Оценивание параметров процесса авторегрессии

Оценивание параметров процесса авторегрессии

Федеральное агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТГУ)

Факультет прикладной математики и кибернетики

Кафедра высшей математики и математического моделирования

КУРСОВАЯ РАБОТА

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА АВТОРЕГРЕССИИ

Руководитель

док. физ-мат наук, доцент

С.Э. Воробейчиков

Автор работы

А.А. Петров

Томск 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение

. Модели авторегрессии

.1 Оценивание параметра авторегрессии методом МНК

.2 Фильтр Калмана

. Моделирование

. Заключение

Список литературы

Приложение

1. Введение

Одной из основных характеристик ценных бумаг является доходность, являющаяся случайной величиной. Существует множество моделей, описывающих доходность ценных бумаг: модель скользящего среднего, авторегрессионная модель, модель авторегрессии - скользящего среднего, авторегрессионная модель условной неоднородности.

В курсовой работе в качестве модели рассматриваю модель авторегрессии 1-го и 2-го порядка. Для выбранных моделей оцениваю параметры методом МНК и с помощью фильтра Калмана.

2. Модели авторегрессии

Говорят, что последовательность доходностей описывается моделью авторегрессии порядка p, если  удовлетворяет следующему уравнению

 (1)

где  - стандартная нормальная случайная величина, т.е.

Модель авторегрессии 1-го порядка. Рассмотрим уравнение авторегрессии 1-го порядка в виде

, (2)

где ,  () - неизвестный параметр модели,  - мешающий параметр. В стационарном режиме процесс (2) можно записать в виде

,

где - среднее значение наблюдаемого процесса

Для исключения влияния мешающего параметра  на оценку  на каждом шаге будем вычитать из текущего наблюдения оценку среднего. Для этого просуммируем обе части уравнения (2) и разделим на количество

 (3)

Введём обозначения

, ,

Вычитая из (2) (3) получим

 (4)

В этом виде отсутствует явная зависимость от мешающего параметра. Чтобы уменьшить влияние погрешности оценки среднего, первые  наблюдений будем использовать для оценивания М.

Модель авторегрессии 2-го порядка. Рассмотрим уравнение модели авторегрессии 2-го порядка

где ,  () - неизвестные параметры модели, а B известно.

2.1 Оценивание параметра авторегрессии методом МНК

Для получения оценки МНК параметра  для модели авторегрессии 1-го порядка рассмотрим сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений переменной от ожидаемых значений

Необходимое условие минимума  приводит к следующей оценке

 (5)

Для модели 2-го порядка сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от ожидаемых значений имеет вид

Необходимое условие минимума  приводит к следующей системе уравнений

2.2 Фильтр Калмана

Фильтр Калмана также можно использовать для оценки параметра модели.

Рассматривается система линейных разностных уравнений вида

,  (6)

,  (7)

- n-мерный вектор состояний, z - l-мерный вектор измерений. и  - последовательность гауссовских случайных величин с нулевым математическим ожиданием. Будем считать что они независимы между собой.

Задача состоит в том, чтобы на основе полученных измерений  получить оценку

Оценка вычисляется как решение разностного уравнения

,  (8)

 - матричный коэффициент,  - невязка. Чем она меньше, тем ближе оценка  к истинному значению. Коэффициент K выбирается таким образом, чтобы оценка  была несмещённой с минимальной матрицей ковариаций.

Если ввести ошибку , то эта ошибка будет удовлетворять следующему уравнению:

,

где

 - последовательность гауссовских случайных величин со свойствами

Далее введём квадратную матрицу

Введём  и  как среднее и матрицу ковариации

Получим следующее

Осталось выбрать K таким образом, чтобы минимизировать

Представим правую часть в виде полного квадрата относительно K:

Из последнего равенства получим следующее:

 (9)

 (10)

 - оптимальный коэффициент.

 - решение уравнения Риккати. Для упрощения моделирования  заменяем стационарным значением. , которая находится из алгебраического уравнения Риккати

 (11)

Оценивание параметров регрессии с помощью фильтра Калмана

Так как оцениваем параметр , а он является постоянным, то уравнение для него имеет вид

 (12)

Уравнение наблюдения имеет вид

 (13)

Тогда сравнивая (6), (7) с (12), (13), получим

В случае уравнения авторегрессии 2-го порядка оцениваем вектор параметров . В этом случае матрица A является единичной 2х2, вектор наблюдения , матрица  нулевая, .

3. Моделирование

Были получены массивы данных, подчиняющихся модели авторегрессии 1-го и 2-го порядка. Параметры модели 1-го порядка:

.

Параметры для модели 2-го порядка:

.

В качестве шумовой компоненты использовались случайные величины, имеющие нормальное, равномерное распределение, а так же величины, плотность распределения которых равна

.

Все шумы имеют нулевое средние и единичную дисперсию. На рисунках 1-3 изображёны сгенерированные процессы авторерессии 1-го порядка

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

На рисунках 4-6 изображёны оценки параметров, полученных методом МНК. Рисунок 4 соответствует нормальному шуму, 5 - равномерному, 6 - с заданной плотностью.

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

На рисунках 7-9 изображена оценка параметров модели 1-го порядка с использованием фильтра Калмана

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Как видно из рисунков, на первых шагах оценки наблюдаются значительные отклонения от истинного значения параметра, причём в методе МНК стабилизация наступает значительно раньше по сравнению с фильтром Калмана.

На рисунках 10-12 изображено сравнение двух методов оценок параметра модели 1-го порядка.

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

авторегрессия оценивание фильтр калман

Как видно, траектории методов очень близки.

На рисунках 13-15 изображёна оценка параметров модели 2-го порядка методом МНК в динамике.

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

На рисунках 16-18 изображёна оценка параметров модели 2-го порядка с использованием фильтра Калмана.

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

Из вышеприведённых графиков видно, что для моделей 2-го порядка для стабилизации оценки на первых шагах требуется больше времени.

Для сравнения качества оценивания двух методов вычисляется среднее отклонение оценок от истинных значений параметров. Чтобы исключить влияние значительного отклонения до стабилизации, вычисление средних значений начинается с 50-го шага.

Среднее отклонение оценки для модели 1-го порядка

Среднее отклонение оценки для модели 2-го порядка

Из представленных выше таблиц следует вывод: для модели 1-го порядка лучшее качество оценки достигается при использовании метода МНК. Фильтр Калмана даёт в среднем худшее качество. Для модели 2-го порядка лучшее качество даёт фильтр Калмана. Также следует отметить, что в среднем параметр  оценивается лучше, нежели .

Заключение

Результатами курсовой работы является следующее:

1.      Построение оценок двумя методами

2.      Анализ влияния природы шумов на качество оценивания

.        Сравнительный анализ оценок, полученных двумя методами

Список литературы

1.       Воробейчиков С.Э., Кабанова Т.В. Оченка параметра процесса авторегрессии первого порядка при наличии мешающего параметра. //Вестник ТГУ УВТИ. 2009. № 4(9). С. 26-32.

2.      Терпугов А.Ф. Математика рынка ценных бумаг: учебное пособие. //А.Ф. Терпугов. - Томск: Изд-в НТЛ, 2004. - 164 с.

3.      N. Meder, S. Vorobejchikov. On guaranteed estimation of parameters of random processes by the weighted least squares method. Session slot T-Fr-A01: Identification of Stochastic Systems/Area code 3a : Modelling, Identification and Signal Processing

4.      Ю.И. Параев. Фильтр Калмана для непрерывных и дискретных систем. Учебно-методическое пособие. Изд-во Том. ун-та Томск, 2009, 15 с.

Приложение