Определение экономических показателей матричным методом. Анализ экономико-математической модели двойственной задачи

Содержание

Задача A.

Задача Б.

Задача В.

Задача Г.

Задача Д.

Список использованных источников

Задача A

Для условной экономики, состоящей из трех отраслей, за отчетный период известны межотраслевые потоки:

и вектор конечного использования:

.

Требуется:

1.      Построить схему межотраслевого баланса.

2.      Рассчитать плановый межотраслевой баланс при условии, что в плановый период известен валовой выпуск продукции:

.

Привести числовую схему баланса.

3.      Проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат.

4.      Определить, каким должен быть валовой выпуск продукции отраслей в плановый период, если известен вектор конечного использования:

.

5.      Какое влияние в условиях рынка оказывает увеличение цены на продукции отрасли  в два раза на изменение цен в других отраслях. Структуру затрат отчетного периода сформировать самостоятельно, исходя из того, что на заработную плату приходится в соответствующих отраслях  процентов от валовой добавленной стоимости. Рост зарплаты отстает от роста цен, коэффициент эластичности зарплаты-цены составляет . Реальная динамика затрат в прогнозном периоде неизменна.

.        Какое влияние оказывает увеличение зарплаты в отрасли  на  на увеличение цены продукции в других отраслях. Зарплата в них неизменна.

, , ,

, , , .

Решение

Используем для решения задачи MS Excel

. Составим схема межотраслевого баланса в отчетном периоде:

Отрасли-производители	Отрасли-потребители			Промежуточное потребление	Конечное использование	Валовой выпуск
	1	2	3
1	40	30	50	200	350	550
2	25	30	33	160	280	440
3	10	45	40	120	210	330
Промежуточные  затраты	75	105	123	480	840
Валовая добавленная стоимость	475	335	207	1017
Валовой выпуск	550	440	330

Расчеты выполняем следующим образом.

а) Промежуточное потребление:

для первой отрасли: 40+30+50=200,

для второй отрасли: 25+30+33=160,

для третьей отрасли: 10+45+40=120.

б) Промежуточные затраты:

для первой отрасли: 40+25+10=75,

для второй отрасли: 30+30+45=105,

для третьей отрасли: 50+33+40=123.

в) Валовой выпуск равен сумме промежуточного потребления и конечного использования.

г) Валовая добавленная стоимость равна разности валового выпуска и промежуточных затрат.

. Рассчитаем теперь коэффициенты прямых затрат - элементы матрицы прямых затрат по формуле:

.

Получаем матрицу:

	0,072727	0,068182	0,151515
A=	0,045455	0,068182	0,100000
	0,018182	0,102273	0,121212

Матрица «затраты-выпуск» равна :

	0,927273	-0,068182	-0,151515
B=E-A=	-0,045455	0,931818	-0,100000
	-0,018182	-0,102273	0,878788

Вектор конечного использования равен: . Получаем:

	8
Yплан.=	67
	424

Объемы межотраслевых поставок: :

7	9	76
5	9	50
2	13	61

Схема межотраслевого баланса на плановый период:

Отрасли-производители	Отрасли-потребители			Промежуточное потребление	Конечное использование	Валовой выпуск
	1	2	3
1	7	9	76	92	8	100
2	5	9	50	67	130
3	2	13	61	76	424	500
Промежуточные затраты	14	31	186	231	499	730
Валовая добавленная стоимость	86	99	314	499
Валовой выпуск	100	130	500	730

3. Вычисляем определитель , следовательно, обратная матрица  существует. Матрица коэффициентов полных затрат:

	1,170999	0,237164	0,360687
С=	0,068083	1,172939	0,194038
	0,056507	0,217294	1,211334

Элементы этой матрицы положительны, значит,  - продуктивная матрица.

. Вектор валового выпуска, соответствующий вектору конечного использования в плановый период, равен :

157

127

109

. На основе данных за базисный период находим заработную плату по отраслям:

.

Получаем:

190

100,5

62,1

Другие элементы добавочной стоимости определяются как разность ВДС и заработной платы:

285

234,5

144,9

Величина затрат во второй отрасли не влияет на формирование цен. Система балансовых уравнений для первой и третьей отраслей с учетом коэффициента эластичности:

Приводя подобные, получаем систему уравнений в матричном виде:

.

Решая ее, получим: . Т.о., увеличение цены на продукцию во второй области вдвое влечет уменьшение цены на продукцию в первой отрасли на 62,7%, а в третьей - уменьшение на 43,7%.

7.  Имеем систему уравнений:

В матричном виде она выглядит так:

.

Решение системы: . Следовательно, в первой области цены увеличатся на 1,4%, во второй - на 5,0%, в третьей - на 18,7%.

баланс экономический математический двойственный

Задача Б

На предприятии имеется возможность выпуска трех видов продукции . При ее изготовлении используются ресурсы . Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами . Расход ресурса -го вида на единицу продукции -го вида составляет единиц. Цена единицы продукции -го вида равна .

Требуется:

1.       найти план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход;

2.      сформулировать в экономических терминах двойственную задачу, составить математическую модель двойственной задачи и решить ее;

.        используя решение исходной и двойственной задач, а также соответствие между двойственными переменными провести анализ, плана, указать наиболее дефицитный и избыточный ресурс, если он имеется.

, , .

1. Пусть x_j - это количество единиц продукции соответственно П_j планируемой к выпуску, а f - величина прибыли от реализации этой продукции.

Составим экономико-математическую модель задачи.

Учитывая значение прибыли от единицы продукции, запишем суммарную величину прибыли - целевую функцию - в следующем виде:

Переменные x_j должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия:

По смыслу задачи переменные должны быть неотрицательными:

Решаем задачу в MS Excel. Составим следующую таблицу:

Формулы использовали такие:

Выполняем последовательность команд Сервис - Поиск решения.

Поля в появившемся окне заполняем таким образом:

Нажимаем кнопку Выполнить, получаем результат:

Т.о., по оптимальному плану следует изготовить 55 ед. продукции второго вида, продукцию первого и третьего видов - не выпускать. Останутся неиспользованными 35 ед. первого ресурса и 205 ед. третьего ресурса. Прибыль при этом будет максимальна и составит 1540 ден. ед.

. Составим экономико-математическую модель двойственной задачи.

Пусть y_i - цена единицы ресурса Р_i, z - суммарная стоимость ресурсов. Требуется минимизировать затраты покупающего ресурсы предприятия, при этом нашему предприятию продажа должна быть менее выгодна, чем производство продукции.

Двойственная задача:

,

Решаем задачу в MS Excel. Первоначальная таблица:

Заполняем окно Поиск решения следующим образом:

Результаты:

. Соответствие между переменными:

x1	x2	x3	x4	x5	x6
y4	y5	y6	y1	y2	y3

Запишем оптимальный план двойственной задачи:

, .

Так как , то второй ресурс дефицитен, первый и третий ресурсы являются избыточными, для них . При увеличении использования второго ресурса на единицу прибыль увеличится на 7 ден. ед., первого и третьего - прибыль не изменится.

Задача В

Экономисты оптового торгового предприятия на основе возможных вариантов поведения поставщиков П₁, П₂, П₃, П₄ разработали несколько своих хозяйственных планов O₁, O₂, О₃, О₄, а результаты всех возможных исходов представили в виде матрицы прибыли (выигрышей). Определить оптимальный план оптового торгового предприятия. Для анализа использовать следующие критерии:

1.      критерий Вальда,

2.      критерий Сэвиджа,

.        критерий Лапласа,

.        критерий Байеса с вероятностями (0,1;0,2;0,3;0,4),

.        критерий Гурвица с коэффициентом p=0.2.

Хозяйственный план	Прибыль по каждому варианту, млн. руб.
	П1	П2	П3	П4
О1	3,6	4,7	4,3	4,7
О2	4,3	4,2	3,9	5
О3	5,1	4,9	4,3
О4	4,0	2,9	4,0	4,2

Решение

По условию матрица выигрышей равна:

.

Пересчитаем матрицу выигрышей в матрицу рисков по формуле:

, где .

Получаем:

.

) По критерию Вальда оптимальной является стратегия, для которой достигается максимум:

, т.е.  - оптимальная стратегия.

) По критерию Сэвиджа оптимальной является стратегия, для которой достигается минимум:

, т.е.  и  - оптимальные стратегии.

) По критерию Лапласа оптимальной является стратегия, для которой достигается максимум:

т.е.  - оптимальная стратегия.

) По критерию Байеса оптимальной является стратегия, для которой достигается максимум:

.

Вычисляем:

,

,

,

.

Получаем:

 т.е.  - оптимальная стратегия.

) По критерию Гурвица оптимальной является стратегия, для которой достигается максимум:

.

Вычисляем:

,

,

,

.

Получаем:

 т.е.  - оптимальная стратегия.

Приведем выполнение задания в MS Excel:

Результаты:

Формулы:

Задача Г

Выполнить экономический анализ полученной модели:

. Построить изокванты и изоклины производственной функции. Дать их экономическое обоснование.

. Найти и дать экономическое толкование следующим основным параметрам и характеристикам производственной функции:

а) средние производительности факторов производства и ресурсоемкости продукции;

б) предельные производительности факторов производства;

в) предельные нормы замещения факторов производства;

г) частные коэффициенты эластичности;

д) суммарную эластичность по масштабу производства;

е) эластичность замещения факторов производства;

ж) объяснить экономический смысл эластичностей;

и) дать геометрическую интерпретацию ПФ и построить изокванты ПФ;

к) объяснить, за счет чего фирме выгоднее производить интенсификацию производства.

А	а1	а2
8,32	0,32	0,475

Решение

Задача Д

функция предложения: S=S(p),

функция спроса: D=D(p).

Необходимо:

. построить функции спроса и предложения;

. построить модель процесса выравнивания цен том случае, если начальная цена p₀ не совпадает с равновесной ценой;

. найти равновесную цену, определить процесс сходимости к равновесной точке и изобразить этот процесс графически.

S(p)	D(p)	Модель	Р0
р+20	8/р	Паутинообразная	10

Решение

Список использованных источников

1.       Васильев В.П. Исследование операций в экономике. Пособие и практикум на ПК. МФ МЭСИ, 2007.

2.      Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.-287 c.

.        Экономико-математические методы и модели: учеб.-практ.пос./ под общ.ред. С.Ф. Миксюк, В.Н. Комкова. - Мн.: БГЭУ, 2006.-219 c.