Поле корреляции. Неколлинеарные факторы, их коэффициенты частной корреляции

Поле корреляции. Неколлинеарные факторы, их коэффициенты частной корреляции

Задача 1

По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

Предварительный анализ исходных данных выявил наличие двух территорий с аномальными значениями признаков. Эти территории исключены из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанных аномальных единиц.

Задание:

. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции  и линейно-логарифмической функции

. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и ηylnx) и детерминации (r2yx и η2ylnx), проанализируйте их значения.

Надёжность уравнений в целом оцените через F -критерий Фишера для уровня значимости 0,05.

На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - ε'ср., оцените её величину.

. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,037 от среднего уровня ().

. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для 0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оцените точность выполненного прогноза.

Решение:

Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . См. табл.2. Так как график строится в табличном процессоре EXCEL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат - на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи валового регионального продукта (Y) с кредитами, предоставленными предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица 2

Рис. 1

По данным таблицы №2 видно, что с увеличением факторного признака (Х) увеличивается результативный признак (Y).

По характеру расположения точек на поле корреляции (по графику) можно сделать вывод о слабой связи. Так как точки корреляционного поля почти не обнаруживают определенную направленность в своем расположении, можно говорить о наличии очень слабой связи (линейной или нелинейной).

Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой:, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Δ, Δа0 и Δа1 Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.

Таблица 3

Расчёт определителя системы выполним по формуле:

 10*1163559,63 - 2504,7*2504,7 = 5362074,21

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

156,9*1163559,63 -67831,39*2504,7 =

=12665223,41

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

 10*1163559,63 -156,9*2504,7 = 285326,47.

Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

; .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

В уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,053 означает, что при увеличении объема кредитов на 1 млн. руб. (от своей средней) объём валового регионального продукта возрастёт на 0,053 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения а0 =2,362 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объём валового регионального продукта.

Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели  будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. расчётную таблицу №4.

Таблица 4

Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:

,351; а0=-4295,41; а1=1364,183.

Отсюда получаем параметры уравнения:

Полученное уравнение имеет вид:.

. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции, равный 0,7512, показывает, что выявлена средняя зависимость между объемом кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам и валовым региональным продуктом за год. Коэффициент детерминации, равный 0,564, устанавливает, что вариация объема валового регионального продукта на 56,4% из 100% предопределена вариацией объема кредитов для организаций; роль прочих факторов, влияющих на валовой региональный продукт, определяется в 43,6%, что является большой величиной.

Для оценки тесноты связи рассчитаем также коэффициент:

Данный коэффициент Ylnx=0,6700, показывает, что выявлена средняя по силе зависимость между прологарифмированным объемом кредитов и валовым региональным продуктом. Квадрат этого коэффициента, равный 0,449, устанавливает, что вариация объема валового регионального продукта на 44,9% из 100% предопределена вариацией прологарифмированным объемом кредитов, предоставленных организациям физическим лицам; роль прочих факторов, влияющих на объем валового регионального продукта, определяется в 55,1%, что является большой величиной.

. Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости ВРП от кредитов рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - Fфактич. и сравним его с табличным значением - Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).

В нашем случае, .

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 10 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия ВРП и общей суммы кредитов. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k-1=1 и d.f.2=n-k=10-2=8 и уровне значимости α=0,05 (по приложению 1).

В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости ВРП от объемов кредитов и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

Для второго уравнения: рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - Fфактич. и сравним его с табличным значением - Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости α=0,05).

Вывод: сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k-1=1 и d.f.2=n-k=10-2=8 и уровне значимости α=0,05 (по приложению 1).

В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости ВРП от прологарифмированного объема кредитов и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%

Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи η=0,6700 (сравните с 0,7512), Fфакт.=6,5 (против 10,4 для линейной модели), то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.

Таким образом, можно придти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи.

Для линейного уравнения регрессии рассчитаем теоретические значения (они приведены в таблице №3).

Рис. 2

Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации (по данным расчетной таблицы №3):

.

В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 45,9%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).

Если предположить, что прогнозное значение фактора () составит 1,023 от среднего уровня (), то есть

Xпрогнозн.= 1,037*Хср=1,037*250,47=259,737,

тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне:

Yпрогнозн. =-2,362+0,053*259,737=16,1281 (млрд. руб.).

То есть, прирост фактора на 3,7% от своего среднего значения приводит к приросту результата на 2,8 процента от его среднего значения (.

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии-и ошибки прогноза положения регрессии -.

То есть, .

В нашем случае  , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда (млрд. руб.).

Ошибка положения регрессии составит:

 =

=  = 0,068 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит:

 =  = 12,012 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит:  = 2,31*12,012 = 27,748 ≈ 28,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 10-1-1=8 составит 2,31. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит  млрд. руб.

Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит

 = 16,1 + 28,0 = 44,1 (млрд. руб.).

Нижняя граница доверительного интервала составит:

 = 16,1 - 28,0 = -11,9 (млрд. руб.).

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит:

 =  раз.

Это означает, что верхняя граница в (-3,7) раз больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой, тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

Задача 2

Проводится анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год:- Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;- Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.;- Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;-Инвестиции 1999 года в основной капитал, млрд. руб.

Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.

Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил одну территорию (г. Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.

При обработке исходных данных получены следующие значения:

А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -σ: N=9.

Б) - коэффициентов частной корреляции

Задание:

. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

. Выполните расчёт бета коэффициентов и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3. По значениям коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a1, a2 и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -.

. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F -критерий Фишера (для уровня значимости 0,05).

. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 107,3 процента от их среднего уровня.

. Основные выводы оформите аналитической запиской.

Решение.

Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что инвестиции 2000 г. в основной капитал - Y более тесно связаны инвестициями 1999 года в основной капитал - X3 () и среднегодовой стоимостью основных фондов - X2 (); наименее тесно результат Y связан со среднегодовой численностью занятых в экономике - X1. Поэтому, в силу небольшой информативности фактора X1, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа.

Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата Y с инвестициями 1999 г. в основной капитал (), средняя связь со среднегодовой стоимостью основных фондов в экономике (), и наименее - со среднегодовой численностью занятых в экономике (). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчёт серии коэффициентов частной корреляции Y с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с X2 и с X3, а также для Y c X1 и X3.

Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:

Как видим, факторы X2 и X3, действительно, тесно связаны с результатом, а между собой практически взаимодействуют слабее.

Расчёт аналогичных показателей по следующей паре факторов приводит к иным результатам:

В данном случае, межфакторное взаимодействие  сравнимо с теснотой связи инвестиций 2000 г. с инвестициями 1999 г. Таким образом, первая из рассмотренных пар факторных признаков (X2 и X3) в большей мере отвечает требованиям, предъявляемым МНК к исходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия. Указанные обстоятельства позволяют использовать X2 и X3 в качестве информативных факторов уравнения множественной регрессии.

При построении двухфакторной регрессионной модели  воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: . Выполним расчёт коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

;

;

В результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:

Параметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении среднегодовой стоимости основных фондов на одну сигму - (от своей средней) инвестиции 2000 г. в основной капитал увеличатся на 0,494 своей сигмы (); с увеличением инвестиций 1999 г. в основной капитал на  результат увеличится на 0,566.Сравнивая коэффициентов, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой - слабее. В данном случае, увеличение объема инвестиции 2000 г. в основной капитал происходит, прежде всего, под влиянием увеличения инвестиций 1999 г. в основной капитал и в меньшей степени - в результате увеличения средней стоимости основных фондов.

Используя значения коэффициентов, можно рассчитать параметров уравнения в естественной форме:

.

В конечном счёте, имеем уравнение:

.

По значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).

С увеличением стоимости основных фондов на 1 млрд. руб. инвестиции 2000 г. в основной капитал увеличиваются на 0,053 млрд. руб., с увеличением инвестиций 1999 г. в основной капитал на 1 млрд. руб. инвестиции 2000 г. возрастут на 0,924 млрд. руб.

Но так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и β - коэффициенты.

Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения). В нашем случае, расчёт показал, что влияние стоимости основных фондов на инвестиции 2000 г. в основной капитал оказалось более сильным по сравнению с влиянием объема инвестиций 1999 г.: с ростом стоимости основных фондов на 1% инвестиции 2000 г. увеличатся на 0,728%, а при увеличении объема инвестиций 1999 г. на 1% инвестиции 2000 г. возрастут на 0,520%. Различия в силе влияния весьма значительны: второй фактор влияет на результат сильнее, чем третий. Поэтому регулирование объема инвестиций 2000 г. через стоимость основных фондов будет более результативным, чем через объем инвестиций 1999 г.

; .

Тесноту выявленной зависимости объема инвестиций 2000 г. в основной капитал от инвестиций 1999 г. и от стоимости основных фондов оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и β - коэффициентов.

 В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:

Как показали расчёты, установлена весьма тесная зависимость объема инвестиций 2000 г. в основной капитал от инвестиций 1999 г. и от стоимости основных фондов. Это означает, что 95,5% вариации объема инвестиций 2000 г. определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 4,5% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.

Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, .

Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и останочной дисперсий и их степеней свободы: d.f.1=k и d.f.2=n-k-1; где: n -число изучаемых единиц; k - число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.

.

В нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:

.

Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 64 раза больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может, а является результатом влияния существенных, систематических факторов.

Для принятия обоснованного решения Fфактич. сравнивается с Fтабличн., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.1 = k) и остаточной (d.f.2 = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости α=0,05. В нашем примере, где d.f.1=k= 2 и d.f.2=n-k-1 = 9-2-1=6 при α=0,05 Fтабл = 5,14 (см. табл. приложения 1). В силу того, что Fфактич =63,7 > Fтабл. = 5,14, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы - согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

. Техническая часть прогнозных расчётов по уравнению множественной регрессии сравнительно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака , подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - . При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов, то есть  и , получено на основе средней величины:

.

.

После подстановки в уравнение получаем следующий результат:

(млрд. руб.)

Если стоимость основных фондов составит 130,047 млрд. руб., а инвестиции 1999 г. в основной капитал возрастут до 5,356 млрд. руб., тогда следует ожидать, что инвестиции 2000 г. в основной капитал составят 9,675 млрд. руб., то есть увеличится на 9,1% от своего среднего уровня.

Задача 3

Данные о стоимости экспорта () и импорта () Туниса, млрд. $, приводятся за период с 1990 по 2000 г. В уровнях рядов выявлены линейные тренды:

для экспорта - , а для импорта -

По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и .

Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:

Задание:

1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( );

. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; 2) уровней рядов:  и 3) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп. 1 и 3);

. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:

. Проанализируйте полученные результаты.

Решение.

. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений:  и  

Таблица 5

надежность регрессия уравнение ряд

Выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент регрессии отклонений с1,  и . Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений: .

В силу того, что свободный член уравнения регрессии отклонений равен нулю, вид уравнения будет отличаться от традиционного:. С изменением отлонений импорта от своего тренда на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на 0,6478 части своей единицы. В дальнейшем коэффициент с1 используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:

;

Выявлена средняя связь отклонений от трендов, которая означает, что на 56,5% вариация размеров отклонений по импорту детерминирует изменения по экспорту, а на 43,5% вариация размеров отклонений происходит под влиянием прочих факторов.

Второй вариант оценки связи двух рядов основан на традиционной оценке корреляции их уровней:

.

Данный подход к решению задачи предполагает традиционный расчёт определителей уравнения регрессии уровней, нахождение коэффициента регрессии а1 и далее с помощью  и  расчёт коэффициента корреляции. Информация для расчёта представлена в табл. 2.

Расчёт определителей дал следующие результаты:

Значения параметров регрессии:; , а уравнение имеет вид:

.

Коэффициенты тесноты связи уровней составят:; . Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 95,1% вариации экспорта.

Таблица 6

.Однако, делать подобный вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является причинной зависимостью, а представляет собой ложную связь, вызванную наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы могут создавать иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов изучения связи уровней, содержащих тренд. В подобной ситуации пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.

В действительности связь рядов существует, оценивается она как тесная; то есть, в ней экспорт на 95,1% детерминирован вариацией импорта.

Фактический F-критерий равен 174. Это больше табличного (F табл.=5,12), что доказывает надёжность и значимость истинной связи рядов.

. Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: . В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель фактора времени позволит через коэффициент а2 отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов. Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.

Истинную силу и направление связи рядов отразит коэффициент регрессии а1 , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .

Используем для расчёта параметров множественной регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.

Для построения уравнения в стандартизованном масштабе:  рассчитаем значения -коэффициентов:

Получено следующее уравнение: .

Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти в пять с половиной раза сильнее, чем влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:

По значениям -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме:

;

.

Уравнение имеет вид:. С увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,648 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t) экспорт увеличивается в среднем за год на 0,044 млрд. $.

Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторов, даёт частный коэффициент корреляции:

; .

Как видим, получены результаты, совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.

Использование динамической модели в прогнозе заключается в подстановке в её правую часть прогнозных значений фактора G и фактора t. То есть,