Параметры работы электросхемы
1.Расчет параметров схемы при
переходном процессе классическим методом
1.1 Расчетная схема
Рисунок 1- Расчетная схема
Исходные данные к проекту: U01
=
120 B; U02
= 240 B; R1
= 12 Oм; R2
= 4Ом; R3
= 11 Ом; L3
= 100 мГн; С =2,5мФ
1.2 Определение начальных условий
До коммутации, когда t=-0
рубильник разомкнут, . Питание
цепи осуществляется от источника U01. Т.к. U01= const, то , L3 = 0, , отсюда
следует, что.
Поэтому
i1 (-0)
= i2(-0)
+ i3(-0)
, А
Так как конденсатор заряжается, то
напряжение будет равно
Uc
(-0)
= U01 =
120 , B
После коммутации, когда, t
= (+0) рубильник замкнут . По первому закону коммутации: i3
(+0)
= i3 (-0)
= 0 , А
По второму закону коммутации: Uc
(+0)
= Uc
(-0)
= 120 B.
Находим i1(0)
и i2(0),
по второму закону Кирхгофа:
А значит
, A
Итак, начальные условия:
i1 (0) = 0 , A,
i2 (0)
= 0 , A,
i3 (0)
= 0 , A,
Uc
(0)
= 120 , B.
.3 Определение конечных условий
Рисунок 2- Расчетная схема после коммутации
ток схема коммутация
После завершения переходного
процесса () питание
схемы осуществляется от двух источников: U01 и U02. Т.к. U01 = U02 = const, то = 0,
следовательно L3=0, .
Поэтому введем обозначения:
принужденные составляющие отметим одним штрихом;
свободные составляющие отметим двумя штрихами.
Принужденная составляющая тока i3 (t): , А, т.к. .
Воспользуемся вторым законом
Кирхгофа для нахождения принужденных составляющих токов i1 (t) и i2 (t): U01 - U02 = i1 R1 + i2 R2
отсюда
, A
Принужденная составляющая напряжения
на конденсаторе С определится следующим образом:
, B
1.4 Составление дифференциальных
уравнений для переходного процесса
Составим дифференциальные уравнения для
переходного процесса согласно выбранного направления обхода
Обозначим ; и подставим
в уравнения :
/:4
/+
/*D
/:0,1
(1)
Приведем выражение (1) к неоднородному
дифференциальному уравнению второго порядка:
(2)
Уравнение (2) является неоднородным дифференциальным
уравнением второго порядка. Закон изменения тока при коммутации определяется
суммой свободной и принужденной составляющих:
Составим характеристическое
уравнение и найдем его корни:
Поскольку корни вещественные
отрицательные, значит процесс разряда конденсатора при коммутации носит
апериодический затухающий характер. Закон изменения напряжения на емкости
определяется суммой свободной и принужденной составляющих:
Принужденная составляющаяВ, а
свободная составляющая при апериодическом затухающем разряде определяется
формулой:
Постоянные интегрирования и находим из
начальных условий при t = 0 по законам коммутации:
отсюда получаем:
i3(t) = 15e
Из схемы видно, что:
,
отсюда
Ток i2
(t)
определим по первому закону Кирхгофа:
,A
1.5 Итоговые результаты решения
классическим методом
, В
,A
2.Расчет параметров
схемы при переходном процессе операторным методом
2.1Операторная схема
Рисунок 3- Операторная схема замещения
2.2 Расчет токов ветвей
При расчете переходного процесса действительные
функции времени (оригиналы) заменяем их изображениями. Для определения токов
ветвей воспользуемся методом контурных токов. Выбираем независимые контуры и
положительные направление контурных токов:
Составим уравнение второго закона
Кирхгофа для контурных токов:
Найдем Э.Д.С. контуров в изображениях, подставив
значения U01
и U02
в уравнения (3) и (4):
, B
, B
Изображения полных сопротивлений
контуров составят:
,Ом
,Ом
,Ом
Находим изображение первого
контурного тока , подставив ,,, и в уравнения
(3) и (4):
/+
(5)
Находим изображение тока :
/+
(6)
Подставляем в выражение (6) значения изображений
Э.Д.С. и полных сопротивлений:
/:1,6
Т.к. , то, по теореме разложения
(7)
Найдем корни pк
уравнения H(p):
Возьмем производную от H(p):
Далее, подставив полученные значения
в выражение (7), получим ток (t):
, А
Аналогично находим изображение тока Подставляем
в выражение (5) значения изображений Э.Д.С. и полных сопротивлений:
(8)
/:1,6
=0
Далее, подставив полученные значения
в выражение (8), получим ток (t):
Ток второй ветви (t) определяем
по первому закону Кирхгофа:
2.3
Итоговые результаты решения операторным методом
3.Определение
точек экстремумов токов ветвей в течение времени t
Для того чтобы найти точки экстремумов,
необходимые для построения графика изменения токов ветвей схемы во времени при
коммутации, полученные выражения токов следует продифференцировать и
прологарифмировать.
Найдем экстремум для i1(t):
с
Найдем экстремум для i2(t):
Найдем экстремум для i3(t):
с
Найдём экстремум для :
t=0,c
4.Определение
времени переходного процесса
Время переходного процесса определяется по
следующей формуле:
, (9)
где - постоянная времени переходного
процесса.
Для емкости и индуктивности определяется
следующим образом:
Выбираем наибольшее значение и,
подставив в формулу (9), находим t:
c
5.Построение
графика переходного процесса
Для построения графика необходимо составить
таблицу значений токов ветвей с учетом изменения их в течение времени
переходного процесса t.
Таблица 1-Значения токав течение
времени переходного процесса t.
t
|
0
|
0,01
|
0,02
|
0,03
|
0,04
|
0,05
|
0,06
|
-40t
|
0
|
-0,4
|
-0,8
|
-1,2
|
-1,6
|
-2,0
|
-100t
|
0
|
-1,0
|
-2,0
|
-3,0
|
-4,0
|
-5,0
|
-6,0
|
10,670,450,300,200,140,09
|
|
|
|
|
|
|
|
10,370,140,050,020,010,002
|
|
|
|
|
|
|
|
3,802,551,711,140,770,510,34
|
|
|
|
|
|
|
|
-3,80-1,40-0,51-0,19-0,07-0,03-0,01
|
|
|
|
|
|
|
|
-7,50-6,35-6,30-6,55-6,80-7,02-7,17
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица2-Значения тока в течение
времени переходного процесса t.
t
|
0
|
0,01
|
0,02
|
0,03
|
0,04
|
0,05
|
0,06
|
-40t
|
0
|
-0,4
|
-0,8
|
-1,2
|
-1,6
|
-2,0
|
-2,4
|
-100t
|
0
|
-1,0
|
-2,0
|
-3,0
|
-4,0
|
-5,0
|
-6,0
|
1,000,670,450,300,200,140,09
|
|
|
|
|
|
|
|
1,000,370,140,050,020,010,002
|
|
|
|
|
|
|
|
-11,20-7,50-5,04-3,36-2,24-1,57-1,01
|
|
|
|
|
|
|
|
11,204,141,570,560,220,110,02
|
|
|
|
|
|
|
|
-7,50-10,86-10,97-10,30-9,52-8,96-8,49
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3-Значения тока в течение
времени переходного процесса t.
t
|
0
|
0,01
|
0,02
|
0,03
|
0,04
|
0,05
|
0,06
|
-40t
|
0
|
-0,4
|
-0,8
|
-1,2
|
-1,6
|
-2,0
|
-2,4
|
-100t
|
0
|
-1,0
|
-2,0
|
-3,0
|
-4,0
|
-5,0
|
-6,0
|
1,000,670,450,300,200,140,09
|
|
|
|
|
|
|
|
1,000,370,140,050,020,010,002
|
|
|
|
|
|
|
|
-15,00-5,55-2,10-0,75-0,30-0,15-0,03
|
|
|
|
|
|
|
|
04,504,653,752,701,951,32
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4-Значения напряжения в течение
времени переходного процесса t.
t
|
0
|
0,01
|
0,02
|
0,03
|
0,04
|
0,05
|
0,06
|
-40t
|
0
|
-0,4
|
-0,8
|
-1,2
|
-1,6
|
-2,0
|
-2,4
|
-100t
|
0
|
-1,0
|
-2,0
|
-3,0
|
-4,0
|
-5,0
|
-6,0
|
1,000,670,450,300,200,140,09
|
|
|
|
|
|
|
|
1,000,370,140,050,020,010,002
|
|
|
|
|
|
|
|
-150,0-100,5-67,50-45,00-30,0-21,0-13,50
|
|
|
|
|
|
|
|
60,0022,208,403,001,200,600,12
|
|
|
|
|
|
|
|
120,00131,70150,90168,00181,2189,6196,62
|
|
|
|
|
|
|
|