Математические методы принятия управленческих решений
Министерство
сельского хозяйства Российской Федерации
Федеральное
государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Самарская
государственная сельскохозяйственная академия»
Институт
управленческих технологий и аграрного рынка
Кафедра
Государственного и муниципального управления
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА № 4С
по
курсу «Математические методы принятия управленческих решений»
Самара
2011
Содержание
I. Расчеты
вручную симплекс методом задачи линейного программирования с необходимыми
пояснениями
F=
10 x1+7x2+4x3―>max
x1+3x2+2x3
≤ 12
x1+4x2+3x3
≤ 60
x1+6x2+3x3
≤ 401-3≥0
II. Математическая
модель двойственной задачи с пояснениями полученных результатов.
III. Решение
задачи машинным способом в Ms Excel с применением электронной таблицы и
сравнение полученных результатов с ручным решением.
Выводы
по работе.
Список
использованной литературы
линейный
программирование симплекс excel
Условие задачи.
F= 10 x1+7x2+4x3―>max1+3x2+2x3
≤
12
x1+4x2+3x3
≤
60
x1+6x2+3x3
≤
40
x1-3≥0
. Расчеты вручную симплекс-методом с
необходимыми пояснениями
Решение
. Приведем математическую модель к
канонической форме, для того чтобы можно было применить единый алгоритм решения
задачи.[1] Математическая модель записана в канонической форме, если одновременно
выполняются следующие условия:
· Целевая функция стремится к max;
· Ограничения в задаче должны иметь
вид равенств; если ограничения имеют знак ≤, то в его левую часть
необходимо добавить новую дополнительную переменную, такую, чтобы получилось
равенство. Вновь введенную дополнительную переменную также ввести в целевую
функцию с нулевыми коэффициентами;
· Условие неотрицательности
распространить и на дополнительные переменные.
F= 10 x1+7x2+4x3
+
х4+х5+х6―>max1+3x2+2x3
+
х4 = 12
x1+4x2+3x3
+
х5 = 60
x1+6x2+3x3
+х6
= 40
x1-6≥0
. Нахождение исходного базисного плана
задачи линейного программирования.
Исходный базисный план - это не оптималный план,
однако с помощью серий последовательных шагов - итераций - от этого плана можно
придти к оптимальному плану
Для нахождения такого базисного плана необходимо
в каждом уравнении выбрать одну переменную с коэффициентом 1 и который не
входит больше ни в какие уравнения. Остальные переменные будут свободные и их
значение можно принять за 0.
m = 3, число уравнений;
n = 6, число
неизвестных,
так как n>m,
то система имеет бесчисленное множество решений.
В данном случае m
- n = 6-3=3 неизвестных можно принять за нулевые.
х4 = 12
х5 = 60 исходный базисный план
х6 = 40
x1 =
0
x2 =
0 свободные переменные
x3 =
0
следовательно F = 0
. Построение исходного базисного плана
Итерация 0
|
Базис
|
Его
значение
|
x1
|
x2
|
x3
|
х4
|
х5
|
х6
|
|
х4
|
12
|
1
|
3
|
2
|
1
|
0
|
0
|
|
х5
|
60
|
3
|
4
|
0
|
1
|
0
|
|
х6
|
40
|
5
|
6
|
3
|
0
|
0
|
1
|
|
F
|
0
|
10
|
7
|
4
|
0
|
0
|
0
|
. Проверка полученного плана на
оптимальность.
Выполняется по последней строке таблицы. Если в
последней строке все коэффициенты ≤ 0, то план является оптимальным.
В нашем случае (10, 7, 4 > 0), следовательно,
план является не оптимальным.
. Выбираем переменную для включения в
базисный план max (10, 7, 4) = 10, следовательно х1 включить в
базис.
. Выбираем переменную, т.е. вид продукта
для исключения из базисного плана, как продукции невыгодной по расходу ресурса.
min (12/1,
60/3, 40/5) = 40/5, следовательно х6 исключить из базиса.
. Составляем новую симплексную таблицу
Итерация 1
|
|
|
|
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
|
Базис
|
Его
значение
|
x1
|
x2
|
x3
|
х4
|
х5
|
х6
|
|
х4
|
4
|
0
|
1,8
|
1,4
|
1
|
0
|
0
|
|
х5
|
36
|
0
|
04
|
1,2
|
0
|
1
|
0
|
|
х1
|
8
|
1
|
1,2
|
0,6
|
0
|
0
|
0,2
|
|
F
|
-80
|
0
|
-5
|
-2
|
0
|
0
|
0
|
V2
|
V3
|
Z1
|
Z2
|
Z3
|
. Проверка полученного плана на оптимальность.
Выполняется по последней строке таблицы. Если в
последней строке все коэффициенты ≤ 0, то план является оптимальным.
В нашем случае (-80, -5, -2< 0),
следовательно, план является оптимальным.
Ответ:
х1* = 8
х2* = 0
х3* = 0
F* (х) = 80 у.е.
х4* = 4, х5* = 36, это
остаток ресурса 1 го и 2-го вида на складе, который остался не израсходованным.
х6* = 0, ресурс 3-го вида
израсходован полностью.
. Математическая модель двойственной
задачи с пояснениями полученных результатов
Каждой прямой задаче линейного программирования
соответствует некоторая двойственная задача. При этом выполняется следующее
условие F(X) max= F(Z) min.
Образуем двойственную задачу по следующим
правилам[2]:
· если в прямой задаче целевая функция
стремится к max, то в двойственной к min;
· количество оптимизационных
параметров в двойственной задаче равно числу ограничений в прямой задаче (Z1,Z2,Z3
-
двойственные переменные)
(Z) = 12×
Z1
+60×
Z2
+40×
Z3 ―> min
· коэффициенты при целевой функции
двойственной задачи равны правы частям ограничений в прямой задаче
· коэффициенты левых частей
ограничений в двойственной задаче равны транспонированной матрице коэффициентов
прямой задачи
т
1 3 2
1 3 5
3
4 3 = 3 4 6
5
6 3 2 3 3
Z1 +3Z2
+5Z3
≥
10
3Z1
+4Z2
+6Z3
≥
7
2Z1
+3Z2
+3Z3
≥
4
· если в прямой задаче знаки ограничений ≤,
то в двойственной наоборот ≥.
· Коэффициенты правых частей в
двойственной задаче равны коэффициентам при целевой функции в прямой задаче.
· Условия неотрицательности
распространяется и на двойственные переменные
Z1 -3 ≥
0
Z1 =
0; Z2 =
0; Z3 =
0 (см. Таблицу Итерация 1)
Z1 -3 показывают
прибыль, которая получится при дополнительной закупке 1 ед. ресурса.
V1 = 0, V2
= -5, V 3 = -2, эти
переменные показывают ущерб, который получается при выпуске 1 ед. продукции.
Продукция 1-го вида ущерба не дает, так как это активная продукция. Продукция
2-го и 3-го вида - невыгодная продукция, поэтому они дают ущерб и больший ущерб
дает продукция 2-го вида.
III. Решение
задачи машинным способом в Ms Excel с применением электронной таблицы и сравнение
полученных результатов с ручным решением. Выводы по работе.
Вывод по работе: результаты ручного и машинного
расчетов совпали.
Список использованной литературы
1. Акулич
И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.:Высшая школа,
1986.
. Алесинская
Т.В. Учебное пособие по решению задач по курсу "Экономико-математические
методы и модели". Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002.
. Красс
М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании. - М.:ДЕЛО, 2001.