Тригонометрические функции

Вид работы:

Учебное пособие
Предмет:

Математика
Язык:

Русский
,
Формат файла:
MS Word

837,31 Кб
Опубликовано:

2012-04-17

Скачать учебное пособие Читать текст online Посмотреть все учебные пособия

Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.

Тригонометрические функции

Углы и их измерение

Пусть даны два совпадающих луча - подвижный и - неподвижный. И пусть луч поворачиваясь в плоскости вокруг точки , совершит некоторый поворот. Такой поворот, при котором луч впервые опять совпадет с лучом , называется полным оборотом.

Пусть луч совершил некоторый поворот, тогда говорят, что он задает угол , соответствующий этому повороту. Другим определением угла является геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, которая называется вершиной угла. Луч носит название начала отсчета и обычно направлен горизонтально вправо.

Для измерения углов применяют две меры.

Градусная мера угла

Поворот, равный полного оборота против часовой стрелки задает угол в один градус

Различают также следующие доли градуса: 1 минута = 1’ = 1/60 градуса; 1 секунда = 1’’ = 1/60 минуты = 1/3600 градуса.

Угол, равный 180о или половине полного оборота называют развернутым, равный 90о или четверти полного оборота - прямым.

Радианная мера угла

Рассмотрим два луча - подвижный и - неподвижный. Выберем на них точки и , которые в начальный момент времени совпадают. При повороте точка будет описывать окружность радиуса . Повернем подвижный луч так, чтобы точка прошла расстояние, равное радиусу: , тогда луч составит с лучом угол в один радиан.

Если повернуть подвижный луч так, чтобы точка прошла расстояние , тогда луч составит с лучом угол в радиан.

При совершение полного оборота точка проходит расстояние, равное длине окружности , значит полный оборот соответствует углу радиан.

Из вышесказанного нетрудно установить, что радиан соответствует 180о. Таким образом

Соответствие между углами и числовым рядом

Радианная мера угла позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством углов и рядом действительных чисел. Это возможно, поскольку с одной стороны - это число, равное 3,14… с другой стороны это угол, соответствующий 180о. Таким образом, нетрудно установить взаимооднозначное соответствие между углами от 0 до 360о и действительными числами от 0 до . Для того, чтобы понять, как поставить в соответствие углы числам, превышающим , следует вспомнить, что совершив полный оборот подвижный луч возвращается в исходное положение, т.е. любым углам, различающимся на или кратное им будет соответствовать одно и то же взаимное положение подвижного или неподвижного лучей. Отрицательные же углы соответствуют повороту подвижного луча против часовой стрелки. Таким образом, любое действительное число представляет собой радианную меру какого-либо угла и наоборот, любому углу можно поставить в соответствие действительное число.

Тригонометрические функции

Определения

Определения тригонометрическим функциям даются с помощью тригонометрической окружности, под которой понимается окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Рассмотрим два радиуса этой окружности: неподвижный (где точка ) и подвижный (где точка ). Пусть подвижный радиус образует с неподвижным угол .

Число, равное ординате конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом , называется синусом угла : .

Число, равное абсциссе конца единичного радиуса, образующего угол с неподвижным радиусом , называется косинусом угла : .

Таким образом, точка , являющаяся концом подвижного радиуса, образующего угол , имеет координаты .

Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу

, , .

Котангенсом угла называется отношение косинуса этого угла к его синусу

, ,

Геометрический смысл тригонометрических функций

Геометрический смысл синуса и косинуса на тригонометрической окружности понятен из определения: это абсцисса и ординат точки пересечения подвижного радиуса, составляющего угол с неподвижным радиусом, и тригонометрической окружности. То есть , .

Рассмотрим теперь геометрический смысл тангенса и котангенса.

Треугольники подобен по трем углам (, ), тогда имеет место отношение . С другой стороны, в , следовательно .

Также подобен по трем углам (, ), тогда имеет место отношение . С другой стороны, в , следовательно .

С учетом геометрического смысла тангенса и котангенса вводят понятие оси тангенсов и оси котангенсов.

Осями тангенсов называются оси, одна из которых касается тригонометрической окружности в точке и направлена вверх, вторая касается окружности в точке и направлена вниз.

Осями котангенсов называются оси, одна из которых касается тригонометрической окружности в точке и направлена вправо, вторая касается окружности в точке и направлена влево.

Свойства тригонометрических функций

Рассмотрим некоторые основные свойства тригонометрических функций. Остальные свойства будут рассмотрены в разделе, посвященном графикам тригонометрических функций.

Область определения и область значений

Как уже было сказано ранее, синус и косинус существуют для любых углов, т.е. областью определения этих функций является множество действительных чисел.

По определению тангенс не существует для углов , , а котангенс для углов , .

Поскольку синус и косинус являются ординатой и абсциссой точки на тригонометрической окружности, их значения лежат в промежутке . Областью значения тангенса и котангенса является множество действительных чисел (в этом нетрудно убедиться, глядя на оси тангенсов и котангенсов).

Четность/нечетность

Рассмотрим тригонометрические функции двух углов (который соответствует подвижному радиусу ) и (который соответствует подвижному радиусу ). Поскольку , значит точка имеет координаты . Поэтому , т.е. синус - функция нечетная; , т.е. косинус - функция четная; , т.е. тангенс нечетен; , т.е. котангенс также нечетен.

Промежутки знакопостоянства

Знаки тригонометрических функций для различных координатных четвертей следуют из определения этих функций. Следует отметить, что поскольку тангенс и котангенс являются отношениями синуса и косинуса, они положительны, когда синус и косинус угла имеют одинаковые знаки и отрицательны когда разные.

синус косинус тангенс, котангенс

Периодичность

Периодичность синуса и косинуса основана на том факте, что углы, отличающиеся на целое количество полных оборотов, соответствуют одному и тому же взаимному расположению подвижного и неподвижного лучей. Соответственно и координаты точки пересечения подвижного луча и тригонометрической окружности будут одинаковы для углов, отличающихся на целое количество полных оборотов. Таким образом, периодом синуса и косинуса является и

где .

Очевидно, что также является периодом для тангенса и котангенса. Но существует ли меньший период для этих функций? Докажем, что наименьшим периодом для тангенса и котангенса является .

Рассмотрим два угла и . Оп геометрическому смыслу тангенса и котангенса , , , . По стороне и прилежащим к ней углам равны треугольники и , значит равны и их стороны, значит и . Аналогичным образом можно доказать, то , , где . Таким образом, периодом тангенса и котангенса является .

Тригонометрические функции основных углов

Формулы тригонометрии

Для успешного решения тригонометрических задач необходимо владеть многочисленными тригонометрическими формулами. Тем не менее, нет необходимости заучивать все формулы. Знать наизусть нужно лишь самые основные, а остальные формулы нужно уметь при необходимости вывести.

Основное тригонометрическое тождество и следствия из него

Все тригонометрические функции произвольного угла связаны между собой, т.е. зная одну функции всегда можно найти остальные. Эту связь дают формулы, рассматриваемые в данном разделе.

Теорема 1 (Основное тригонометрическое тождество). Для любого справедливо тождество

Доказательство состоит в применении теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами , и гипотенузой .

Справедлива и более общая теорема.

Теорема 2. Для того, чтобы два числа можно было принять за косинус и синус одного и того же вещественного угла , необходимо и достаточно, чтобы сумма их квадратов была равна единице:

Рассмотрим следствия из основного тригонометрического тождества.

Выразим синус через косинус и косинус через синус:

В данный формулах знак плюс или минус перед корнем выбирается в зависимости от четверти, в которой лежит угол.

Подставляя полученные выше формулы в формулы, определяющие тангенс и котангенс, получаем:

при , ,

при , .

Разделив основное тригонометрическое тождество почленно на или получим соотвественно:

при , ,

при , .

Эти соотношения можно переписать в виде:

при , ,

при , .

Следующие формулы дают связь между тангенсом и котангенсом. Поскольку при , а при , то имеет место равенство:

, ,

Формулы приведения

С помощью формул приведения можно выразить значения тригонометрических функций произвольных углов через значения функций острого угла. Все формулы приведения могут быть обобщены с помощью следующего правила.

Любая тригонометрическая функция угла , по абсолютной величине равна той же функции угла , если число - четное, и ко-функции угла , если число - нечетное. При этом если функция угла , положительна, когда - острый положительный угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.

Формулы суммы и разность углов

Теорема 3. Для любых вещественных и справедливы следующие формулы:

Доказательство остальных формул основано на формулах приведения и четности/нечетности тригонометрических функций.

Что и требовалось доказать.

Теорема 4. Для любых вещественных и , таких, что

. , , , , справедливы следующие формулы

2. , , , , справедливы следующие формулы

Доказательство. По определению тангенса

Последнее преобразование получено делением числителя и знаменателя этой дроби на .

Аналогично для котангенса (числитель и знаменатель в этом случае делятся на ):

Что и требовалось доказать.

Следует обратить внимание на тот факт, что правые и левые части последних равенств имеют разные области допустимых значений. Поэтому применение этих формул без ограничений на возможные значения углов может привести к неверным результатам.

Формулы двойного и половинного угла

Формулы двойного угла позволяют выразить тригонометрические функции произвольного угла через функции угла в два раза меньше исходного. Эти формулы являются следствиями формул суммы двух углов, если положить в них углы равными друг другу.

угол тождество тригонометрический функция

Последнюю формулу можно преобразовать с помощью основного тригонометрического тождества:

или

Таким образом, для косинуса двойного угла существует три формулы:

Следует отметить, что данная формула справедлива только при

и ,

Последняя формула справедлива при , .

Аналогично функциям двойного угла могут быть получены функции тройного угла. Здесь данные формулы приводятся без доказательства:

Формулы половинного угла являются следствиями формул двойного угла и позволяют выразить тригонометрические функции некоторого угла через функции угла в два раза больше исходного.

Произведем следующие преобразования:

и выразим через :

Аналогичные преобразования произведем для

Последние две формулы носят названия формул понижения степени.

Выведем формулу для :

Аналогично

Универсальная тригонометрическая подстановка

Эта группа формул позволяет выражать значения всех тригонометрических функций через тангенс половинного угла. Данные формулы часто используются при решении уравнений и произведении преобразований. Для того, чтобы выразить через воспользуемся ранее выведенной формулой:

при , .

Далее используя формулу и только что выведенное соотношение для косинуса получим зависимость между и :

последняя формула также имеет смысл при , .

Формулы для тангенса и котангенса получаются при помощи формул двойного угла:

при , , ,

при , .

Теорема 5. Для любых вещественных и справедливы следующие соотношения:

Доказательство. Запишем формулы косинуса и синуса суммы и разности для углов и :

Произведем следующие преобразования:

((1)-(2))/2:

((1)+(2))/2:

((3)+(4))/2:

Что и требовалось доказать.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Эти формулы также являются следствием формул суммы и разности двух углов.

Для получения формул суммы и разности функций заметим, что любые углы и можно представить следующим образом:

Найдем сумму синусов двух произвольных углов и

Найдем разность синусов двух произвольных углов и :

Найдем сумму косинусов двух произвольных углов и :

Найдем разность косинусов двух произвольных углов и

Найдем сумму и разность тангенсов двух углов и , таких что

, , :

Найдем сумму и разность котангенсов двух углов и , таких что , , :

Формула дополнительного (вспомогательного) аргумента

Рассмотрим выражение вида

в котором числа и не равны нулю одновременно. Домножим и поделим каждое из слагаемых на и вынесем общий множитель за скобки:

Нетрудно проверить, что

а значит по Теореме 2 существует такой вещественный угол , что

и .

Таким образом, используя формулу синуса суммы, получаем

Формула

где такой угол, что и , носит название формулы вспомогательного аргумента и используется при решении неоднородных линейных уравнений и неравенств.

Обратные тригонометрические функции

Определения

До сих пор мы решали задачу определения тригонометрических функций заданных углов. А что если стоит обратная задача: зная какую-либо тригонометрическую функцию определить соответствующий ей угол.

Арксинус

Рассмотрим выражение , где - известное вещественное число. По определению синуса это есть ордината точки пересечения луча, образующего угол с осью абсцисс и тригонометрической окружности. Таким образом, для решения уравнения надо найти точки пересечения прямой и тригонометрической окружности.

Очевидно, что при прямая и окружность не имеют общих точек, а значит и уравнение не имеет решений. То есть нельзя найти угол, синус которого был бы по модулю больше 1.

При прямая и окружность имеют точки пересечения, например, и (см. рис.). Таким образом, заданный синус будут иметь , и все углы, отличающиеся от них на целое количество полных оборотов, т.е. , , - бесконечное множество углов. Как выбрать один угол среди этого бесконечного множества?

Чтобы однозначно определить угол , соответствующий числу , приходится требовать выполнения дополнительного условия: этот угол должен принадлежать отрезку . Такой угол называют арксинусом числа .

Арксинусом действительного числа называется действительное число , синус которого равен . Такое число обозначают .

Арккосинус

Рассмотрим теперь уравнение вида . Для его решения необходимо найти на тригонометрической окружности все точки, имеющие абсциссу , т.е. точки пересечения с прямой . Как и в предыдущем случае при рассматриваемое уравнение не имеет решений. А если , имеются точки пересечения прямой и окружности, соответствующие бесконечному множеству углов , , .

Чтобы однозначно определить угол , соответствующий данному косинусу, вводят дополнительное условие: этот угол должен принадлежать отрезку ; такой угол называют арккосинусом числа .

Арккосинусом действительного числа называется действительное число , косинус которого равен . Такое число обозначают .

Арктангенс и арккотангенс

Рассмотрим выражение . Для его решения надо найти на окружности все точки пересечения с прямой , угловой коэффициент которой равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Такая прямая при всех действительных значениях пересекает тригонометрическую окружность в двух точках. Эти точки симметричны относительно начала координат и соответствуют углам , , .

Для однозначного определения угла с заданным тангенсом его выбирают из интервала .

Арктангенсом произвольного действительного числа называется действительное число , тангенс которого равен . Такое число обозначают .

Для определения арккотангенса угла используются аналогичные рассуждения, с той лишь разницей, что рассматривается пересечение окружности с прямой и угол выбирается из интервала .

Арккотангенсом произвольного действительного числа называется действительное число , котангенс которого равен . Такое число обозначают .

Свойства обратных тригонометрических функций.

Область определения и область значения.

Четность нечетность.

Преобразование обратных тригонометрических функций

Для преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции, часто используются свойства, следующие из определения этих функций:

Для любого действительного числа выполняется

, ,

и наоборот:

, ,

Аналогично для любого действительного числа выполняется

, ,

и наоборот:

, ,

, .

Графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций

Графики тригонометрических функций

Начнем с построения графика функции на отрезке . Для этого воспользуемся определением синуса на тригонометрической окружности. Разделим тригонометрическую окружность на (в данном случае 16) равных частей и разместим рядом систему координат, где отрезок на оси также разделен на равных частей. Проводя прямые линии параллельно оси через точки деления окружности, мы на пересечении этих прямых с перпендикулярами, восстановленными из соответствующих точек деления на оси , получаем точки, координаты которых по определению равны синусам соответствующих углов. Проводя через эти точки плавную кривую, получим график функции для . Для получения графика функции на всей числовой прямой используют периодичность синуса: , .

Для получения графика функции воспользуемся формулой приведения . Таким образом, график функции получается из графика функции путем параллельного переноса влево на отрезок длиной .

Использование графиков тригонометрических функций дает еще один простой способ получения формул приведения. Рассмотрим несколько примеров.

Упростим выражение . На оси обозначим угол и обозначим его синус и косинус за и соответственно. Найдем на оси угол и восстановим перпендикуляр до пересечения с графиком синуса. Из рисунка очевидно, что .

Задание: упростить выражение .

Перейдем к построению графика функции . Сначала вспомним, что для угла тангенсом является длина отрезка АВ. По аналогии с построением графика синуса, разбивая правую полуокружность на равные части и откладывая получившиеся значения тангенсов получаем график, изображенный на рисунке. Для остальных значений график получается с использованием свойства периодичности тангенса , .

Пунктирными линиями на графике изображены асимптоты. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность, но не пересекает ее.

Для тангенса асимптотами являются прямые , появление которых связано с обращением в этих точках в ноль .

С использованием аналогичных рассуждений получается график функции . Для него асимптотами являются прямые , . Этот график можно получить и воспользовавшись формулой приведения , т.е. преобразованием симметрии относительно оси и сдвигом на вправо.

Далее приведена таблица, суммирующая свойства тригонометрических функций.

Свойства тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций

Сначала введем понятие обратной функции.

Если функция монотонно возрастает или убывает, то для нее существует обратная функция . Для построения графика обратной функции график следует подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой . На рисунки приведен пример получения графика обратной функции.

Поскольку функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс являются обратными к функция синус, косинус, тангенс и котангенс соответственно, их графики получаются описанным выше преобразованием. Графики исходных функций на рисунках закрашены.