В - число вершин

Р - число ребер

Г - число граней

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В-Р+Г=2. Оказывается, что равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.

Теорема Эйлера

Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В-Р+Г=2.

Доказательство: Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник, разбитый на более мелкие многоугольники.

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать и даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер, граней и при этом не изменится.

Докажем, что для получения разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенства

В-Р+Г´=1 (*)

Где В - общее число вершин, Р - общее число ребер и Г´ - число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г´= Г-1, где Г - число граней данного многогранника.

Докажем, что равенства (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 1.3а).

Рис.1.3.

Действительно, после проведения диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребро и количество многоугольников увеличивается на единицу. Следовательно, имеем В - (Р+1) + (Г´+1) = В-Р+ Г´. Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие многоугольники на треугольники (рис.3 б), и для полученного разбиения покажем выполнимость равенства (*). Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

а) для удаления треугольника АВС требуется снять два ребра, в нашем случае - АВ и ВС;

б) для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае - MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Г´ - многоугольника

(В-1) - (Р-2) + (Г´-1)= В-Р+ Г´

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*). Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов, мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В=3, Р=3, Г´=1 и , следовательно В-Р+ Г´=1. Значит, равенство (*) имеет место для исходного разбиения откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо равенство(*). Таким образом, для исходного выпуклого многогранника справедливо равенство:

В-Р+ Г=2

Для любого многогранника верны неравенства:

Другие факты:

ü  Всякий многогранник имеет хотя бы одну вершину, из которой исходит не более 5 ребер, а также грань, в которой не более 5 ребер.

ü  В любом многограннике есть хотя бы одна треугольная грань или хотя бы один трехгранный угол.

ü  Не существует многогранника, у которого ровно 7 ребер. Число 6 и любое целое число n8 могут быть количеством ребер выпуклого многогранника.

ü  Для всякого выпуклого многогранника имеют место неравенства:

ü  У любого многогранника есть по крайней мере две грани с одинаковым количеством сторон.

ü  Во всяком выпуклом многограннике сумма плоских углов всех граней вдвое больше суммы углов выпуклого многоугольника, имеющего то же число вершин.

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по одной внутренней точке и соединить ребрами те из выбранных точек, которые лежат на смежных гранях, то получится новый многогранник, называемый сопряженным с данным. Количества вершин, ребер и граней данного и сопряженного многогранников связаны соотношениями В*=Г, Г*=В, Р*=Р.

Задача 1. Проверить теорему Эйлера для выпуклого многогранника с вершинами в серединах ребер куба.

Решение. Количество вершин нашего многогранника равно количеству ребер куба, то есть В=12.

Далее, многогранник имеет 8 треугольных граней (столько, сколько вершин у куба) и 6 четырехугольных граней (на каждой грани куба одна грань нашего многогранника). Следовательно, Г=8+6=14. Наконец, число ребер равно: Р=1/2 х (8х3+6х4)=24.

Имеем: 12+14=24+2.

Задача 2. Привести пример какого-нибудь многогранника, у которого 9 вершин и 7 граней.

Решение. Возьмем какой-нибудь многогранник с близкими значениями чисел В, Р, Г. Например, куб - у него В=8, Г=6.

Заметим, что если срезать куб так, как показано на рисунке, то получится многогранник с требуемым количеством вершин, ребер и граней.

1.3 Понятие правильного многогранника с точки зрения топологии

Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топологии - науки, изучающей свойства фигур, не зависящих от различных деформаций без разрывов. С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон. Вообще, все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны по той же причине.

Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оставить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отбросить.

В определении правильного многогранника количество сторон и граней являются топологически устойчивыми, то есть не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не является топологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Два многогранника называются топологически эквивалентными, если один из другого можно получить непрерывной деформацией.

Например, все треугольники пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентны между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками, например, четырехугольные пирамиды.

Как мы знаем, существует пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.

Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильных многогранник, гранями которого являются п-угольники и в каждой вершине сходится т ребер. Ясно, что п и т больше и равны трем. Обозначим, как раньше, В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней. Тогда

пГ= 2Р;  Г=; тВ=2Р; В=.

По теореме Эйлера В-Р+Г=2, следовательно,

Откуда

.

Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n+2m-nm >0, которое эквивалентно неравенству (n-2) (m-2)<4. Найдем все возможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу:

Например, значения n=3, m=3 удовлетворяют неравенству (n-2) (m-2)<4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим: Р=6, В=4, Г=4. Значения n=4, m=4 не удовлетворяют неравенству (n-2) (m-2)<4, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Из этой таблицы следует, что возможными топологически правильными многогранниками являются только правильные многогранники. Нетрудно понять, почему может быть только пять типов правильных многогранников. Возьмем простейшую грань - равносторонний треугольник. Многогранный угол можно образовать, приложив друг к другу три, четыре либо пять равносторонних треугольников, то есть тремя способами. (Если число треугольников равно шести, то сумма плоских углов при общей вершине будет равна 360˚). При использовании квадратов в качестве граней можно образовать многогранный угол лишь одним способом - с помощью трех приложенных друг к другу квадратов. Единственным способом может быть образован многогранный угол и из правильных пятиугольников. Правильные n - угольники при n многогранных углов, очевидно, не образует вообще. Таким образом, могут существовать только пять типов правильных многогранников: три многогранника с треугольными гранями (тетраэдра, октаэдр, икосаэдр), один с квадратными гранями (куб) и один с пятиугольными гранями (додекаэдр).

         1.3.1 Задачи на построение правильных многогранников

Рассмотрим наиболее оригинальные способы построения правильных многогранников.

Задача 1. Построить правильный тетраэдр.

Решение

Пусть дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁ (рис.1.4). Рассмотрим какую - либо его вершину, например А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму квадратов. В каждом из этих квадратов берем вершину, противоположную А, - вершины куба В₁ , С₁ , D. Точки А, В₁ , С₁ ,D. Являются вершинами правильного тетраэдра. Действительно, каждый из отрезков АВ₁ , В₁С₁ , С₁D , АD, В₁D и АС₁ , очевидно, служит диагональю одной из граней куба, а потому все эти отрезки равны. Отсюда следует, что в треугольной пирамиде с вершиной А и основанием В₁С₁D все грани - правильные треугольники, следовательно, эта пирамида - правильный тетраэдр. Этот тетраэдр вписан в данный куб.

Полезно заметить, что другие четыре вершины куба являются вершинами второго правильного тетраэдра А₁ВСD_{1 ,} равного первому и также вписанного в данный куб. Следовательно, можно построить ровно два правильных тетраэдра, вписанных в данный куб.

Рис. 1.4. Куб

.4 Симметрия многогранников

Основной интерес к правильным многогранникам вызывает большое число симметрий, которыми они обладают. Под симметрией (или преобразованием симметрии) многогранника мы понимаем такое его движение как твердого тела в пространстве (например, поворот вокруг некоторой прямой, отражение относительно некоторой плоскости и т.д.), которое оставляет неизменными множества вершин, ребер и граней многогранника. Иначе говоря, под действием преобразования симметрии вершина, ребро или грань либо сохраняет свое исходное положение, либо переводится в исходное положение другой вершины, другого ребра или другой грани. Существует одна симметрия, которая свойственна всем многогранникам. Речь идет о тождественном преобразовании, оставляющем любую точку в исходном положении. С менее тривиальным примером симметрии мы встречаемся в случае прямой правильной р-угольной призмы.

Примеры размерности симметрии плоских фигур дают правильные многоугольники. Примеры симметрии пространственных фигур дают правильные призмы и пирамиды: они совмещаются сами с собой, например, поворотами вокруг оси, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через его центр.

Мы будем понимать симметрию в общем смысле, как она определена в начале и как ее понимают, в частности, когда говорят о симметрии кристаллов. При этом наложения фигуры на себя называются преобразованиями симметрии.

Теорема. Рассмотрим данный правильный многогранник Р. Пусть А - его вершина, а - ребро с концом А, а - грань со стороной а. Для любых других аналогичных его элементов А', а', а' существует наложение многогранника Р на себя, переводящее А' в А, а' в а, а' в а.

Доказательство

Переносом многогранника переведем вершину А' в А. Поворотом многогранника вокруг А переведем перенесенное ребро а' в а. Поворотом многогранника вокруг ребра а приведем (перенесенную и повернутую) грань а' в совпадение с гранью а. Так как грани равны, то грань а' полностью совместится с а.

Так как двугранные углы равны, то для граней р и р', смежных с а и а', есть только две возможности: 1) р' совпадает с р; 2) р' не совпадает с р, но будет симметрична р относительно плоскости грани а. В таком случае отражением в этой плоскости переведем Р' в р.

Итак, наложением всего многогранника Р мы совместили вершину А' с А, ребро а' - с а, грани а', р', смежные по ребру а', - с гранями а, р, смежными по ребру а.

Убедимся, что при этом многогранник оказывается совмещенным сам с собой. Две грани многогранного угла при вершине А совпали (а' с а, р' с р). Перейдем к граням у и у', соседним с р. Двугранные углы, которые они образуют с р, равны и расположены с одной стороны - с той же, с какой лежит грань а. Поэтому грань у' совпадает с у. Так убедимся, что многогранные углы при вершине А совпали. Переходя к другой вершине, соединенной с А ребром, аналогично убедимся, что и при этой вершине многогранные углы совпадают. И так пройдя по всему многограннику, убедимся, что он совпал сам с собой, что и требовалось доказать. □

Свойство правильных многогранников, установленное доказанной теоремой, означает, что они обладают, так сказать, максимальной мыслимой симметрией. Наложение, совмещение многогранника самого с собою, неизбежно совмещает какую-то вершину А' с А, ребро а' - с а, грань а'- с а, и примыкающую грань р' - с р. Наложение этим вполне определено, оно только одно. Поэтому максимальное число возможных наложений будет тогда, когда каждую совокупность А, а, а, р можно перевести в каждую. А это так у правильных многогранников Очевидно, верно и обратное. Если многогранник обладает такой максимальной симметрией, то он правильный (так как ребро а совмещается с а', угол на грани а' при вершине А совмещается с таким же углом, и двугранный угол между а' и р⁴' совмещается с углом между а и р.- так что все ребра и углы равны). Число наложений, совмещающих правильный многогранник сам с собою, равно 2 те, где т - число ребер, сходящихся в одной вершине, и е - число вершин; те наложений первого рода и те - наложений второго рода. Они и образуют группу симметрии правильного многогранника. Группы симметрии у куба и октаэдра совпадают ввиду их двойственности. Так же совпадают группы симметрии у додекаэдра и икосаэдра. Группа тетраэдра является подгруппой группы куба, как видно из возможности вложить тетраэдр в куб (рис. 1.5, а). Наиболее интересные элементы симметрии - это зеркальные оси: 4-го порядка у тетраэдра, 6-го порядка - у куба, 10-го порядка - у додекаэдра (рис. 1.5,б). Убедитесь, что это так, определив, как расположены эти оси. Оси симметрии и плоскости симметрии куба изображены на рис. 1.5 в, г.

Рис. 1.5.

.5 Подобие многогранников

Два многогранника называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее один многогранник в другой.

Подобные многогранники имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными. У подобных многогранников двугранные углы равны и одинаково расположены, а сходственные ребра пропорциональны.

Кроме того, справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если в пирамиде провести секущую плоскость параллельно основанию, то она отсечет от нее пирамиду, подобную данной.

Теорема 2. Площади поверхностей подобных многогранников относятся как квадраты, а их объемы - как кубы сходственных линейных элементов многогранников.

Глава 2. Виды многогранников

.1 Призма

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А₁А₂…А_n и В₁В_2…В_n, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов, называется призмой.

Многоугольники А₁А₂…А_n и В₁В_2…В_n (рис. 2.1)называются основаниями, а параллелограммы - боковыми гранями призмы. Отрезки А₁В₁ и А₂В₂ называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призма с основаниями А₁А₂…А_n и В₁В_2…В_n обозначают А₁А₂… А_n В₁В_2…В_n и называют n - угольной призмой. На рисунке изображены треугольная и шестиугольная призмы, т.е. параллелепипед.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Рис. 2.1. Призма

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае - наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники. На рисунке изображена правильная шестиугольная призма.

         2.1.1 Площади боковой и полной поверхности призмы

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней. Площадь S_полн. полной поверхности выражается через площадь S_бок боковой поверхности и S_осн основания призмы формулой:

S_полн. =S_бок +2S_осн.

Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, S_бок= Ph.

Доказательство:

Боковые грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h, вынося множитель h за скобки, мы получаем в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр P. Итак, S_бок= Ph.

Теорема доказана.

Многогранник, составленный из n - угольника А₁А₂…А_n и n треугольников, называется пирамидой (рис. 2.2). Многоугольник А₁А₂…А_n называется основанием, а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РА_1, РА_2,…РА_n - ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием А₁А₂…А_n и вершиной Р обозначают так: РА₁А₂…А_{n -} и называют n - угольной пирамидой. На рисунке показаны четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида - это тетраэдр.

Рис. 2.2. Пирамида

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, называют поперечным сечением пирамиды.

Свойства поперечных сечений пирамиды:

.        Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то:

ü  боковые ребра и высота пирамиды разделятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки;

ü  в сечении получится многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании;

ü  площади сечения и основания будут относиться друг к другу как квадраты их расстояний от вершины пирамиды: S₁:S₂=X₁²:X₂²

.        Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями, параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади сечений будут пропорциональны площадям оснований.

.2.1 Площади боковой и полной поверхности призмы

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды - сумма площадей ее боковых граней. Тогда, S_полн. = S_бок + S_осн.

Многоугольник, гранями которого является n - угольники А₁А₂…А_n и В₁В_2…В_n, расположенных в параллельных плоскостях, и n четырехугольников А₁А₂В₁В₂, А₂А₃В₃В₂ ..., называется усеченной пирамидой (рис. 2.3).

Рис. 2.3.

Основаниями усеченной пирамиды называются параллельные грани ABCD и A₁B₁C₁D₁ (ABCD - нижнее основание, а A₁B₁C₁D₁ - верхнее основание).

Высота усеченной пирамиды - отрезок прямой,

перпендикулярный основаниям и заключенный

между их плоскостями.

Усеченная пирамида правильная, если ее основания - правильные многоугольники, а прямая, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскости оснований.

Апофемой усеченной пирамиды называют высоту ее боковой грани

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему:

2.3 Параллелепипед

Рис. 2.4.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой служат параллелограммы (рис.2.4). Параллелепипед, боковые ребра которого

перпендикулярны к плоскостям оснований, называется прямым. В противном случае - параллелепипед называется наклонным.

Кубом называют прямоугольный параллелепипед, все двенадцать ребер которого равны. Все шесть граней куба - равные квадраты.

На рисунке (а) изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке (б) - прямой параллелепипед. Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным. Все его грани - прямоугольники, и длины трех ребер, выходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда.

Некоторые свойства параллелепипеда:

ü  У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.

Рис. 2.5. Параллелепипед.

Доказательство

Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например А1А2А'2А'1 и A3A4A'4A'3 (рис. 2.5). Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой А4А3, а прямая А1А'1 параллельна прямой А4А4'. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда - параллелограммы, следует, что отрезки А1А4, А1'А4', A'2A'3 и A2A3 - параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань А1А2А'2А'1 совмещается параллельным переносом вдоль ребра А1А4 с гранью А3А4А'4А'3. Значит, эти грани равны. Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

ü  Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Рис.2.6.

Доказательство

Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А₁А'₃ и A₄A'₂ (рис. 2.6). Так как четырехугольники А₁А₂А₃А₄ и A₂A'₂A'₃A₃ - параллелограммы с общей стороной A₂A₃, то их стороны А₁А₄ и A'₂A'₃ параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым A₁A'₂ и A₄A'₃. Следовательно, четырехугольник A₄A₁A'₂A'₃ - параллелограмм. Диагонали параллелепипеда A₁A'₃ и A₄A'₂ являются диагоналями этого параллелограмма.     Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично доказывается, что диагонали A1A'3 и A2A'4, а также диагонали A1A'3 и A3A'1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

Рис. 2.7.

ü  Сумма квадратов всех диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер (рис. 2.7), то есть: d₁² + d₂² + d₃² + d₄² = 4b² + 4c²

ü  Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: d² = a² + b² + c²          

Доказательство

Так как AA1 перпендикулярно к основанию ABCD, то угол AA1C прямой (рис.2.8). Из прямоугольного треугольника AA1C по теореме Пифагора получаем:

Рис. 2.8.

A₁C² = AC² + AA₁²

но AC - это диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC²=AB²+AD² . Кроме того, AA1=CC1, следовательно,

A₁C²=AB²+AD²+CC₁².

Теорема доказана.

Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам:

d₁² = a² + b² + c² + 2abcos ά₂²=a²+b²+c²-2abcosά

ü  В параллелепипед можно вписать тетраэдр.

Объем такого тетраэдра равен 1/3 части объема параллелепипеда.

V = 1/6 d₁d₂ p(d₁,d₂) sin (d₁,d₂)

2.3.1 Площади боковой и полной поверхности параллелепипеда

Площадь боковой поверхности (или просто боковая поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма площадей всех ее боковых граней. Площадью полной поверхности (или просто полная поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма ее боковой поверхности и площадей оснований

S_полн = 2 ( ab + ac + bc ).

2.4 Правильные многогранники

Рис.2.9. «Космический кубок»

И. Кеплер построил на основе правильных многогранников модель Солнечной системы. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера (рис.2.9).

Существование только пяти правильных многогранников представлялось ученым фундаментальным фактом, который должен иметь прямое отношение к строению материи во Вселенной. Пифагорейцы считали многогранники божественными. Согласно их воззрениям, атомы основных элементов должны иметь форму различных платоновых тел: атомы огня - форму тетраэдра, земли - форму куба, воздуха - форму октаэдра, воды - форму икосаэдра. Древнегреческий учёный Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. (Стихиями натурфилософы называли вещества, из которых, путём сгущения и разрежения, охлаждения и нагревания образуются все тела.) Пифагорейцы считали, что огонь состоит из мельчайших (а поэтому невидимых) частиц, имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что, поскольку среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее «острыми» многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью. Правильный тетраэдр представляет собой простейшее из пяти Платоновых тел, он обладает рациональной конструкцией: высокой прочностью при малом весе. Наиболее неподвижной из стихий - земле пифагорейцы ставили в соответствие самый устойчивый многогранник - куб.

С помощью простых и сложных атомов Платон попытался даже отразить взаимоотношения между стихиями: 1 вода = 2 воздух + 1 огонь. Это «уравнение» надо понимать так: в элементе воды - икосаэдре - 20 граней, образованных равносторонними треугольниками, которые составлены шестью прямоугольными треугольниками. Платон представлял атомы как плоские тела - прямоугольные треугольники двух видов: одни равнобедренные, другие с катетом, равным половине гипотенузы.

Пять правильных тел изучали Театет, Платон, Евклид, Гипсикл, Папп. Также необычайно высок был интерес к правильным многогранникам в кругах художников, скульпторов, архитекторов. Ими занимались Леонардо да Винчи, Альберт Дюрер.

Итак, существует всего пять правильных многогранников.

Простейшим среди многогранников является тетраэдр (четырёхгранник - от греческого «тетра», т.е. четыре). Его четыре грани - равносторонние треугольники. Четыре - это наименьшее число граней, отделяющих часть трёхмерного пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой.

Куб, или гексаэдр (шестигранник - от греческого «гекса», т.е. шесть) - самый общеизвестный и широко используемый многогранник. Все шесть его граней - квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине.

Октаэдр (восьмигранник - от греческого «окта», т.е. восемь), составленный из восьми правильных треугольников, его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Иоганн Кеплер (1571-1630) в своём этюде «О снежинке» высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных - куб, а его, если позволительно так сказать, супруга - октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней».

Икосаэдр (двадцатигранник - от греческого «икос», т.е. двадцать), составленный из двадцати правильных треугольников. Икосаэдр - одно из пяти тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние треугольники.

И загадочный додекаэдр (двенадцатигранник - от греческого «додека», т.е. двенадцать), составленный из двенадцати правильных пятиугольников. В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит).

2.5 Полуправильные многогранники

В предыдущем разделе я рассмотрела правильные многогранники, то есть такие выпуклые многогранники, гранями которых являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине которых сходится одинаковое число граней. Если в этом определении допустить, что гранями многогранника могут быть различные правильные многоугольники, то получим многогранники, которые называются полуправильными.

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники и все многогранные углы равны.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны. Например, правильная пятиугольная призма (рис 2.10). имеет своими гранями два правильных пятиугольника - основания призмы и пять квадратов, образующих боковую поверхность призмы.

Рис. 2.10. Правильная призма

К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединены с двумя ближайшими вершинами другого основания.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется ещё 13 полуправильных многогранников, которые впервые открыл и описал Архимед, - это тела Архимеда.

Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр, имеющий восемь граней (рис. 2.11 (1)) . Из них четыре - правильные шестиугольники и четыре - правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходятся три грани.

Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр (рис. 2.11 (2)) и усеченный икосаэдр (рис. 2.11 (3)). Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб (рис. 2.11 (4)) и усеченный додекаэдр (рис. 2.11 (5)) .

Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате чего получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром (рис. 2.11 (6)). Его гранями являются шесть квадратов, как у куба, и восемь правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и его название - кубооктаэдр.

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром (рис. 2.11 (7)). У него двадцать граней - правильные треугольники и двенадцать граней - правильные пятиугольники, то есть все грани икосаэдра и додекаэдра.

К последним двум многогранникам снова можно применить операцию усечения. Получим усеченный кубооктаэдр (рис. 2.11 (8)) и усеченный икосододекаэдр (рис. 2.11 (9)).

Было рассмотрено 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся - многогранники более сложного типа.

Поверхность ромбокубооктаэдр состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлена еще 12 квадратов (рис. 2.11 (10)).

Поверхность ромбоикосододекаэдр состоит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов (рис. 2.11 (11)). На рисунках 12, 13 представлены соответственно так называемые плосконосый куб и плосконосый додекаэдр, поверхности которых состоят из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Как видим, каждая поверхность этих многогранников состоит их двух или трех типов граней: квадраты, треугольники и пятиугольники. Модели этих многогранников будут особенно привлекательны, если при их изготовлении грани каждого типа раскрасить в свой особый цвет.

2.6 Звездчатые многогранники

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением сторон правильных многоугольников.

Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты Кеплером (1571-1630), а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810) Л. Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О.Коши (1789 - 1857). В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Рассмотрим вопрос о том, из каких правильных многогранников можно получить правильные звездчатые многогранники. Из тетраэдра, куба и октаэдра правильные звездчатые многогранники не получаются. Возьмем додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром (рис.2.11).

Рис. 2.11.

При продолжении граней додекаэдра возникают две возможности. Во-первых, если рассматривать правильные пятиугольники, то получатся так называемый большой додекаэдр. Если же, во-вторых, в качестве граней рассматривать звездчатые пятиугольники, то получается большой звездчатый додекаэдр. Красоте малого звездчатого додекаэдра находится на удивление мало места в нашей жизни : он служит разве что светильником, да и то очень редко. Даже изготовители елочных украшений и то не додумались сделать трехмерную звезду, а ею как раз и оказался бы этот многогранник.

Мауриц Эсхер пишет: «Звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных вещей».

Икосаэдр имеет одну звездчатую форму. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр (рис.2.12).

Рис. 2.12.

Таким образом, существует 4 типа правильных звездчатых многогранников. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применить их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений.

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.

Глава 3. Многогранники в различных областях культуры и науки

Многогранники в живописи

Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью, что дало возможность венгерскому инженеру Эрне Рубику создать свой знаменитый «кубик Рубика».

Постоянный интерес к изучению и изображению многогранников испытывали и многие художники разных эпох и стран. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники Возрождения стремились найти опирающиеся на опыт науки способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построенные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового искусства. Они позволяют художнику воссоздавать на плоскости трехмерное пространство, добиваться впечатления рельефности предметов. Для некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали их философские и мистические символы.

Увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах Леонардо да Винчи (1452-1519). Он проиллюстрировал изображениями правильных и полуправильных многогранников книгу своего друга монаха Луки Палочи (1445 - 1514) «О божественной пропорции».

Другим знаменитым художником эпохи Возрождения, увлекшимся геометрией, был Альбрехт Дюрер (1471-1528). В его известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изображен многогранник, гранями которого являются треугольники и пятиугольники. В 1525 году он даже написал трактат о пяти правильных многогранниках.

Известный голландский художник Маурица Эшер (1898-1972) написал картину - фантазию на тему «Правильные многогранники».

А испанский художник Сальвадор Дали использовал символ Вселенной в своей картине «Тайная вечеря», на которой Христос и его ученики изображены на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Очень интересно об этом произведении писала Завадская: «В нём воплощено философско-религиозное и эстетическое кредо Дали. Здесь воздух и свет, и конструкция, и сон, и явь, и надежда, и сомнение. В центре большого полотна (167×288) изображен Христос в трех ипостасях - как сын, сошедший на Землю, он сидит за столом со своими учениками, но потом мы замечаем, что он вовсе и не сидит за столом, а погружен по пояс в воду - то есть крестится водой, или духом святым, тем самым воплощая вторую ипостась троицы, а над ним призрачно высится мужской торс, словно часть композиции «Вознесение» - возвращение к Богу Отцу. Апостолы изображены низко склонившими головы на стол - они словно поклоняются Христу (или спят!) - в этом случае есть аллюзия на евангельский текст, содержащий просьбу Христа не спать, пока он молит Бога: «Чашу мимо пронеси».

.2 Правильные многогранники в живой природе

Создания природы красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Идеи Пифагора, Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира уже в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, авторами которой (в начале 80-х годов) явились московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считали, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Их 62 вершины и середины рёбер, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянуться вдоль икосаэдро-додекаэдрической сетки. Ещё более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих рёбер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой правильные многогранники занимают важное место.

Правильные многогранники неоднократно встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное пытается себя защитить: из 12 вершин скелета выходят 12 полых игл. На концах игл находятся зубцы, делающие иглу еще более эффективной при защите. Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Математики говорили, что пчёлы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников. Значит, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот. Площадь поверхности многогранника-ячейки меньше площади поверхности правильной шестиугольной призмы. При такой «математической» работе пчёлы экономят 2% воска. Количество воска, сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для постройки одной такой же ячейки. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остаётся просветов.

Итак, благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

.2.1 В мире кристаллов

Воздействие на облик земной поверхности таких природных факторов, как ветер, вода, солнечный свет, весьма стихийно и часто носит беспорядочный характер. Однако песчаные дюны, галька на морском берегу, кратер потухшего вулкана имеют, как правило, геометрически правильные формы. В земле иногда находят камни такой формы, как будто их кто-то тщательно выпиливал, шлифовал, полировал. Это - многогранники с плоскими гранями, с прямыми ребрами. Правильные и совершенные формы этих камней, безукоризненная гладкость их граней поражает нас. Трудно поверить, что такие идеальные многогранники образовались сами, без помощи человека. Вот эти - то камни с природой, т.е. не сделанной руками человека, правильной, симметричной, многогранной формой и называется кристаллами.

Удивительно разнообразен мир кристаллов, являющихся природными многогранниками. Кристаллы встречаются повсюду. Мы ходим по кристаллам, строим из кристаллов, обрабатываем кристаллы на заводах, выращиваем кристаллы в лабораториях и в заводских условиях, создаем приборы и изделия из кристаллов, широко применяем кристаллы в науке и технике, едим кристаллы, лечимся кристаллами, находим кристаллы в живых организмах, проникаем в тайны строения кристаллов, выходим на просторы космических дорог с помощью приборов из кристаллов и растим кристаллы в домашних условиях.

Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов.

G Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она хорошо растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

G  При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми квасцами (K[Al(SO₄)₂]·12H₂O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

G  Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

G  А икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Но кроме формы правильных многогранников, многие кристаллы имеют форму просто многогранника.

ü  Кристаллом (от греч. krystallos - «прозрачный лед») вначале называли прозрачный кварц (горный хрусталь), встречавшийся в Альпах. Горный хрусталь принимали за лед, затвердевший от холода до такой степени, что он уже не плавится. Кристалл горного хрусталя напоминает оточенный с двух сторон карандаш, т.е. имеет форму шестигранной призмы, на основания которой поставлены шестигранные пирамиды.

ü  Пирит чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба или даже усеченного октаэдра. Пирит, или железный колчедан (камень инков «кошачье золото»), минерал, дисульфид железа, FeS₂, самый распространенный в земной коре сульфид. Название происходит от греческого «пир» - огонь (при ударе искрит). Кристаллы в форме куба, пентагон-додекаэдра, реже - октаэдра, встречается также в виде массивных и зернистых агрегатов.

ü  Кристалл граната имеет форму ромбододекаэдра (двенадцатигранник, у которого все грани ромбы).

ü  Алмаз кристаллизуется в кубической системе (сингонии). Атомы углерода находятся в нем по узлам двух кубических решеток с центрированными гранями, очень плотно вставленных одна в другую ). Кристаллы алмаза представляют собой гигантские полимерные молекулы и обычно имеют форму октаэдров, ромбододекаэдров, реже - кубов или тетраэдров. Часты двойники и сростки нескольких кристаллов, характерны выпуклые грани и криволинейные ребра. Грани кристаллов обычно покрыты фигурами роста или растворения в виде выступов или углублений различной формы.

Алмаз - самое твердое из всех природных веществ. Максимальная твердость на гранях октаэдра, минимальная на гранях куба; на этом основаны огранка, распиловка и шлифовка алмазов. Спайность, совершенная по октаэдру, что обусловливает хрупкость и несколько ограничивает использование алмаза.

Кристаллы, залегающие в земле, бесконечно разнообразны. Размеры природных многогранников достигают подчас человеческого роста и более. Встречаются кристаллы - лепестки тоньше бумаги и кристаллы-пласты, в несколько метров толщиной. Бывают кристаллы маленькие, узкие, острые, как иголки, и бывают громадные, колонны. В некоторых местностях Испании такие кристаллические колонны ставят как столбы для ворот. В музее Горного института в Ленинграде хранится кристалл горного хрусталя (кварца) высотой около метра и весом больше тонны, который много лет служил тумбой у ворот одного из домов в Екатеринбурге. Есть кристаллы огромные, как колоннада храма, нежные, как плесень, острые, как шипы: чистые, лазурные, зеленые, как ничто другое в мире, огненные, черные; математически точные, совершенные, похожие на конструкции сумасбродных, капризных ученых, или напоминающие печень, сердце… Есть кристаллические пещеры, чудовищные пузыри минеральной массы, есть брожение, плавка рост минералов, архитектура и инженерное искусство… Как таинственные математические молнии, пронзают материю бесчисленные законы построения. Чтобы быть равным природе, надо быть точным математически и геометрически. Число и фантазия, закон и изобилие - вот живые, творческие силы природы; не сидеть под зеленым деревом, а создавать кристаллы и идеи, вот что значит быть воедино с природой!».

Многие кристаллы идеально чисты и прозрачны, как вода. Недаром говорят: «прозрачный, как кристалл», «кристально чистый»…

Формы кристаллов

Рассмотрим внимательно кристаллы разных веществ. Как отличить их друг от друга? По цвету? По блеску? Нет, это признаки ненадежные. К примеру, кристаллы кварца могут быть бесцветными (горный хрусталь), золотистыми. Коричневыми, черными (дымчатый горный хрусталь, морион), сиреневыми, лиловыми (аметист). Разные названия, но минерал один и тот же, кварц, один из самых широко применяющихся в промышленности. В музее Горного института в Ленинграде хранится коллекция кристаллов природного корунда сорока различных цветов и оттенков: кроваво-красный рубин, лазорево-синий или голубой сапфир, бесцветный лейкосапфир, черный наждак - все это один и тот же минерал корунд, или окись алюминия. В то же время, например, прозрачно - золотистыми могут быть и кварц, и топаз, и турмалин, и циркон, и многие другие минералы. К тому же, у разных образцов одного и того же минерала цвета и оттенки могут быть разными.

Приглядевшись к кристаллам внимательнее, не трудно увидеть их особенность гораздо более характерную: кристаллы разных веществ отличаются друг от друга своими формами.

Кубики кристаллов каменной соли не спутаешь со столбиками берилла или с табличками медного купороса; от шестигранных призм кварца с первого взгляда можно отличить восьмигранные кристаллы алмаза; такая форма восьмигранника называется октаэдром.

Так что же, у каждого вещества есть своя характерная форма, по которой можно его узнавать? И да, и нет. Да, у каждого вещества формы кристаллов характерны. Однако формы кристаллов разных веществ могут очень похожим. А главное не в этом. Не всегда кристалл попадет к нам в руки в его естественной многогранной форме. Отнюдь не всегда кристалл многогранником - это удается ему лишь при благоприятных условиях, когда ничего не мешает ему при росте.

Давно прошли те времена, когда считали, что кристаллы - это только естественные многогранники, и считали их «игрой природы». Да. Правда, кристаллы - великаны, например такие, как горный хрусталь на рисунке, попадаются не так уж часто. Однако кристаллы окружают нас повсюду. Только их не всегда можно увидеть простым глазом.

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Многие свойства кристаллов, которые изучаются на уроках физики и химии, объясняются их геометрическим строением. Поэтому свойства многогранников и используются в кристаллографии.

Кристаллы разных веществ: 1- каменная соль, 2 - гранат, 3 - алмаз, 4 - квасцы, 5 - берилл, 6 - турмалин, 7а и 7б - кварц, 8 - медный купорос.

От внешней формы к внутренней структуре

А все-таки: почему же кристаллы вырастают в форме многогранников? Какова связь между внешней формой кристаллов и их внутренним строением? Вопрос этот, естественно, возникает у каждого внимательного наблюдателя. И еще в очень давние времена, задолго до создания атомной теории вещества, появились первые смутные догадки о том, что кристаллы, по-видимому, сложены закономерно из мельчайших частиц.

Выдающийся английский физик Роберт Гук (1635-1703), размышляя о «правильных фигурах» кристаллов, заявляет в 1665 году: «Думаю, что, обладая достаточным временем и возможностью, я мог бы доказать положение, согласно которому все эти правильные фигуры, поразительно разнообразные и причудливо украшающие великое множество тел, образуются в результате лишь трех или четырех расположений или комбинаций сферических частиц». Что за частицы? Об этом в ту пору нет никакого представления. Эти высказывания - лишь смутные умозрительные догадки.

С середины XVII века появляется кристаллографический эксперимент. Мы уже говорили, что в 1669 году Стенон открыл закон постоянства углов кристаллов, лежащий в основе всей геометрической кристаллографии. В этом же году соотечественник и старший современник Стенона, профессор математики и медицины в Копенгагенском университете Эразм Бартолин сделал еще два существенных открытия, которые легли в основу физической кристаллографии.

В руки Бартолина попали большие кристаллы совершенно прозрачного кальцита, так называемого исландского шпата, впервые привезенного тогда в Европу из Исландии. На этих кристаллах Бартолин обнаружил изумительное явление двойного лучепреломления света. Другое замечательное явление заметил Бартолин, когда один из кристаллов в его руках случайно разбился. Оказалось, что хотя формы кристаллов исландского шпата разнообразны, но при ударе кристалл всегда раскалывается по ровным плоскостям на совершенно правильные ромбоэдры, и так снова и снова. У всех осколков исландского шпата всегда разбивается по одинаковым плоскостям, так называемым плоскостям спайности. Теперь мы знаем, что спайность, т. е. способность кристалла раскалываться по определенным плоскостям, присуща не только исландскому шпату, но и многим другим кристаллам.

Осколки стекла не имеют правильной формы, стекло изотропно. Осколки исландского шпата огранены гладкими гранями, исландский шпат отличается совершенной спайностью, т. е. его прочность анизотропна.

Кристаллы каменной соли, хлористого калия, фтористого лития при ударе всегда раскалывается по ровным граням куба, алмаз, флюорит разбивается на мелкие октаэдры, слюда, графит, гипс расщепляются на тонкие пластинки, и т. д.

Спайность - одно из самых ярких проявлений анизотропии кристаллов. Почти все физические свойства кристаллов зависят от того, в каком направлении их измерять. Но это узнали позже, а Бартолин только обнаружил спайность, увидев, что все осколки исландского шпата имеют форму маленьких ромбоэдров. Бартолин разбивал осколки все дальше и дальше, все мельче и мельче, - осколки были уже еле видны, а их форма оставалась все той же. А если бы удалось раскалывать их еще и еще мельче? Об этом задумался знаменитый голландский физик, один из основоположников оптики Христиан Гюйгенс.

Прочтя трактат Бартолина и повторив его опыты в 1677 году, он тоже пришел к мысли, что кристалл кальцита, должно быть, построено из одинаковых мелких частичек, вплотную примыкающих к друг другу. В этом ему помогла спайность кальцита: как мелко он ни разбивал кристаллы, всегда получались сходные многогранники. Поэтому Гюйгенс и решил, что кристаллы сложены из одинаковых плотно уложенных частиц.

Французский аббат Гаюи, кристаллограф и минералог, тонкий наблюдатель, всю жизнь посвятил изучению кристаллов. Гаюи одним из первых заметил симметрию и закономерную повторяемость кристаллических многогранников. Можно сказать. Что он утвердил в науке о кристаллах идею симметрии.

«С какой бы точки зрения ни рассматривать природу, - писал Гаюи, - всегда поражает обилие и разнообразие ее творений… Она в своих подземных расселинах тайно подвергает обработке неорганические вещества и, как бы играя, порождает бесконечное разнообразие геометрических форм».

Разнообразие геометрических форм кристаллов больше всего привлекало Гаюи. Внимательно изучая геометрические формы минералов, он на основе кристаллографических данных объединил в один вид все вещества, которые до него рассматривались как различные так, он первый показал, что синий сапфир, алый рубин и невзрачный серый наждак - это все один и тот же минерал, корунд; что изумруд - это разновидность берилла. Это Гаюи первый показал, что каждому химическому веществу соответствует группа кристаллических форм, характерная именно для данного вещества. Этот закон ныне лежит в основе кристаллохимии.

Естественным был следующий шаг, и его сделал Гаюи: от формы кристалла, к утверждению, что кристаллическое строение вещества зависти от химического состава влечет за собой изменение строения кристалла.

Как и его предшественник, Гаюи основывался на том. Что, кристаллы, в первую очередь исландский шпат, раскалываются по плоскостям спайности. Рассказывают даже, что, нечаянно уронив на пол кристалл исландского шпата и увидев, что он разбился на мелкие ромбоэдры, Гаюи воскликнул: «Все найдено!», т. е. теория структуры кристаллов, о которой он столь много размышлял, сложилось окончательно. Гаюи решил, что, разбивая кристалл на все более и более мелкие осколки, можно, в конце концов, прийти к предельно малым многогранникам, которые уже нельзя расколоть дальше без нарушения природы их веществ. Называя эти частицы интегрирующими (составляющими) молекулами, Гаюи думал, что их «удалось бы выделить, если бы наши органы чувств и наши инструменты были достаточно тонкими». Может быть, предполагает Гаюи, эти самые молекулы находились во взвешенном состоянии в растворе и «когда им представлено… время, пространство и покой, они обнаруживают тенденцию к взаимному сближению. Сближаясь и соединяясь друг с другом, они образуют в совокупности многогранники, ограниченные обычно плоскими гранями. Этим телам и дали название кристаллов».

Начав с того, что разбивается кристалл на мелкие осколки, Гаюи пришел к решению обратной задачи: как растет кристалл. Гаюи представлял себе образование различных форм кристаллов: всякий кристалл, по его мнению, должен рассматриваться как соединение мельчайших кубиков, равных между собой и соприкасающихся друг с другом целыми гранями. Такие построения дали Гаюи возможность установить математический закон, которому подчиняется расположение граней в кристаллических многогранниках. Самое же главное - то, что учение Гаюи послужило основой для теории структуры кристаллов.

Многогранники и вирусы

Послушайте Джона Кендрью: «Вы можете спросить: а почему обязательно правильный многогранник? И почему именно икосаэдр? По-видимому, тут все дело в экономии - экономии генетической информации. Вирусная частица должна весь обмен клетки-хозяина перевернуть вверх дном; она должна заставить зараженную клетку синтезировать многочисленные ферменты и другие молекулы, необходимые для синтеза новых вирусных частиц. Все эти ферменты должны быть закодированы в вирусной нуклеиновой кислоте. Но количество ее ограничено. Поэтому для кодирования белков собственной оболочки в нуклеиновой кислоте вируса оставлено совсем мало места. Что же делает вирус? Он просто использует много раз один и тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого числа стандартных молекул - строительных белков, объединяющихся в процессе автосборки вирусной частицы. В результате достигается максимальная экономия генетической информации. Остается добавить, что по законам математики для построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы наблюдаем у вирусов».

Так «решают» вирусы сложнейшую задачу (ее называют «изопиранной»): найти тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из одинаковых и тоже простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов, настолько простые, что до сих пор неясно - относить их к живой или неживой природе, эти самые вирусы справились с геометрической проблемой, потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые «сферические вирусы», в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита, представляют собой крохотные икосаэдры, а отнюдь не сферы, как думали раньше.

Заключение

Миром красоты и гармонии мы называем правильные многогранники. Ведь на протяжении всей истории человечества эти многогранники восхищали симметрией и совершенством форм. Изображения пяти правильных многогранников - «Тела Платона», 13 полуправильных выпуклых многогранников - «Тела Архимеда» и 4-х невыпуклых многогранников - «Тела Пуансо - Кеплера» приводят пытливые умы к размышлению о красоте истин.

Подводя итоги своей работы, я могу сделать вывод: существует 5 правильных выпуклых многогранников: тетраэдр (четырёхгранник), гексаэдр (шестигранник), октаэдр (восьмигранник), додекаэдр (двенадцатигранник), икосаэдр (двадцатигранник) - Платоновы тела, 4 звездчатых правильных многогранника - тела Кеплера - Пуансо, 13 полуправильных многогранников - тела Архимеда. В работе описаны их свойства, показано, где они встречаются в природе.

Выполняя работу, я научилась изучать литературу по названной теме, делать анализ прочитанного, выбирать нужный материал, искать ответы на возникающие вопросы, делать выводы.

При работе по теме я прикоснулась к удивительному миру красоты, совершенства, гармонии, узнала имена учёных, художников, которые посвятили этому миру свои труды, являющиеся шедеврами науки и искусства. Ещё раз убедилась, что истоки математики - в природе, окружающей нас.

В ходе данного исследования был проведён анализ определений правильных многогранников, установлены условия существования правильных многогранников, выявлены свойства правильных многогранников.

Литература

1.       Китайгородский А.И. Порядок и беспорядок в мире атомов. - М., издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1977 г., 176 с.

2.       Левитин К. Геометрическая рапсодия. - М., издательство «Знание», 1976 г., 144 с.

.        Математика. Учебно-методическая газета. - 2006 г. - №22. - с.38-46.

.        Смирнов И., Смирнова В. В мире многогранников. - М., 1998.

.        Шаскольская М.П. Кристаллы. - М., 1978.

6.   Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. - 11 издание. - М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2002 г. - 206с.

7.       Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Учебник для 10 - 11 классов средней школы. - М.: Просвещение, 2001.

.         Веннинджер М. Модели многогранников. - М.: Мир, 1974.

9.       Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука,1972.

.        Математика. Еженедельная учебно-методическая газета. №24, 2004.с. 15-32.