Колибактериоз (эшерихиоз) собак

Колибактериоз (эшерихиоз) собак

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной информатики

Курсовая работа по вычислительной математике

Казань-2012

Решение СЛАУ итерационными методами

Задание: решить систему линейных уравнений методам Якоби вручную, на Бейсике с точностью 0,00001

3 х ₁ +0,7 х ₂ +0,2 х ₃ +0,2 х ₄ =4

,06 х ₁ +5 х ₂ +0,5 х ₃ +0,5 х ₄ =5

,3 х ₁ +0,3 х ₂ +3,5 х ₃ +0,4 х ₄ =-5

,3 х ₁ +0,3 х ₂ +0,4 х ₃ +4 х ₄ =5

Ручной счет по методу Якоби:

х ₁ =(4 -0,7 х ₂ - 0,2 х ₃ - 0,2 х ₄ )/ 3

х ₂ =(5-0,06 х ₁ -0,5 х ₃ - 0,5 х ₄ )/5

х ₃ =(-5-1,3 х ₁ -0,3 х ₂ -0,4 х ₄ )/3,5

х ₄ =(5-0,3 х ₁ -0,3 х ₂ -0,4 х ₃ )/4

Первая итерация:

X₁⁽¹⁾ =(4 -0,7 *0 - 0,2*0 - 0,2*0)/ 3=1,333333333

X₂⁽¹⁾ =(5-0,06*0 -0,5 *0 - 0,5*0 )/5=1

X₃⁽¹⁾ =(-5-1,3 *0 -0,3*0-0,4*0)/3,5=-1,428571429

X₄⁽¹⁾ =(5-0,3*0 -0,3*0-0,4*0)/4=1,25

Вторая итерация:

X₁⁽²⁾ =(4 -0,7 *1 - 0,2*(-1,428571) - 0,2*1,25)/ 3=1,1119

X₂⁽²⁾ =(5-0,06*1,3333 -0,5 *(-1,428571) - 0,5*1,25 )/5=1,001857

X₃⁽²⁾ = (-5-1,3 *1,3333 -0,3*1 -0,4*1,25)/3,5=-2,15238

X₄⁽²⁾ =(5-0,3*1,3333 -0,3*1 -0,4*(-1,428571))/4=1,217857

Третья итерация:

X₁⁽³⁾ =(4 -0,7 *1,001857 - 0,2*(-2,15238) - 0,2*1,217857)/ 3=1,161868

X₂⁽³⁾ =(5-0,06*1,1119 -0,5 *(-2,15238) - 0,5*1,217857 )/5=1,0801

X₃⁽³⁾ =(-5-1,3 *1,1119 -0,3*1,001857 -0,4*1,217857/3,5=-2,0666

X₄⁽³⁾ = (5-0,3*1,1119 -0,3*1,001857-0,4*(-2,15238))/4=1,3067

Четвертая итерация:

X₁⁽⁴⁾ =(4 -0,7 *1,0801 - 0,2*(-2,0666) - 0,2*1,3067)/ 3=1,13196

X₂⁽⁴⁾ =(5-0,06*1,161868 -0,5 *(-2,0666) - 0,5*1,3067 )/5=1,06204

X₃⁽⁴⁾ =(-5-1,3 *1,161868-0,3*1,0801 -0,4*1,3067)/3,5=--2,10204

X₄⁽⁴⁾ =(5-0,3*1,161868 -0,3*1,0801-0,4*(-2,0666))/4=1,28851

Пятая итерация:

X₁⁽⁵⁾ =(4 -0,7 *1,06204 - 0,2*(-2,10204) - 0,2*1,28851)/ 3=1,13975

X₂⁽⁵⁾ =(5-0,06*1,13196 -0,5 *(-2,10204) - 0,5*1,28851 )/5=1,0677

X₃⁽⁵⁾ =(-5-1,3 *1,13196-0,3*1,06204 -0,4*1,2885)/3,5=--2,0873

X₄⁽⁵⁾ =(5-0,3*1,13196 -0,3*1,06204-0,4*(-2,10204))/4=1,29565

Шестая итерация:

X₁⁽⁵⁾ =(4 -0,7 *1,0677 - 0,2*(-2,0873) - 0,2*1,29565)/ 3=1,1369

X₂⁽⁵⁾ =(5-0,06*1,13975 -0,5 *(-2,0873) - 0,5*1,29565 )/5=1,0654

X₃⁽⁵⁾ =(-5-1,3 *1,13975-0,3*1,0677 -0,4*1,29565)/3,5=--2,0915

X₄⁽⁵⁾ =(5-0,3*1,29565 -0,3*1,0677-0,4*(-2,0873))/4=1,29316

Седьмая итерация:

X₁⁽⁵⁾ =(4 -0,7 *1,0654 - 0,2*(-2,0915) - 0,2*1,29316)/ 3=1,13794

X₂⁽⁵⁾ =(5-0,06*1,1369 -0,5 *(-2,0915) - 0,5*1,29316 )/5=1,0661

X₃⁽⁵⁾ =(-5-1,3 *1,1369-0,3*1,0654 -0,4*1,29316)/3,5=--2,0899

X₄⁽⁵⁾ =(5-0,3*1,1369 -0,3*1,0654-0,4*(-2,0915))/4=1,29316

Проверка точности:

| X₁⁽⁵⁾ - X₁⁽⁴⁾|=0.0009 <0.001

|X₂⁽⁵⁾ - X₂⁽⁴⁾|=0.0007 <0.001

|X₃⁽⁵⁾ - X₃⁽⁴⁾|=0.0015 <0.001

|X₄⁽⁵⁾ - X₄⁽⁴⁾|=0.0008 <0.001

Точность достигнута.

Программа на Бейсике:

ClS

a=0

b=0=0=0

X1=(4-0.7*b-0.2*c-0.2*d)/3= (5-0.06*a-0.5*c-0.5*d)/5=(-5-1.3*a-0.3*b-0.4*d)/3.5=(5-0.3*a-0.3*b-0.4*c)/4x1, x2, x3, x4t=x1=x2=x3

d=x4

Goto 1

end

Результаты выполнения программы:

Интерполяционный многочлен Ньютона

Задача: построить интерполяционный многочлен Ньютона вручную использую Excel.

Таблица зависимости значений функции от аргумента

Ручной счет

Многочлен Ньютона находится по формуле:

В Excel вычислим коэффициенты

В столбце А находятся X_i, в столбце B находятся Y_i.

Расположение вычисленных коэффициентов:

Формулы вычисления коэффициентов:

линейный уравнение интерполяционный аппроксимирующий сплайн

,

,  и т.д. ,

 и т.д. ,

 и т.д.

,

Формулы в программе Excel:

Таблица значений:

Нужные коэффициенты выделены жирным. Подставим их в многочлен Ньютона:

N(x)=1+5,5(х-1)-3,75(х-1)(х-1,2)+8,3333(х-1)(х-1,2)(х-1,4)+0(х-1)(х-1,2)(х-1,4)(х-1,6)-41,667(х-1)(х-1,2)(х-1,4)(х-1,6)(х-1,8)=1+(x-1)(5,5-3,75(x-1,2))+(x-1)(x-1,2)(x-1,4)(8,3333-41,6667(x-1,6)(x-1,8))

В результате получим:

N(х)=-41,6667*x⁵+291,6668*x⁴-799,997*x³+1074,585*x²-02,183*x+178,6

Проверим значения полученной функции в заданных точках:

N(1)=-41,6667*1⁵+291,6668*1⁴-799,997*1³+1074,585*1²-702,183*1+178,6=1,0051

N(1,2)= - 41,6667*(1,2)⁵+291,6668*(1,2)⁴-799,997*(1,2)³+1074,585*(1,2)²-702,183*1,2+178,6=2,1081

N(1,4)= - 41,6667*(1,4)⁵+291,6668*(1,4)⁴-799,997*(1,4)³+1074,585*(1,4)²-702,183*1,4+178,6=2,9122

N(1,6)= - 41,6667*(1,6)⁵+291,6668*(1,6)⁴-799,997*(1,6)³+1074,585*(1,6)²-702,183*1,6+178,6=3,8176

N(1,8)= - 41,6667*(1,8)⁵+291,6668*(1,8)⁴-799,997*(1,8)³+1074,585*(1,8)²-702,183*1,8+178,6=5,2242

N(2)=-41,6667*2⁵+291,6668*2⁴-799,997*2³+1074,585*2²-702,183*2+178,6=5,9324

Полученные значения функции c учетом погрешности вычисления совпадают с табличными значениями. Соответственно делаем вывод, что многочлен Ньютона вычислен верно.

Формула в Excel для проверки найденного многочлена Ньютона:

=B1+C2*(A1-A1)+D3*(A1-A1)*(A1-A3)+E4*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)+F5*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)*(A1-A7)+G6*(A1-A1)*(A1-A3)*(A1-A5)*(A1-A7)*(A1-A9)

В ячейку А1 подставляем первое значение Х, для которого требуется узнать значение многочлена, растягиваем формулу до последнего значения.

Таблица результатов в Excel для табличных значений Х:

Вычисления произведены верно.

Получение аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов

Задача: методом наименьших квадратов получить аппроксимирующую функцию и построить график.

Таблица зависимости значений функции от аргумента

Ручной счет:

Наша задача получить функцию вида:

Находя частные производные, получим систему уравнений:

Найдем коэффициенты: (n+1)=6

Получим систему:

a ₀ +9 a ₁+14,2 a ₂ =20,9

a ₀+14,2 a ₁ +23,4 a ₂ =34,82

,2 a ₀ +23,4 a ₁ +39,9664 a ₂ =59,884

a ₀ +9 a ₁+14,2 a ₂ =20,9 /*9

9 a ₀+14,2 a ₁ +23,4 a ₂ =34,82 / *6, вычтем из 1 строки вторую

14,2 a ₀ +23,4 a ₁ +39,9664 a ₂ =59,884

a ₀ +9 a ₁+14,2 a ₂ =20,9 /*14,2

,2 a ₁ -12,6 a ₂ =-20,82

,2 a ₀ +23,4 a ₁ +39,9664 a ₂ =59,884 /*6, вычтем из 1 строки третью

a ₀ +9 a ₁+14,2 a ₂ =20,9

,2 a ₁ -12,6 a ₂ =-20,82 /*(-12,6)

,6 a ₁ -38,1584 a ₂ =-62,524 /*(-4,2)

a ₀ +9 a ₁+14,2 a ₂ =20,9

-4,2 a ₁ -12,6 a ₂ =-20,82

-1,5052a ₂ =-0,3108

В результате получаем:

a ₂ = 0,2064

a ₁ =4,3376

a ₀ =-3,5415

Коэффициенты вычислены, подставим их в уравнение:

*(-3,5415)+9 *4,3376+14,2 *0,2064=20,90028

*(-3,5415)+14,2*4,3376+23,4*0,2064=34,82018

,2*(-3,5415)+23,4 *4,3376+39,9664*0,2064=59,8856

Вычисление произведено верно.

Построим график полученной функции y=-3,5415+4,3376*x+0,2064*x² в Excel:

Подставляя в полученную функцию табличные значение x, посмотрим на отклонения значений функции от табличных:

Исходные точки.

Отличие графика полученной функции от исходного графика

Построение кубического сплайна

Задача: построить кубический сплайн по 6 точкам.

Таблица зависимости значений функции от аргумента

Вычисления:

Некоторая функция f(x) задана на отрезке [a,b], разбитом на части [x_i-1,x_i]. На каждом таком отрезке функция S(x) есть полином третьей степени S_i(x), коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства S_i(x) в виде:

 _i (x)= p _i + k _i (x- x _i-1 )+ g _i (x- x _i-1 ) ²+ l _i (x- x _i-1 ) ³

Шаг: h_i= h_i-1=x_i-x_i-1

Формулы для вычисления коэффициентов:

Для нахождения g_i составим систему, состоящую из уравнений:

h_i-1*g_i-1 +2(h _i +h _i+1 ) *g _i+ h _i *g _i+1 =3((y _i - y _i-1) /h _i - ( y _i-1 - y _i-2 )/h _i-1 )

где i=2..n

Коэффициенты  можно вычислить методом прогонки, используя формулу:

g _i= g_i+1*U_i+V_i

После нахождения  необходимо вычислить

Далее вычисляем  

_i=(y _i - y _i-1 )/h _i -h _i /3 *( g _i+1 +2*g _i )

Коэффициенты  нам известны из таблицы значений функции:

p_i=y _i-1 где i=1..n

Таким образом, мы найдем все коэффициенты и сможем составить уравнения кусков сплайна для каждого отрезка [x_i-1,x_i].

Составим систему уравнений для вычисления , она будет состоять из 6 уравнений

,8 g ₂ +0,2 g ₃= - 4,5

,2 g ₂ +0,8 g ₃+0,2 g ₄ =1,5

,2 g ₃ +0,8 g ₄+0,2 g ₅ =7,5

,2 g ₄ +0,8 g ₅= -10,5

Записываем коэффициенты:

Решаем:

 ₁=- c₁ / b ₁ =-0,25₁=d₁ / b ₁ =-5,625

А ₂=- c₂ / (a ₂*A₁ + b ₂ )=-0,26667 ₂= (d₂ - a ₂*A₁ )/( (a ₂*A₁ + b ₂ )=3,5 ₃=- c₃ / (a ₃*A₂ + b ₃ )=-0,26786 ₃= (d₃ - a ₃*A₂ )/( (a ₃*A₂ + b ₃ )= 9,107143

U ₄=0 ,т.к. с₄ =0 ₄= (d₄ - a ₄*A₃)/( (a ₄*A₃ + b ₄ )= -16,5072

Обратный ход:

g₅ = V₄ = -16,5072

g₄ =U₃* g₃+ V₃ =13,52871

g3=U₂* g₂+ V₂ =-0,10766₂=U₁* g₁ + V₁ =-5,59809 ₁= g ₆=0

Невязки: ₀=0.00000000001 ₁=0.00000000000 ₂=-0.00000000000 ₃=-0.00000000000 ₄=0.00000000001 ₅=0.00000000000

Коэффициенты:

 ₁=1 k ₁=5,873205 l ₁= -9,330131 g ₁=0 ₂=2,1 k ₂=4,753589 l ₂= 9,150691 g₂ = -5,598079₃=2,9 k ₃=3,612441 l ₃= 22,72728 g₃ =0,1076636 ₄=3,8 k ₄=6,296649 l ₄=-50,05979 g₄ =13,52871

p ₅=5,2 k ₅=5,700957 l ₅=27,51195 g₅ = -16,50717

p ₆=5,9 k₆=0  l₆= 0  g ₆=0

Находим полином третьей степени:

S ₁(x)=1+5,873205*(x-1) +0*(x-1) ² +(-9,330131)*(x-1) ³=

= 4,45693-22.1172x+27,9904x² -9,33013x³

S ₂(x)=2,1+4,753589*(x-1,2) +(-5,598079)*(x-1,2) ² +9,150691*(x-1,2) ³=

= -27,4779+57,72 x-38,5406x² +9,15069x³

S ₃(x)=2,9+3,612441*(x-1,4) +0,1076635*(x-1,4) ²+22,72728*(x-1,4) ³ =

= -64,3101+136,947 x-95,3469x² +22,7273x³

S ₄(x)=3,8+6,296649*(x-1,6) +13,52871*(x-1,6 )²+(-50,05979)*(x-1,6) ³=

= 233,404-421,454 x+253,816x² -50,0598x³

S ₅(x)=5,2+5,700957*(x-1,8) -16,50717*(x-1,8) ² +27,51195*(x-1,8) ³=

=-218,995+332,543 x- 165,072x²+27,512x ³

По этим многочленам построим график в Excel

Программа для вывода коэффициентов каждого куска сплайна

Clsnx(n), y(n), a(n), b(n), c(n), d(n) 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, 2 [вводим значения X(i)]

Data 1, 2.1, 2.9, 3.8, 5.2, 5.9 [вводим значения Y(i)]

Data 0, 0.2, 0.2, 0.2 [вводим значения коэффициентов a(i) из системы уравнений для вычисления ]

Data 0.8, 0.8, 0.8, 0.8 [ вводим значения коэффициентов b(i) из системы уравнений для вычисления ]

Data 0.2, 0.2, 0.2, 0 [вводим значения коэффициентов c(i) из системы уравнений для вычисления ]

For i=1 to nx(i) i

For i=1 to ny(i)ii=1 to n-2(i)=3*((y(i+2)-y(i+1))/0.2-(y(i+1)-y(i))/0.2) [вычисление коэффициента d(i) из системы уравнений для вычисления ]

Next ii=1 to n-2a(i)ii=1 to n-2b(i)ii=1 to n-2c(i)ii=1 to n-2

u(i)=-c(i)/(a(i)*u(i-1)+b(i)) [прогоночный коэффициент ](i)=(d(i)-a(i)*v(i-1))/(a(i)*u(i-1)+b(i)) [прогоночный коэффициент ]

next ii=n to 1 step-1

g(i)=u(i)*g(i+1)+v(i) [вычисляется g_i из уравнения]

next ii=1 to n(i)=(y(i+1)-y(i))/0.2-0.2/3*(g(i)+2*g(i-1)) [вычисляется коэффициент сплайна]ii=1 to n-1(i)=(g(i)-g(i-1))/0.6 )) [вычисляется коэффициент сплайна]

next ii=1 to n(i)=y(i)ii=1 to n-1p(i) , k(i), l(i), g(i)i.

Ответ:

 ₁=1 k ₁=5.873205 l ₁= -9.330131 g ₁=0 ₂=2.1 k ₂=4.753589 l ₂= 9.150691 g₂ = -5.598079 ₃=2.9 k ₃=3.612441 l ₃= 22.72728 g₃ =0.1076636 ₄=3.8 k ₄=6.296649 l ₄=-50.05979 g₄ =13.52871 ₅=5.2 k ₅=5.700957 l ₅=27.51195 g₅ = -16.50717

p ₆=5.9 k ₆=0  l ₆= 0  g₆=0

Вычислить значение функции х₀=1,75

Задача: Вычислить значение функции х₀=1,75 использую полученную аппроксимирующую функции:

N(1,75)=-41,6667*(1,75)⁵+291,6668*(1,75)⁴-799,997*(1,75)³+1074,585(1,75)x²-702,183*(1,75)+178,6=4,849

Вычисляем значение функции х₀=1,5 использую полученную аппроксимирующую функцию методом наименьших квадратов:

y=-3,5115+4,3376*х+0,2064*х²=- 3,5115+4,3376*1,75+0,2064*1,75²=4,7114

Вычисляем значение функции х₀=1,75 использую полученную полином третьей степени S(x):

S (1,75)= 232,757-50,0598*1,75^3+253,816*1,75^2-421,05*1,75=4,941759