Теорема Ляпунова
Министерство
образования и науки Украины
Днепропетровский
национальный университет
им.
О. Гончара
Механико-математический
факультет
Кафедра
дифференциальных уравнений
Курсовая
работа
по
асимптотическим методам в теории
дифференциальных
уравнений
Выполнила: студентка группы ММ-08-3
Харчук А.Н.
г.
Днепропетровск - 2011
Содержание
Теоретическая
часть
Раздел
1.
Система Ляпунова ─ случай одной степени свободы
1. Система
Ляпунова
2. Приведение
к каноническому виду
3. Преобразование
интеграла H
4. Периодичность
решений системы Ляпунова
5.
Теорема Ляпунова
Раздел
2.
Условия существования периодических решений
.
Необходимые и достаточные условия периодичности
Раздел
3.
Метод Ляпунова
1.
Алгоритм
Практическая
часть
Индивидуальное
задание
Решение
задания
Список
литературы
Теоретическая часть
Раздел 1. Система Ляпунова ─
случай одной степени свободы.
. Система Ляпунова
Рассмотрим систему дифференциальных
уравнений
(1.1)
где и ─ аналитические функции своих
переменных в окрестности точки и такие, что их разложение по
степеням и начинается
с членов, порядок которых не ниже второго:
(1.2)
Систему (1.1) будем называть системой
Ляпунова, если выполняются следующие условия:
1) уравнение
(1.3)
имеет чисто мнимые корни ;
2) система (1.1) допускает аналитический
первый интеграл
, (1.4)
разложение которого по степеням
переменных и начинается с
членов второго порядка малости, т. е. функция в окрестности точки является
аналитической функцией своих переменных и представима в следующем виде:
. Приведение к каноническому виду
Рассмотрим вспомогательную систему уравнений
(1.5)
Система (1.5) описывает колебание с постоянной
амплитудой, поскольку её характеристическое имеет пару чисто мнимых корней.
Исключая из уравнения (1.5)
переменную , получим
(1.6)
Для того, чтобы удовлетворилось
условие 1), коэффициент при должен быть равен нулю, т. е.
должно быть и, кроме
того, должно иметь место неравенство
.
Сделаем замену
, , (1.7)
где ─ арифметическое значение
корня .
Таким образом, получим
Как мы видим при помощи замены (1.7)
уравнение (1.6) сводится к эквивалентной системе двух уравнений
.
Также
(1.7’)
Поэтому, если в исходной системе (1.1) сделать
замену (1.7), то эта система будет приведена к виду (1.8).
(1.8) -
система Ляпунова в каноническом виде
где и ─ аналитические функции своих
переменных, разложение которых начинается с членов второго порядка малости.
Таким образом, вместо системы (1.1) нам достаточно рассмотреть систему (1.8).
3. Преобразование интеграла H
Остановимся ещё на выражении
интеграла . Согласно
положению 2) его представление имеет вид
, (*)
где ─ некоторая постоянная.
Но сначала рассмотрим ситуацию,
когда первый интеграл имеет вид:
(1.9)
Так как (1.9) ─ первый интеграл,
то вдоль каждой кривой семейства (1.8) он должен обращаться в 0.
.
Подставим и получим
Сравнивая коэффициенты при , и , получим
При y:
При х:
При ху:
При х2:
При у2:
Отсюда =, D=E. Не нарушая
общности можно принять .
Итак, интеграл H можно
представить в виде
, (1.10)
где ─ аналитическая функция своих
переменных, разложение которой начинается с членов не ниже третьего порядка
малости, ─
некоторая постоянная, которую всегда мы можем считать положительной для
достаточно малых и .
Таким образом, мы видим, что
представление первого интеграла всегда имеет вид (*) и, кроме того, его можно
представить в виде (1.10)
. Периодичность решений системы
Ляпунова
Докажем теперь, что существует
периодическое решения системы (1.8) для достаточно малых значений . И что это
решение ─ периодические функции . Для этого достаточно доказать, что
фазовые траектории в плоскости замкнутые и сохраняет
знак. Для этого введём полярные координаты
;
и заметим, что любая замкнутая траектория
должна быть
периодической функцией аргумента . Составим выражение для :
(1.11)
Здесь ─ аналитическая функция , разложение
которой имеет вид
Следовательно, в формуле (1.11)
функция может быть представлена
в виде ряда
,
причем, все коэффициенты ─
полиномы от и , т. е.
периодические функции . Таким
образом, выражение (1.11) можно переписать так:
Это равенство мы можем рассматривать
как уравнение для определения .
Используя аналитичность функций,
которые в него входят, будем функцию разыскивать в виде ряда
, i=1, 2. (1.12)
Прямым вычислением убеждаемся в том,
что коэффициенты в разложении (1.12) являются полиномами от и . Так,
например,
,
Таким образом, коэффициенты ─
степенные функции коэффициентов , а последние в свою очередь
являются полиномами от и . Вследствие
такой структуры коэффициентов ряд (1.12) определяет периодическую функцию периода , т. е. при
изменении на величина возвращается
к своему исходному значению. Если при этом окажется, что сохраняет
знак, то это и будет означать, что фазовая траектория замкнутая.
Таким образом, решения системы (1.8)
─ функции и ─
будут периодическими функциями времени.
Функции и являются
аналитическими по параметру . В самом деле, в силу аналитичности
правых частей системы (1.8) её решения будут аналитическими функциями начальных
значений
, .
Постоянная так же
определяется этими значениями
. (1.13)
Так как правые части системы (1.8) не зависят от
времени, то без ограничений общности начальные условия можно записать в виде
, . (1.14)
Отсюда видно, что решения системы
(1.8) представляют собой аналитические функции .
5. Теорема Ляпунова
Теперь вычислим период, для этого
составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют переменные ρ и θ. Вычислим
(1.15)
Заменяя в системе (1.15) производные
и их
выражениями из уравнений (1.8) и разрешая полученную систему относительно
производных и , найдем
искомые уравнения
(1.16)
Из второго уравнения определим t:
(1.17)
Для того чтобы удовлетворить
условиям (1.13), необходимо константу (1.17) принять равной нулю. Используем
тот факт, что ρ
- аналитическая
функция μ.
Это
позволит разложить подынтегральную функцию в выражении (1.17) в ряд по степеням
μ
(1.17’)
где - периодические функции θ периода 2π. Следовательно,
подынтегральная функция в (1.17’) также периодическая функция θ периода 2π.
Следовательно, интеграл
не зависит от θ0 и его можно
записать в виде
,
где - вполне определенные числа. Таким
образом, при измени θ
на
2π
время
t получает приращение Т
, (1.18)
не зависящие от θ0.
Пусть теперь Ф(θ) - некоторая
периодическая функция θ
периода
2π,
тогда
. (1.19)
Рассматривая ее как функцию t, будем
иметь
. (1.20)
Равенство (1.19) справедливо для
любых θ,
следовательно,
и равенство (1.20) справедливо для любых t, т. е. Ф(t) - периодическая функция
t. Значит, величина Т, определенная формулой (1.18) как функция μ, и есть
период решения.
Используя (1.17), мы можем записать
его в следующем виде:
где период Т стремится к периоду
линейных колебаний 2π/λ,
т.
е. к периоду колебаний в системе (1.8) при .
Покажем теперь, что Т- четная
функция μ.
Вернемся
сова к интегралу (1.11). рассматривая его как уравнение относительно ρ, мы получаем
в окрестности точки ρ=0
два
решения. Одно из них
(1.21)
другое
(1.21’)
Теперь заметим, что левая часть
уравнения (1.11) не изменится, если заменим ρ на -ρ и θ на θ +
2π. Следовательно,
на основании (1.21) будем иметь
(1.22)
Значение ρ, определенное
рядом (1.22), будет корнем уравнения (1.11), не совпадающее с (1.21) (потому,
что для малых ρ
из
(1.21) следует ρ
= μ+О(μ2), а из
(1.22) ρ
= - μ+О(μ2)).
Следовательно, оно будет определяться рядом (1.21’).
и т.д.
Отсюда следует, что если в выражении
(1.21) заменить μ
на
- μ,
а
θ
на
θ
+ π, то
величина ρ
примет
свое значение с обратным знаком:
.
Выпишем теперь выражение для периода
Т. На основании (1.17) имеем
. (1.23)
Сделаем замену в (1.23) замену μ на -μ, а θ на θ + π.
Тогда
получим величину
.
Согласно доказанному величины и сохраняют
свои значения. Следовательно, то же самое можно сказать и о функциях Х и Y. В
то же время , и изменяют
свои знаки. Следовательно, знаменатель изменит знак на обратный, но и числитель
изменит знак на обратный. Следовательно,
.
Итак,
,
т. е. период - четная функция
величины μ.
Таким образом, выше было доказано
теорему Ляпунова, а теперь сформулируем ее.
Теорема Ляпунова.
Если постоянная достаточно
мала, то все решения системы уравнения (1.8) ─ периодические функции t, причем
период ─ четная функция величин и при стремится к
. Решения
системы (1.8) являются аналитическими функциями величины c ─
начального отклонения переменной x.
Имея в виду формулу
выражение периода можно переписать в
следующем виде:
(1.24)
Раздел 2.
Условия существования периодических
решений
. Необходимые и достаточные условия
периодичности
Рассмотрим систему:
(2.1)
Сначала мы не будем делать никаких
предположений о природе коэффициентов , кроме предположения об их
периодичности по .
Пусть и ─ решение системы (2.1),
удовлетворяющее следующим данным Коши:
,.
Для того чтобы это решение было
периодическим с периодом , необходимо
и достаточно, чтобы оно удовлетворяющее следующим условиям:
, . (2.2)
Очевидно, что условия (2.2)
необходимы, так как функция называется периодической, если она удовлетворяет
условиям:
, (2.3)
каково бы не было . Условия
(2.2) являются частным случаем (2.3) при . Эти условия являются так же
достаточными. В самом деле, правые части системы (2.1) ─ периодические
функции времени периода и,
следовательно, они инвариантны относительно замены переменного , тогда в
силу (2.2) по и мы будем
иметь одну и ту же задачу Коши и, следовательно,
;
Или
;.
Так как это равенство справедливо
для любых , то оно
совпадает с (2.3) и, следовательно, функции и ─ периодические.
Предположим далее, что система
фундаментальных решений систем
(2.4)
нам известна. Обозначим эти функции
через , , и , и решение
системы (2.1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, полагая
, . (2.5)
где и ─ некоторые функции времени,
подлежащие определению.
Подставим выражения (2.5) в (2.1).
Принимая во внимание, что функции , , и удовлетворяют системе (2.4), мы
получим следующие уравнения для определения функций и ;
,,
откуда
(2.6)
где и ─ новые произвольные
постоянные, а ─
определитель Вронского
.
Постоянные и определяются
из начальных условий , при . Так как
интегральные слагаемые в выражениях (2.6) при обращается в нуль, то постоянные и определяются
из уравнений
(2.7)
Используя полученные выражения, выпишем теперь
условия периодичности (2.2)
(2.8)
Для того чтобы система (2.1)
допускала периодические решения, необходимо и достаточно, чтобы функции и удовлетворяли
условиям (2.8).
Рассмотрим эти условия для некоторых
специальных случаев, так как это будет играть в дальнейшем изложении особую
роль.
Сначала рассмотрим тот частный
случай, когда фундаментальные решения - периодические функции, Заметим,
что уравнения в вариациях, отвечающие изохорным системам, т. е. системам,
период колебаний которых не зависит от начальных условий, всегда имеют
периодические решения.
Так как C и D -
постоянные числа, то в силу периодичности функции и из (2.7),
мы получаем следующие условия:
(2.7’)
Равенства (2.7’) позволяют упростить
систему (2.8), которую можно теперь рассматривать как систему однородных
алгебраических уравнений относительно интегралов
.
Перепишем эту систему в следующем
виде:
(2.9)
Определитель системы (2.9) есть
определитель Вронского для функций . В силу независимости этих функций
он отличен от нуля. Таким образом, система (2.9) имеет только тривиальное
решение. Поэтому
(2.10)
Итак, мы пришли к следующему
результату: если фундаментальное решение системы (2.4) выражается
периодическими функциями, то для того, чтобы любое решение системы (2.1) было
периодическим необходимо и достаточно, чтобы функции и удовлетворяли
условиям (2.10).
Сейчас рассмотрим тот частный случай,
когда система (2.1) имеет вид
(2.11)
Система (2.11) сводится к уравнению
колебаний математического маятника под действием периодической внешней силы
где
(2.12)
Определитель Вронского этих функций
равен единице, поэтому условия (2.10) будут приведены к такому виду:
(2.13)
ляпунов периодический решение уравнение
Раздел 3. Метод Ляпунова
. Алгоритм
Ляпунов предложил простой и очень эффективный
метод построения периодических решений для достаточно малых значений постоянной
с решения системы (1.8). Алгоритм Ляпунова использует аналитичность искомых
решений по параметру с и дает правило построения решений в форме рядов
специального вида, разложенных по степеням этого параметра.
Таким образом, на основании теоремы в разделе 1,
решение системы уравнений (1.8) можно искать в виде:
,.
но это невозможно, так как период
решения Т неизвестен. Тогда Ляпунов предложил видоизменить масштаб времени так,
чтобы решения полученной системы имели фиксированный период, не зависящий от с
(например, равный ).
Обратим внимание на формулу (1.24).
Она показывает, что если ввести замену
(3.1)
то период колебаний по переменной будет равен
. Сделав в
системе уравнений (1.8) замену (3.1), получим
(3.2)
Так как правые части системы (3.2)
мы умножили на аналитические функции параметра , то решение этой системы, так же
как и системы (1.8), аналитические по и для любого достаточно малого периодические
по . Но период
по независимой переменной теперь уже фиксирован, он равен .
Периодические решения системы (3.2)
будем искать в виде рядов
,. (3.3)
Подставим ряды (3.3) в систему
уравнений (3.2) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях параметра . Функции и будут
удовлетворять следующей системе уравнений:
, . (3.4)
В самом деле, функции и , будучи
аналитическими функциями своих переменных, таковы, что их разложение начинается
с членов второго порядка малости. Следовательно, при подстановке в эти функции
рядов (3.3) функции и не будут
содержать членов, линейных относительно . Начальные значения для системы
(3.2) определены равенствами (1.13)
: ,.
Следовательно, функции и будут соответствовать
следующим начальным условиям:
: ,,
, , где i =2,3… (3.5)
Функции и будут
удовлетворять системе уравнений
(3.6)
где и ─ квадратичные члены
разложения функций и по степеням
параметра . Так как и ─
аналитические функции переменных и , причем их разложение начинается с
квадратичных членов, то и являются
квадратичными формами переменных и .
Точно так же каждая пара функций и , входящая в
разложение (3.3), определяется системой уравнений
(3.7)
причем функции и будут
содержать величины и только тех
номеров , которые
меньше чем .
Кроме того, функции и будут
содержать величины , причем Заметим,
что величины входят в
правые части (3.7) только уравнений относительно и , для которых :
(3.8)
и т. д.
Из уравнений (1.13) следует, что
функции и при удовлетворяют
начальным условиям
,. (3.9)
Вернемся снова к уравнениям (3.2).
Хотя числа нам неизвестны
заранее, но они на основании теоремы Ляпунова определяются однозначно для
данной системы и не зависят от параметра , ни от начальных условий.
Далее члены рядов (3.3) также
определяются однозначно, причём и ─ периодические функции
переменного периода . В самом
деле, и ─
периодические функции, следовательно,
(3.10)
Так как функции и не зависят
от параметра , а
равенства (3.10) справедливы для любого малого , то
, .
Таким образом, мы можем утверждать
заранее, что функции и , которые
определяются как решение задачи Коши (3.9) для системы уравнений (3.7), будут
периодическими функциями времени периода . С другой стороны, уравнения (3.7)
относятся к виду
, , (2.11)
где ,
являются периодическими функциями
времени, поскольку они определяются периодическими функциями …, , , …, . Система
вида (2.11) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда функции удовлетворяют
условиям
На этом основании можно
сформулировать следующее вспомогательное утверждение:
функции , и числа всегда
удовлетворяют условиям (3.11)
Практическая часть
Индивидуальное задание
Построить приближенное периодическое решение
задачи Коши для системы дифференциальных уравнений:
при начальных условиях , . Здесь A, С=const.
Решение задания
Подставив эти разложения в систему.
Получим
Замена,
,
тогда
Согласно методу Ляпунова решение
ищем в виде степенного ряда по малому параметру с.
Так как , тогда
Теперь найдем коефициенты при с, с2,
с3,…, тоесть найдем .
с:
уравнение окружности, тогда
с2 :
Найдем :
Так как
Таким образом, получим
с3:
Теперь найдем h2 и проверим
необходимое и достаточное условие существования периодического решения. Тоесть
Необходимое и достаточное условие:
, где
Таким образом
Сейчас проверим условие
существования периодического решения
Таким образом, периодическое решение
существует. Далее подставим полученное выражение для h2 в систему
для с3
sin2τ:
sin3τ:
с4:
Теперь для удобства обозначим
некоторые числовые выражения
тогда
Снова переобозначим
Тогда
Далее найдем h3
, где
Теперь подставим найденные значения
для в систему
При этом вернувшись к замене
,
Откуда
Тогда наше решение примет вид
Список литературы
1.
Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики, Наука, М.,
г.
.
Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, ГИТТЛ, М., 1956.