Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
Министерство
образования Российской Федерации
Томский
Политехнический Университет
Кафедра
ВТ
Теория
вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
Выполнил
студент
гр. 8В22
Голобородов
М.С
Проверил
преподаватель
Шалаев
Ю.Н.
Томск
2004г.
Задание
1. Привести
пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и
найти их вероятности.
2. Показать,
что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(Ā/B) = 1 -
P(A/B)
3. По
плотности распределения вероятностей системы двух случайных величин ξ
и
η
найти:
коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y)
системы случайных величин;
функции распределения и плотности распределения
отдельных составляющих системы случайных величин: F1(x),
F2(y),
f1(x),
f2(y);
условные плотности распределения f(x/y),
f(y/x);
числовые характеристики системы: математическое
ожидание Mξ и Mη
и дисперсию системы Dξ
и Dη
1. По
выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить его параметры:
X = {4.5, 4.3, 4.0,
3.7, 3.9, 4.3, 4.3, 4.0, 4.0, 4.5, 3.7, 4.0, 3.9, 3.7, 4.5 }.
По выборке Х построить доверительный интервал
для параметра “a” -
математическое ожидание при уровне значимости α
= 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию
распределения.
5
Задана случайная функция
Y = X COS(2t)
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5.
Найти числовые характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 )
случайной функции
V =dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (t) + Y e-t
c MX = 1.6,
DX = 2.5, MY = 3.2, DY = 3, r xy = 0.8.
Найти MZ, DZ, K Z
(t1 , t2).
1. Пример пространства элементарных
событий: бросание двух игральных костей.
Элементарным событием является пара
чисел ω = (a,b), где а -
число очков на первой кости, b - число очков на второй кости. При
этом
События:
A - выпало в
сумме число 5,
B - выпало в
сумме число 6,
C - выпали 2
одинаковых числа.
={(1,4), (4,1), (3,2), (2,3)},={(1,5),
(5,1), (2,4), (4,2), (3,3)},={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5),
(6,6)}.
События A и B -
несовместные события, т.к. A∩B=Ø;
События B и C -
совместные, A∩B={(3,3)}
Найдем вероятности этих событий:
;
;
.
. Докажем, что P(A/B) = 1 - P(A/B)
3. Чтобы найти коэффициент A,
воспользуемся условием нормировки плотности системы случайных непрерывных
величин
Из этого следует, что A = 2.
f(x,y) =
2x3y;
·
функция
распределения системы непрерывных случайных величин находится как
·
F(x,y) =
(x,y) = 
, 
,
(x,y) = 
, 
,
, x > 1,
y > 2
·
функция
распределения отдельных составляющих системы определяется как
событие вероятность
распределение случайный
, (x) = x4,
, x > 1
, (y) = y2/4,
, y > 1
, (x) = 4x3,
, x > 1
, (y) = y/2,
, y > 2
·
условная
плотность вероятности системы случайных непрерывных величин находится по
соотношениям
, (x/y) = 4x3,
, y > 2
, (y/x) = y/2,
, y > 2
·
математическое
ожидание системы определится как
·
дисперсия
системы
;
. X = {4.5,
4.3, 4.0, 3.7, 3.9, 4.3, 4.3, 4.0, 4.0, 4.5, 3.7, 4.0, 3.9, 3.7, 4.5 }.
Строим вариационный ряд:
|
x
|
3.7
|
3.9
|
4.0
|
4.3
|
4.5
|
|
ni
|
3
|
2
|
4
|
3
|
3
|
Строим эмпирическую функцию распределения
, Fn(x) = 
;
, Fn(x) = 
;
, Fn(x) = 
;
, Fn(x) = 
;
, Fn(x) = 
;
, Fn(x) = 1.
Fn(x) = 0,
/5, 
/3, 
/5, 
/5, 
, 
Построим полигон частот
Построим эмпирическую функцию распределения
Выборочное среднее определяется по соотношению:
Выборочная дисперсия:
- смещенная оценка
- несмещенная оценка
Доверительный интервал для параметра
«a»:
при 
и n = 15(по
таблице).
5.
Y(t)=Xcos(2t), MX=3, DX =1.5.
;
;
. Z = X SIN
(t) + Y e-t, MX = 1.6, DX = 2.5, MY = 3.2, DY = 3, r xy = 0.8.
;
(т.к. 
)
.