Математические модели макроэкономики

Математические модели макроэкономики

ГОУ ВПО «АДЫГЕЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК»

Кафедра алгебры и геометрии

КУРСОВАЯ РАБОТА

студентка 3 курса очного отделения

специальность 010200 «Прикладная математика»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МАКРОЭКОНОМИКИ

Заряева Мария Сергеевна

Научный руководитель:

д. физ - мат. н., проф

____________ Уртенов М. А. Х

Майкоп, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Различные математические модели

1.1                   Основные понятия математических моделей и их применения в экономике

.2 Общая характеристика элементов экономики, как объекта моделирования

.3 Рынок и его виды

.4   Динамическая модель Леонтьева

.5   Математическая модель.МодельВальраса

1.6 Динамическая модель Кейнса

Глава II. Нелинейная динамическая модель

2.1                   Модель Солоу

.2   Модель Солоу с дискретным временем

.3 Модель Солоу с непрерывным временем

Заключение

Список литературы

Введение

К настоящему времени в экономической теории сложились два основных направления: традиционное и эволюционное. Как представляется, кардинального противоречия между этими направлениями нет. Ведь в экономике одновременно протекают несколько разноплановых процессов. Некоторые из них - «быстрые», другие - «медленные». Если нас интересуют «быстрые» процессы, то «медленными» можно пренебречь. Если же для нас важны «медленные» процессы, то «быстрые» процессы можно элиминировать с помощью процедуры осреднения.

Так что такое макроэкономические процессы и какие из них будут исследованы?

Далее будут рассмотрены два вида макроэкономических процессов:

)        Переходные процессы, обусловленные динамическим характером экономической системы;

)        Параметрические процессы, вызванные изменением экзогенных макроэкономических параметров.

Динамический характер экономической системы проявляются в том, что причина переходит в следствие не мгновенно, а с некоторым запозданием.

Если экзогенные макроэкономические параметры эволюторно, то переходными можно пренебречь и изучать процессы изменения состояния системы в зависимости от изменения макропараметров. Исследования макроэкономических процессов будет осуществляться с помощью математических методов и моделей, прежде всего с помощью теории динамических систем, опирающийся на аппарат дифференциальных уравнений и преобразований Лапласа. При исследовании переходных процессов в неструктурированной макроэкономике будут использованы динамическая модель Кейнса и модель Самуэльсона-Хикса.

Преимущество математического моделирования состоит в том, что при правильности заложенных в модель предпосылок полученные модели выводы являются верными. Если заложенные предпосылки неверны, то сравнение результатов, полученных по модели, с реальной действительностью покажет несостоятельность данных предпосылок. В таком случае математическая модель может явиться средством проверки правильности выдвигаемых научных гипотез или предполагаемых направлений экономического развития.

Многие известные многоразмерные экономические модели линейны. Между тем для экономических явлений и процессов характерна нелинейность. Аналитическое исследование многоразмерных нелинейных моделей очень трудоемко. Можно, конечно, экспериментировать с такими моделями на ЭВМ. Но аналитическое исследование по сравнению с имитацией на ЭВМ имеет главное неоспоримое преимущество: оно дает возможность получить всю картину изучаемого явления при любых значениях параметров, в то время как имитация дает лишь ряд фрагментов общей картины при отдельных значениях параметров.

Глава I. Различные математические модели

1.1    Основные понятия математических моделей и их применения в экономике

математическая модель макроэкономика

Определение 1. Модель - это объект, который замещает оригинал, отражает наиболее важные для данного исследования черты и свойства оригинала.

Определение 2. Математическая модель - это модель, представляющая собой совокупность математических соотношений.

Любое важное решение в экономике требует проведения эксперимента, но при наличии математической модели избавляются от необходимости дорогостоящих экспериментов, сопровождаемых многократными пробами и ошибками. Это одно достоинство модели. Другое заключается в том, что формализация дает возможность сформулировать реальную задачу как математическую и позволяет воспользоваться для анализа универсальным и мощным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика проводит детальный количественный анализ модели, помогает предсказать, как поведет себя объект в различных условиях и дает рекомендации для выбора наилучших вариантов решения проблемы.

Математическая модель нетождественна самому объекту, а является его приближенным отражением. Говоря об объективности, следует иметь в виду, что никакая отдельно взятая модель не может вполне правильно отразить все свойства сложной экономической действительности. Поэтому формализация экономической задачи проводится наряду с принятием некоторых предварительных условий, предположений, ограничений. Стремление к простоте модели продиктовано ограниченными возможностями вычислительной техники и экономии временных ресурсов при исследовании модели. Практическое значение модель приобретает тогда, когда ее изучение имеющимися средствами более доступно, чем изучение самого объекта. Требования чувствительности и устойчивости являются отражением объективных характеристик экономических процессов. Одна и та же математическая модель может применяться для исследования экономических задач различного содержания, т. е. быть универсальной.

Для того чтобы математическая модель удовлетворяла всем тем требованиям, необходимо тщательно изучить предметную область, собрать и проанализировать большой объем информации. Только в результате такого предварительного изучения самого объекта можно отличить цели от средств их достижения, следствия от причин их породивших, основные факторы от второстепенных.

Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:

· определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок;

· выявление важнейших факторов проблемы;

· выявление управляемых и неуправляемых параметров;

· математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе их называют экзогенными переменными. Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними. В экономической литературе их называют эндогенными переменными.

Под важнейшими понимаются факторы, которые играют существенную роль в самой задаче и которые, так или иначе, влияют на конечный результат.

Управляемыми называются те параметры задачи, которым можно придавать произвольные числовые значения исходя из условий задачи; неуправляемыми считаются те параметры, значение которых зафиксировано и не подлежит изменению.

С точки зрения назначения, выделяются описательные модели и модели принятия решения. Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.

Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационные модели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными - игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров, чего нет в описательных моделях.

1.2  Общая характеристика элементов экономики, как объекта моделирования

Первичными элементами экономики являются товары и участники. Например, имеются экономические товары и участники экономики, если установлено, что эти товары обмениваются один на другой в результате соглашений, в которых заинтересованными сторонами выступают участники. Экономический товар - это именно то, что является предметом сделок в данном обществе и определяет способность к обмену - труд, капитал, ресурсы, продукты потребления, услуги, информация, ценные бумаги и т.д. Имеется один особый товар, являющийся эквивалентом при обмене - деньги. Деньги служат средством обращения, мерой стоимости, средством сбережения. Денежный эквивалент единицы товара называется его ценой.

Основными участниками экономики являются домашние хозяйства, фирмы, и регионы.

Домашние хозяйства, с одной стороны, являются потребителями конечного продукта, с другой - владельцами ресурсов (земельных, трудовых и др.). Продавая свои ресурсы, домашние хозяйства получают доход, а также участвуют в распределении прибыли производственных предприятий (например, посредством ценных бумаг).

Фирмы, с одной стороны, являются производителями товаров и услуг, с другой - потребителями ресурсов. Фирмы получают доход от продажи своих товаров и услуг и являются владельцами производственных мощностей.

Таким образом, большинство участников экономики действуют одновременно как покупатель и продавец. Взаимодействуя между собой, покупатели и продавцы образуют рынок. Основными рыночными понятиями являются спрос, предложение, конкуренция и цена.

Спрос можно определить как платежеспособную потребность в том, или ином товаре. Спрос на товар зависит от его цены (т.е. спрос является функцией от цены). Как правило, при высокой цене приобретается меньшее количество товара (обратная связь (рис.1)). В экономике этот факт называется законом спроса.

Определение 3. Предложение - это то количество товара, которое производители могут и хотят произвести.

Предложение также зависит от цены товара (прямая связь рис.1). В экономике этот факт называется законом предложения.

Рис 1. Кривая спроса и предложения и точка равновесия

(A″ B″- избыток, A′ B′ - дефицит)

Если вся масса товара, произведенная в расчете на данную цену, может быть по этой цене продана полностью, то говорят, что по данному виду товара в экономике существует равновесие. Иными словами, существует такая цена, для которой спрос на данный товар равен предложению. Такая цена называется равновесной (рис. 1).

1.3    Рынок и его виды

Определение 4. Рынок - это механизм взаимодействия покупателей и продавцов, реализующийся через рыночные цены, взаимное соотношение спроса и предложения.

Участниками рынка могут быть любые заинтересованные в купле-продаже товаров стороны: индивидуальные потребители, отдельные фирмы, совокупность потребителей некоторого региона, совокупность предприятий данной отрасли, финансовые организации, концерны, целые страны, т. е. классификация участников рынка, зависит от характера решаемой задачи.

В классических моделях в качестве участников рынка рассматриваются производители товаров и их потребители. Первые выходят на рынок для реализации своей продукции, а вторые - для приобретения необходимых им товаров потребления. Любой участник рынка выступает одновременно как продавец и покупатель. Можно сказать, что относительно любого товара на рынке существует три группы участников: те, кто продает этот товар, те, кто покупает его, и те, кому этот товар безразличен. Если продавцов (покупателей) данного товара много, то между ними возникает конкуренция. Поэтому рынки можно классифицировать по характеру конкуренции.

Несколько

Много

Один

Сделка

Олигополия

Монополия

Несколько

Олигополия

Много

Монопсония

Олигополия

Конкуренция

Рис 2. Виды рынков (по числу участников).

1.4 Модель Леонтьева. Статическая модель

Рассмотрим статическую линейную модель многоотраслевой экономики. В основе модели лежат следующие предположения:

)        В системе экономики производятся, продаются, покупаются, потребляются и инвестируются n продуктов;

)        Каждая отрасль является «чистой», т. е. производит только один продукт;

)        Производственный процесс в отрасли - это преобразование некоторых типов продуктов в какой-то один продукт. Таким образом, если для производства единицы j-го продукта надо затратить a_ij единиц i-го продукта, то выпуск λ единиц j-го продукта потребует λ a_ij единиц i-го продукта.

Таким образом, независимо от масштаба производства удельный выпуск и соотношение затрат всегда постоянны.

Валовой выпуск i-го продукта за год распадется на две части: на производственное потребление и на конечное (не производственное) потребление.

Из предположений следует производственное потребление i-го продукта всеми отраслями равно Ʃ a_ij х_j, поэтому чистый выпуск i-го продукта составит

 (1.1)

Если прировнять чистый выпуск каждого i-го продукта конечный спрос на него y_i, то образуется система уравнений:

 (1.2)

Которая и составляет модель Леонтьева.

Конечный спрос y_i состоит из конечного потребления, экспорта и инвестиций. Но в самой модели величины y_i мыслятся как экзогенно заданные. Поэтому при заданных y_i, i=1, … , n, n линейных уравнений модели Леонтьева позволяет определить n отраслевых выпусков x_i, i=1, … , n.

Величины y_i, x_i могут быть представлены в натуральных или стоимостных единицах измерения, в соответствии с этим различают натуральный или стоимостный межотраслевые балансы.

Система (1.2) - это система n линейных уравнений с n неизвестными x_i, i=1, … , n, которая является хорошо изученным объектом линейной алгебры. Однако система описывает отраслевую структуру экономики и поэтому обладает следующими свойствами: коэффициенты прямых затрат a_ij, объемы конечного спроса y_i и валовые выпуски x_i - неотрицательны.

Система (1.2) называется работоспособной или продуктивной, если разрешима в неотрицательных x_i.

Двойственной к системе (1.2) называется следующая система линейных уравнений для цен продуктов p_j.

 (1.3)

Где  - добавлена стоимость на единицу выпуска j-й отрасли.

Поскольку  - сумма издержек на единицу выпуска j-й отрасли, то в левой части уравнений (1.2) - чистый доход от единичного выпуска j-й отрасли, который приравнивается к добавленной стоимости .

Система (1.3) - прибыльная, если она разрешима в неотрицательных  , j = 1, … , n. Так же известно , что продуктивность (1.2) и прибыльность (1.2.2) эквивалентны: из продуктивности системы следует прибыльность и наоборот.

Система (1.3) может записана и в виде матрицы:

(I - A)x = y, (1.4)

Где I = I_n - единичная матрица с размерами

Из (1.2.3) следует, что продуктивность (1.2.1) эквивалентно неотрицательной обратимости матрицы (I - A) . если одно из условий выполняется, то

x = (I - A)^-1y, (1.5)

причем .

Обозначим через N множество номеров отраслей N = {1, … , n}. Подмножество отраслей S изолировано, если a_ij = 0 для , т. е. отрасли не

 (1.6)

Где А₁ - квадратная матрица с размерами , отвечающая отраслям S; А₃ - квадратная матрица с размерами , отвечает отраслям S.

Технологическая матрица называется неразложимой, если ее нельзя путем перестановок строк и столбцов привести к виду (1.6). Неразложимость А означает, что каждая отрасль косвенно использует продукцию всех отраслей.

Таким образом, если модель Леонтьева продуктивна, то для любого вектора спроса  однозначно определяется неотрицательный вектор валового выпуска х по формуле:

 (1.7)

Для производства данного объема конечного спроса у необходимо затратить Ау продуктов, но сначала их надо произвести, для чего понадобиться А²у продуктов и т.д.

Матрица А^* = (I -A)^-1 > 0 называется матрицей полных затрат, т.к.

х = (I -A)^-1у= А^*у. (1.8)

Каждый ее коэффициент a_ij показывает, сколько надо произвести единиц i-го продукта на единицу j-го конечного продукта.

1.5 Математическую модель рынка. Модель Вальраса

Основными условиями модели Вальраса являются:

1.      дезагрегированность участников рынка (рассматриваются отдельные потребители и отдельные производители);

.        совершенность конкуренции;

.        общность равновесия (рассматривается равновесие по всем товарам сразу, а не по отдельным товарам).

Предположим, что на рынке продаются и покупаются товары двух видов: готовые товары, являющиеся продуктом производства (товары конечного потребления) и производственные ресурсы (первичные факторы производства). Таким образом, рассматривается «расширенное» пространство товаров , где n = n₁ + n₂ - число видов всех товаров, n₁ - число видов товаров конечного потребления, а n₂ - число видов производственных факторов. Обозначим:

k - индексы видов товаров (),

i - индексы потребителей (),

j - индексы производителей (),

 - вектор цен товаров.

Так как потребитель, как участник рынка, не занятый в производстве, может продавать имеющиеся ресурсы, а производитель, занятый в производстве, продает свою готовую продукцию и покупает ресурсы. Таким образом, каждый i-й потребитель характеризуется:

·        начальным запасом товаров ,

·        функцией дохода ,

·        вектор - функцией спроса на продукты производства  со значениями из .

Каждый j-й производитель характеризуется:

·        вектор - функцией предложения готовой продукции  со значениями из ,

·        вектор - функцией спроса на ресурсы  со значениями из .

Следовательно, , где  - производственная вектор - функция j-го производителя . С учетом всего выше сказанного, математической моделью рынка является совокупность элементов:

 (1.1)

Вектор p=(p₁,..,p_n) содержит цены, как товаров, так и затрат.

Доход каждого потребителя предполагается состоящим из двух слагаемых:

·        выручка от продажи его начального запаса товаров , ,

·        доход от участия в прибыли производственного сектора , который в свою очередь складывается через приобретение ценных бумаг, инвестиционной и трудовой деятельности.

Таким образом:

.

Рассмотрим вектор - функцию, и назовем ее производственным планом j-го производителя:

,

Следовательно, прибыль производителя выражается функцией

.

Считается, что вся прибыль производственного сектора распределяется между потребителями и поэтому

.

Функция спроса на товары конечного потребления  являются результатом оптимизации функции полезности i - го потребителя при заданном доходе . Соответственно считаем, что значения функции спроса на затраты  и функции предложения выпуска  является результатом решения соответствующих задач по оптимизации прибыли j - го производителя при ценах p.

Введем понятия совокупного спроса и совокупного предложения.

Определение 5 .Вектор - функция

называется функцией совокупного (рыночного) спроса, где первая сумма выражает общий спрос на товары конечного потребления, а вторая - общий спрос на ресурсы.

Определение 6. Вектор - функция

.

При таком определении смысл совокупного спроса и предложения соответствует их формированию на основе решения соответствующих индивидуальных экстремальных задач для потребителей и производителей.

Определение 7.Набор векторов  называется конкурентным равновесием на рынке , если  и D()=S(), где  - равновесный вектор цен.

Из построенной по Вальрасу модели рынка вытекает следующий вывод. Чтобы найти равновесный вектор цен, надо:

1.      Записать все соотношения оптимальности для каждой индивидуальной задачи потребителя по оптимизации его функции полезности и для каждого индивидуальной задачи производителя по оптимизации его прибыли;

.        Дополнить их формулой дохода потребителя;

.        Записать условие распределения все прибыли среди потребителей;

.        Записать равенство S(p)=D(p);

.        Решить полученную систему уравнений относительно искомого вектора равновесных цен.

.6 Динамическая модель Кейнса

Согласно постулату Кейнса, выведенному из уроков кризиса 1929-1934 гг., «предприниматели производят не столько, сколько захотят, но столько, каков спрос». Если предположить, что спрос будущего года формируется в текущем году, то предприниматели спланируют производство будущего года в соответствии с прогнозируемым спросом.

В рассматриваемой модели роль единственной эндогенной переменнойY, изменяющейся во времени, выполняет валовой внутренний продукт (ВВП), т.е. объем производства товаров конечного пользования. ВВП состоит из четырех частей: фонд не производственного потребления C; валовые частные внутренние инвестиции I; государственные расходы на закупку товаров и услуг G; чистый экспорт E. В модели экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы распределяются на потребление и накопление, поэтому принимается:

Y = C + I

В модели предполагается, что спрос на инвестиционные товары постоянен, а спрос на потребительские товары в будущем году есть линейная функция ВВП текущего года:

СDt+1 = C + cYt

Где c- нижняя граница фонда непроизводственного потребления;

<c< 1 - предельная склонность к потреблению.

Динамическая модель Кейнса возникает, если приравнять планируемый выпуск товаров конечного пользования прогнозируемому спросу на них:

YT+1=C+ cYt + I. (1.1)

Эта модель может применяться только для анализа и краткосрочного прогнозирования поведения экономики. Она непригодна для долгосрочного прогнозирования, поскольку не отражает воспроизведенный процесс, в частности, в ней не учтено выбытие фондов в связи с их физическим и моральным износом.

С математической точки зрения модель (1.1) является линейным конечно-разностным уравнения первого порядка. Между разностными и дифференциальными уравнениями прямая аналогия, хотя есть и определенные различия. Поэтому в приложении 2 приведены только сведенья о линейных дифференциальных уравнениях, которые аналогичны и для разностных уравнений.

В частности, общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения (1.1).

Решение однородного уравнения

Yt+1 - cYt=0

Будем искать в виде Yt = λt, поэтому

λt+1 - cλt=0

и для определения λ получаем характеристическое уравнение

λ - c = 0, λ = c

поэтому общее решение однородного уравнения

Yt = Act

Где A - постоянная.

Частное решение неоднородного уравнения (2.1.1) равно (проверяется непосредственной подстановкой в уравнение):

Y_E =

Поэтому общее решение неоднородного уравнения таково;

Y_t = Y_E + Ac^t, t = 0, 1, 2, …

ПостояннуюAопределяем с помощью начального значения Y₀;

Y₀  = Y_E + A

Откуда

A = Y₀ - Y_­E

Поэтому окончательно получаем конкретное решение уравнения (2.1.1):

Y_t = Y_E + (Y₀ - Y_E) c^t,                                              (1.2)

при этом = Y_E, так как 0 <c<1,т. Е. Y_E-  установившееся значение ВВП.

В одной из задач к настоящей главе  предлагается выяснить как поведет себя экономика, находящаяся в установившемся состоянии, при инвестициях I,         если ежегодные инвестиции увеличатся на I.

Глава II. Нелинейная динамическая модель

2.1 Модель Солоу

Сравнительно простая непрерывная динамическая модель, адекватно отражающая важнейшие экономические аспекты процесса расширенного воспроизводства, известна в экономической литературе как модель Солоу. Модель Солоу позволяет охарактеризовать основные формальные особенности моделей динамики. В модели Солоу экономика рассматривается как замкнутое единое неструктурированное целое, производит один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться.

В этой модели рассматриваются пять макроэкономических показателей:

Y- валовой внутренний продукт (ВВП);

I- валовые инвестиции;

C- фонд потребления;

K- основные производственные фонды;

L- число занятых в производственной сфере;

.2 Модель Солоу с дискретным временем

Модель Солоу с дискретным временем задается системой уравнений вида:

Yt = F(Kt, Lt), (1)

Yt = It + Ct, (2) (1.1)

Kt = ( 1-µ ) Kt-1 + It-1, (3)

Lt = ( 1+ν )Lt-1, (4)

где t=0 - базовый год;

t=T - конечный год изучаемого периода;

K0, I0, L0 считаются заданными.

С содержательной точки зрения эти уравнения имеют следующий смысл. Первое уравнение задает ВВП как производственную функцию от ресурсов - основных производственных фондов и числа занятых. Второе уравнение - распределение ВВП на валовые инвестиции и потребление. Третье уравнение - это рекуррентные соотношение для определения ОПФ будущего года по значениям ОПФ и инвестиции текущего года. В этом уравнении µ - коэффициент выбытия (износа) ОПФ в расчете на год. Данный коэффициент предполагается постоянным. Из уравнения видно, что инвестиции, сделанные в текущем году, материализуются в фонды в будущем году, т.е. лаг капиталовложений равен одному году. Четвертое уравнение - это рекуррентное соотношение для определения числа занятых в будущем году на основании числа занятых в текущем году. Как видим, данное уравнение основано на гипотезе постоянства годового темпа прироста числа занятых ν.

С точки зрения классификации элементов на статические и динамические, уравнения (1.1) ( каждое из которых является формализованной записью элемента) могут быть истолкованы следующим образом. Первое уравнение задает нелинейный статический элемент (вход - Kt, Lt, выход - Yt), второе - линейный статический элемент (вход - Yt, выход - It ,Ct), третье - линейный динамический элемент (вход - Kt-1 , It-1, выход - Kt), четвертое - линейный динамический элемент (вход - Lt-1, выход - Lt).

Таким образом, экономика в форме Солоу, видимым образом неструктурированная, на самом деле структурируется в контур с обратной связью, показанный на рис. 1. Тем самым экономика в форме модели Солоу является динамической системой, поскольку в её составе имеется динамические элементы.

                                                                                         I_t-1 (начало цикла)

                                                              K_t I_t (начало   цикла t+1)  

                              L_t                                               Y_t                                      C_t

Рис.1. Структурная схема модели Солоу

Структурную схему, представленную на рис.1, можно перестроить с управляемой точки зрения. В самом деле, в реальной экономике одним из наиболее важных рычагов управления является распределение ВВП на накопление (валовые инвестиции) и потребление. Поэтому статическое распределенное звено (второе уравнение 1.1) на самом деле можно рассматривать как управляющее. Подобный вариант структурыпоказан на рис.2. На этой схеме первое и третье звенья вместе образуют объект управления, второе (распределительное) звено играет роль управляющего, а выход четвертого звена Lслужит входом в систему, выходом которой является потребление С. Сама система из управляемого объекта и управляющего звена.

                                   Lt

Ct

Рис. 2. Скорректированная структурная схема модели Солоу

2.3 Модель Солоу с непрерывным временем

Предположим теперь , что время, измеряемое вначале с дискретностью в один год, будет измеряться с дискретностью t (например, полугодие, квартал, месяц, декада, день). При дискретном времени в один день время можно считать практически непрерывным.

При дискретности t модель Солоу будет выглядеть следующим образом:

Y_t = F(K_t, L_t),                                          

Y_t = I_t + C_t,                                              (1.2)

K_t - K_t-Δt = (-µ K_t-Δt  + I_t-Δt )Δt,          

L_t  - L_t-Δt = νL_t-ΔtΔt,     t = Δt, 2 Δt, …, n Δt, n=,

где Yt, It, Ct - соответственно ВВП, инвестиции и потребление за год, начинающийся в момент t;

µKt-ΔtΔ - выбытие фондов за время (t-Δt, t);

It-ΔtΔt - инвестиции за время (t-Δt, t);

ν Lt-Δt Δt - прирост занятых за время (t-Δt, t);

При переходе к пределу при 0 уравнеия (1.2) принимают следующую форму:

Y_t = F(K_t, L_t),                                          (1)

Y_t = I_t + C_t,                                              (2)      (1.3)

= -µ K + I,      K(0) = K₀,                   (3)

= νL,      L(0) = L_0,    t=,           (4)

Данная модель может быть представлена в такой же структурной форме, как это показано на рис.1, 2, однако при этом уравнения (3), (4) (1.1) должны быть заменены уравнениями (3), (4) (1.3)

                                                                                It-1 (начало цикла)

                                                                                                      It (начало цикла t+1)

Kt

                      Lt             t                                 Yt                                 Ct

Рис.3. Структурная схема модели Солоу

                                   Lt

                                                                                                                Ct

Рис. 4. Скорректированная структурная схема модели Солоу

Следует заметить, что модель Солоу в дискретной форме (1.1) и модель Солоу в непрерывном форме (1.3), несомненно, являются разными моделями и расчеты по ним приводят к разным, однако достаточно близким результатам.

При характеристике модели Солоу обычно говорят, что в ней экономика представляет собой неструктурированное целое и производит один агрегированный продукт, который может потребляться, так и инвестироваться. Данное утверждение можно интерпретировать как представление экономики в виде одного динамического элемента.

Однако про более детальном знакомстве с моделью становиться ясно, что экономика в форме модели Солоу состоит из четырех элементов, объеденных в контур обратной связи. Кроме того, экономика нелинейна, поскольку связь между выпуском и затратим ресурсов задается в виде нелинейной производственной функции.

Заключение

В данной работе были рассмотрены математические модели рынка, динамические, статические модели.

С помощью формализации основных особенностей функционирования экономических объектов, мы оценили возможные последствия воздействия на них и использовали такие оценки в управлении.

Экономические модели, рассмотренные в данной работе, позволили нам выявить особенности функционирования экономического объекта и, полагаясь на это, заметили будущее поведение объекта при изменении каких - либо параметров.

в современном обществе часто возникает вопрос об анализе перетока товаров между отраслями экономики.

В данной работе мы подробно рассмотрели выше указанную проблему современного общества на знаменитой модели Солоу. Так же при дальнейшем изучении данную модель мы сможем использовать для описания ряда других экономических задач.

Список литературы

1       Власов, М. П. Моделирование экономических процессов./ М. П. Власов, П. Д. Шимко. Ростов - на - Дону: Феникс, 2005.

         Дудов, С. И. Математическая экономика./ С. И. Дудов, Е. А. Мещерякова. Саратов: Изд-во Саратовский гос. ун-т, 2008.

         Суровцов, Л. К. Математическая экономика./ Л. К. Суровцов. Санкт - Петербург: Санкт - Петербургский гос. ун-т, 2009.

         Фетисов, Г. Г. Региональная экономика и управление./ Г. Г. Фетисов, В. П. Орешин - Москва: ИНФРА- М, 2006.

         Челноков, И. В. Региональная экономика: организационно - экономический механизм управления ресурсами развития региона./ И. В. Челноков, В.В. Быковский. Тамбов: Тамбовский гос. техн. ун-т, 2002.

Интернет ресурсы

6       Воскресенский, Е. В. Математическое моделирование демографической ситуации региона./ Е. В. Воскресенский. <http://svmo.mrsu.ru/lib/voskresensky_mmdsr/>

Данилов Н.Н. Основы математической экономики./Н.Н.