеристического уравнения  и  вещественные и отрицательные, то решение уравнения (1) имеет вид:

 (6)

Найдем , для этого от выражения  надо взять производную первого порядка:

 (7)

Подставим в формулу (6), с учетом формулы (7), числовые значения:

         Строим кривую разгона на выходе объекта:

Рисунок 1 Кривая разгона на выходе объекта

Запаздывание учитывается путем смещения всего графика на время чистого (транспортного) запаздывания, как сделано на графике кривой разгона.

Перевод задачи в частотную область осуществляется путём формальной замены полной комплексной независимой переменной S её чисто комплексной частью :

С учётом того, что, а , запишем:

График КЧХ можно строить на плоскости в полярных или в прямоугольных координатах. В первом случае запись выражения КЧХ представляется в виде модуля и аргумента комплексного числа:

,

где  - модуль,

 - аргумент.

Во втором - в виде действительной и мнимой его частей:

Re {} = Re_об (w)

Jm {} = Jm_об (w),

где Re_об(w) - действительная часть;

Jm_об(w) - мнимая часть.

Представим действительную и мнимую части КЧХ объекта по каналу регулирования с запаздыванием с помощью формул:

Re_об (w) =

Jm_об (w) = (8)

Подставим числовые значения в формулы (8):

Re_об (w) =

Jm_об (w) =

И без запаздывания:

Re_об (w) =

Jm_об (w) = (9)

Подставим числовые значения в формулы (9):

Re_об (w) =

Jm_об (w) =

Модуль и аргумент КЧХ найдем по формулам:

Построим графики КЧХ для объекта управления с запаздыванием и без него:

Рисунок 2 графики КЧХ для объекта управления с запаздыванием и без него

 - график КЧХ для объекта управления с запаздыванием;

 - график КЧХ для объекта управления без запаздывания.

2.3 Построение границы устойчивости АСР

При анализе устойчивости одноконтурной АСР, включающей объект и ПИ-регулятор, в первую очередь необходимо выяснить, в каких пределах можно варьировать параметры его настроек и  для каждой с возможных частот получить расходящийся переходный процесс регулирования.

Иначе говоря, в плоскости параметров и  (более удобно -  и ) определяется область, в которой все комбинации настроек дают устойчивые затухающие переходные процессы.

Передаточная функция ПИ-регулятора:

Эквивалентная передаточная функция замкнутой АСР по каналу регулирования:

 (10)

Характеристическое уравнение замкнутой АСР:

 (11)

Если оценивать устойчивость замкнутой АСР с применением критерия Найквеста-Михайлова, то задачу снова необходимо перевести в частотную область. Тогда получим:

, (12)

где - действительная часть КЧХ ПИ-регулятора;

 - мнимая часть КЧХ ПИ-регулятора.

Отсюда можно получить выражения для определения настроек, соответствующих границе устойчивости АСР:

 (13)

Каждому значению круговой частоты w соответствует пара значений параметров настройки  и . Для данной АСР граница области устойчивости должна располагаться в верхней полуплоскости параметров. При увеличении запаздывания площадь области устойчивости должна резко сокращаться.

Критерий Найквиста-Михайлова дает возможность определить устойчивость замкнутой системы по виду АФХ системы в разомкнутом состоянии. Различают формулировку критерия для тех случаев, когда система в разомкнутом состоянии устойчива и неустойчива.

Для первого случая критерий устойчивости формулируется таким образом: система автоматического управления, устойчива в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку на комплексной плоскости с координатами (-1,j0).

Построим границу устойчивости АСР:

Рисунок 2 граница устойчивости АСР

2.4 Вычисление оптимальных настроек регулятора

Определению подлежат настройки, которые наилучше обеспечивают заданную степень колебательности для переходного процесса или, что более наглядно, степень затухания переходного процесса:

,

где  и  - 1-е и 3-е динамическое отклонение регулируемой величины от установившегося значения. Эти отклонения определяются непосредственно по графику переходного процесса, однако степень затухания может быть определена и другим путём - через степень колебательности:

Степень колебательности, в свою очередь, связана с комплексной плоскостью корней характеристического уравнения АСР; буквально означает модуль отношения действительной части комплексного корня к мнимой. Из теории автоматического управления известно, что если сопряжённые корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости корней, то переходный процесс имеет затухающую колебательную составляющую. Характеристическое уравнение 3-го порядка может иметь, кроме этого, вещественный корень, который также должен находиться в левой полуплоскости. Он обуславливает наличие монотонной составляющей в результирующем переходном процессе. Уравнения более высоких порядков может иметь несколько пар корней, однако определяющее значение для результирующем переходном процессе имеет та пара корней, которая характеризуется наименьшим (по модулю) отношением действительной координаты к мнимой:

Все остальные корни должны находится внутри воображаемого сектора, образованного началом координат, ближайшей к мнимой оси, парой корней. Из изложенного следует, что настройки регулятора на требуемое значение коэффициента затухания переходного процесса можно найти, назначив для характеристического уравнения АСР граничную пару корней:

 (14)

Это требование равносильно построению расширенной КЧХ, которая должна быть получена из формулы (2) путём замены S на  (-b потому, что корень должен лежать в левой полуплоскости). С учётом (19) -b можно заменить на . Для унификации вида переходного процесса значения  условно нормированы, обычно применяются значения 0,22; 0,30; 0,37; 0,48.

Таким образом, для заданного объекта расширенная по  КЧХ:

 (15)

После выполнения преобразований получим для построения расширенной АФХ:

·        по модулю и аргументу:

 (16)

 (17)

Легко заметить, что при m=0 выражения (16) и (17) сводится к выражениям обычной АФХ данного объекта.

Формулы для определения пар настроек во всём диапазоне частот, обеспечивают заданное значение степени колебательности, могут быть получены из характеристического уравнения замкнутой АСР (12) . Однако вместо составляющих ,,, необходимо подставить в нее соответственно

,,,

Эти настройки будут найдены из условия пересечения графиком расширенной КЧХ замкнутой системы критической (в смысле критерия Найквиста-Михайлова) точки с координатами (-1, j 0), т.е. из условия:

 (18)

 (19)

Найдем оптимальные настройки ПИ - регулятора с графика:

Рисунок 3. Граница устойчивости АСР при m=0 и m=0.48 (верхняя и нижняя соответственно)

Оптимальной настройкой для данной АСР будут настройки: .

Представим схему одноконтурной АСР, включающей инерционный объект 2-го порядка с запаздыванием и ПИ-регулятор с найденными настройками:

Рисунок 4 схема одноконтурной АСР

Переходный процесс этой схемы будет иметь вид:

2.5 Построение КЧХ разомкнутой АСР. Определение запаса устойчивости по модулю и по фазе

Как и ранее, КЧХ вычисляется и строится по действительной и мнимой составляющим:

, (20)

или с учётом КЧХ ПИ - регулятора:

 (21)

Отсюда получим:

 (22)

Построим график КЧХ и, ориентируясь на критерий Найквиста - Михайлова, определим запасы устойчивости АСР по модулю -С и по фазе - g.

Рисунок 6. КЧХ разомкнутой системы

Из полученной КЧХ разомкнутой АСР видно, что запас по модулю С=0.45, а по фазе g=

2.6 Построение вещественной части КЧХ замкнутой АСР по каналу возмущения регулирования

В инженерной практике для исследования АСР часто применяется метод В.В. Солодовникова, который заключается в приближённом нахождении графика ПП регулирования по графику. Аналитическая сложность определения ПП связана с необходимостью нахождения интеграла вида:

Рис.8 График вещественной части КЧХ замкнутой системы автоматического регулирования

Располагая графиком , можно заменить его ломаной линией, а затем каждый наклонный участок ломаной достроить до прямоугольной трапеции (треугольника).

Переходя от передаточной функции замкнутой АСР к частотной характеристике, получим:

,

разделив вещественные и мнимые части, получим:

Рис.9 График вещественной части КЧХ замкнутой системы автоматического регулирования

3. Выбор настроек ПИ-регулятора по методике Л.И. Кона

Рис. 10 Обработка кривой разгона

Найдя точку перегиба, приравняв вторую производную к нулю и решив это уравнение и найдя уравнение касательной точки перегиба, мы нашли Ta=60 c, t=13 c и t_s=t-t_тр= 13-10 = 3 c.

Найдём q и действительное время транспортного запаздывания t_0.

Далее из таблицы определим, что:

t₀=t-0.105*Ta=13-0.105*60=6.7 c

Действительное время емкостного запаздывания определяется по полному запаздыванию

t_e=t-t₀=13-6.7=6.3 c

Из таблицы 2 для найденных q и t_e, зная g=3.509 найдём Т - постоянная времени инерционного звена - составной части модели объекта:

T=g*t_e=3.509*6.7 = 23.5

Таким образом, объект управления заменяется (идентифицируется) моделью с передаточной функцией:

Найдя по таблицам Кона для заданных q=2, 0.22 и m=0.48 значения i_m= , λ= , c= , k= , b= . Найдём из показателей с и k значения Т_и и k_р

4. Выбор настроек ПИ-регулятора по методике А.П. Копеловича

пи регулятор капелович разгон

Методика А.П. Капеловича даёт возможность удовлетворять требования к качеству П регулирования путём предварительного выбора типа регулятора. В практике часто бывают ограничены максимальные динамические отклонения регулируемых величин от заданного значения  и время регулирования .А.П. Капелович предложил номограммы для определения необходимого типа регулятора по динамическому коэффициенту регулирования:

В зависимости от  объекта (кривая разгона обрабатывается аналогично тому, как это сделано на рис. 10: t- полное запаздывание) для окончательного выбора типа регулятора проверяться удовлетворяет ли он требованиям по допустимому времени регулирования.

В предлагаемой методике выбрано три типовых ПП регулирования: апреодический (неколебательный), процесс с 20-и процентным перерегулированием и процесс с минимальной квадратичной ошибкой .В нашем случае выберем настройки регулятора для процесса с минимальной квадратичной ошибкой. Зная из предыдущих результатов, найдём по номограммам, что:

Из полученных результатов найдём, что:

Ти=t*=

Кр==

Вывод