Определение напряженно-деформированного состояния многозамкнутого тонкостенного подкреплённого стержня

Определение напряженно-деформированного состояния многозамкнутого тонкостенного подкреплённого стержня

Определение напряженно-деформированного состояния многозамкнутого тонкостенного подкреплённого стержня

Введение

В данной работе рассматривается конструкция, имеющая трехзамкнутый контур в поперечном сечении. За расчетную модель примем модель тонкостенного стержня, так как эта расчетная модель широко применяется для анализа тонкостенных стержней большого удлинения, работающих на общий изгиб, кручение и имеющих сложную многосвязную форму поперечного сечения. Данная конструкция состоит из двух тонкостенных балок трапециевидного сечений и одного полукольцевого сечения. Верхние и нижние части контуров называются обшивками и изготовлены из карбонового волокна на эпоксидном связующем. Структура обшивок [0°, ±45°]. Боковые части контуров называются стенками, структура которых [±45°]. Стенки изготовлены также из карбонового волокна на основе эпоксидного связующего. В данной конструкции присутствуют сосредоточенные элементы в количестве шести стрингеров. Их структура [0°]. Целью данной работы является определение НДС полок, стенок и сосредоточенных элементов, которое возникает в результате действия распределенной по длине рассматриваемой конструкции нагрузки.

Исходные данные

Рис.1 Поперечное сечение конструкции и вид нагружения

Длина конструкции - L=5200мм;

длина первого контура - b1=200 мм;

длина второго контура - b2=250 мм;

длина стенок - h1 =180 мм; h2 =130 мм; h3 =80 мм;

площадь подкрепляющего элемента - f1 = f2 = f3 =40 ммІ;

толщина стенок - мм ; мм;

толщина обшивок - мм; мм;

распределенное давление - р=400 Па.

Материал обшивок и стенки - E - Glass/ Epoxy;

материал подкрепляющего элемента - T300/934 Carbon/ Epoxy.

ФМХ материалов обшивок, стенок и подкрепляющих элементов (ПЭ) представлены в табл. 1

Таблица 1

Структура обшивок - [0°, ±45°];

структура стенок - [±45°];

структура ПЭ - [0°].

1. Определение ФМХ конструкции

ФМХ конструкции определим отдельно для обшивок, стенок и ПЭ, так как они имеют различную структуру и изготовлены из разных материалов.

1.1 Определение ФМХ подкрепляющих элементов

Так как стрингеры изготовлены из однонаправленного материала то:

1.2 Определение ФМХ стенок конструкции

Для определения приведенных модулей упругости необходимо заранее определить коэффициент Пуассона в поперечном направлении:

 (1.2.1)

Определим приведенные модули упругости по формуле (1.2.2):

,  (1.2.2)

Численные значения, полученные по формулам (1.2.1) и (1.2.2) представим в виде табл. 2:

Таблица 2

Приведенные коэффициенты матрицы жесткости стенки с углами армирования [±45°] найдем по формулам (1.2.3), (1.2.4), (1.2.5), (1.2.6):

 (1.2.3)

 (1.2.4)

 (1.2.5)

 (1.2.6)

Численные значения коэффициентов матрицы жесткости представлены в табл. 3:

Таблица 3

Коэффициенты матрицы жесткости В определим по следующей формуле:

 (1.2.7)

где - толщина k-го слоя;  - приведенные коэффициенты матрицы жесткости; n - количество слоев.

Численные значения, полученные по формуле (1.2.7) представлены в табл. 4:

Таблица 4

Вычислим модули упругости, коэффициент Пуассона и модуль сдвига через выше определенные приведенные коэффициенты матрицы жесткости:

 (1.2.9)

 (1.2.10)

,  (1.2.11)

Рассчитанные по формулам (1.2.8) - (1.2.11) значения занесем в табл. 5:

Таблица 5

1.3 Определение ФМХ обшивок конструкции

Так как материал обшивок и стенок одинаковый, то приведенные модули упругости и коэффициент Пуассона в поперечном направлении будут одинаковыми и их значения представлены в табл. 2.

По формулам (1.2.3) - (1.2.6) найдем приведенные коэффициенты матрицы жесткости, учитывая, что структура обшивок [0°, ±45°]. Численные значения занесем в табл. 6.

Таблица 6

По формуле (1.2.7) определим коэффициенты матрицы жесткости обшивок (см. табл. 7).

Таблица 7

Зная коэффициенты матрицы жесткости, определим модули упругости и коэффициент Пуассона по формулам (1.2.8) - (1.2.11). Численные значения представим в табл. 8:

Таблица 8

2. Определение внутренних силовых факторов

Внешней нагрузкой, действующей на консольно закрепленную конструкцію, является давление, которое равномерно распределено по по двум верхним панелям. Зная геометрические размеры конструкции и значение распределенного давления, определим внутренние силовые факторы (ВСФ). Угол наклона крайних левых обшивок

Определим погонные усилия на оси х и у по формулам (2.1) и (2.2):

 (2.1)

 (2.2)  

Определим погонный момент:

Запишем законы изменения перерезывающих сил (2.3), изгибающих и крутящего моментов (2.4),их распределения по длине конструкции изображены на рисунках 2.1-2.5:

,

 ; (2.3)

,

,

. (2.4)

Рисунок 2.1. Эпюра распределения перерезывающей силы

Рисунок 2.2. Эпюра распределения перерезывающей силы

Рисунок 2.3. Эпюра распределения изгибающего момента  

Рисунок 2.4. Эпюра распределения изгибающего момента

Рисунок 2.5. Эпюра распределения крутящего момента  

3. Определение геометрических и жесткостных характеристик сечения

3.1 Определение координат центра жесткости сечения

Зная, что конструкция симметрична относительно горизонтальной плоскости, проходящей через середины стенок, выберем произвольную систему координат пересечение осей которой расположено на середине крайней левой стенки конструкции, как показано на (рисунке 1.1). Горизонтальная ось- ось Х, вертикальная ось- ось У. Определим осевую жесткость конструкции по формуле (3.1)

, (3.1)

где

- сосредоточенные площади стрингеров;

 -контурная координата,количество стрингеров.

 Нм.

 , (3.2)

где

- сосредоточенные площади стрингеров;

 -контурная координата,количество стрингеров,

х- расстояние от элемента до оси Х,

у- расстояние от элемента до оси У.

 Нм.

Ввиду симметрии конструкции относительно оси Х механический статический момент инерции равен нулю

. Зная осевую жесткость и механический статический момент инерции относительно осей Х и Y определим координаты центра жесткости сечения по формулам (3.3):

 (3.3)

3.2 Определение механических моментов инерции

Определим изгибную жесткость  относительно выбранной системы координат по формуле (3.4)

 (3.4)

Определим изгибную жесткость  относительно выбранной системы координат по формуле (3.5)

 (3.5)

 НмІ.

 НмІ.

Определим крутильную жесткость  относительно выбранной системы координат по формуле (3.6)

 (3.6)

Ввиду того, что данная конструкция симметрична относительно оси Х значение крутильной жесткости равно нулю.

 Определим изгибные и крутильную жесткости в главных центральных осях по формулам (3.7)

;  ; (3.7)

.

многозамкнутый тонкостенный стержень сечение

Запишем значения, полученные по формулам (3.7):

 НмІ,

 НмІ,

 НмІ.

Тогда коэффициент несимметрии поперечного сечения вычисляется по формуле (3.8). Его равенство единице говорит о нулевом угле поворота главных осей.

 (3.8)

4. Распределение нормальных усилий

Нормальные усилия определяются по формуле (4.1):

 , (4.1)

где

- приведенные к центральным осям моменты;  - приведенные координаты. Так как осевая сила не действует в конструкции, то . Коэффициент несимметрии равен 1. Распишем приведенные моменты:

 (4.2)

 (4.3)

Распишем приведенные координаты:

 (4.4)

 (4.5)

С учетом того, что ,  и  формулы (4.4) и (4.5) упрощаются:

 (4.6)

 (4.7)

Итак, с учетом вышесказанного, формула (4.1) примет вид:

 (4.8)

На нормальные напряжения работают и подкрепляющие элементы и обшивка со стенками, поэтому рассмотрим их отдельно.

Нормальные напряжения в подкрепляющих элементах определим по формуле (4.8), подставляя вместо  - ..

5. Определение потока касательных сил

.1 Расчет механических моментов отсеченной части контура сечения

Для анализа распределения ПКС по контуру понадобятся также механические моменты отсеченных частей. Для их определения в трехзамкнутом контуре введем три разреза для формирования тонкостенного стержня с открытым контуром поперечного сечения.

Так как конструкция является симметричной, то можно рассмотреть половину сечения.

На первом участке:

На втором участке:

На третьем участке:

На четвертом участке:

На пятом участке:

На остальных участках механические моменты отсеченных частей запишем следующим образом:

на седьмом участке:

На восьмом участке:

На девятом участке:

На десятом участке:

На одиннадцатом участке:

На двенадцатом участке:

.2 Определение ПКС от перерезывающих сил

Поток касательных сил в тонкостенных оболочках с многозамкнутым контуром поперечного сечения определяется следующим образом:

, (5.2.1)

где - коэффициент несимметрии;  - перерезывающие силы;  - механические моменты отсеченных частей;  - центробежные моменты инерции; - номер участка.

Распределение ПКС от перерезывающих сил представим в виде рис. 5.2.1 - 5.2.3.

Эпюры распределения ПКС построим в трех сечениях: , , .

5.3 Определение потоков

Потоки  определяются путем решения системы уравнений:

;  , j=1,2,…,n,

где  - момент внешних сил относительно некоторой точки (полюса); - перпендикуляр, проведенный из полюса к касательной к контуру (в общем случае является функцией от окружной координаты s);  - удвоенная площадь фигуры, ограниченной i-ым контуром; - угол закручивания поперечного сечения стержня, приходящийся на единицу длины; ,  - коэффициенты.

; .

Введем условные разрезы и приведем конструкцию к открытому контуру.

Определим  для заданной конструкции из следующей системы уравнений:

 (5.3.1)

Распишем площадь фигур, ограниченных контурами: 1-2-8-7; 2-3-4-10-9-8; 4-

-6-12-11-10.  (5.3.2)

 (5.3.3)

 (5.3.4)

Определим коэффициенты :

 (5.3.5)

 (5.3.6)

 (5.3.7)

 (5.3.8)

 (5.3.9)

Приведем численные значения коэффициентов , вычисленных по формулам (5.3.5) - (5.3.9):

,

,

,

,

.

Определим коэффициенты :

 (5.3.10)

 (5.3.11)

 (5.3.12)

Приведем численные значения коэффициентов , вычисленных по формулам (5.3.10) - (5.3.12):

,

,

.

Запишем момент внешних сил относительно точки пересечения осей х и у:

Решив систему (5.3.1) получим следующие значения потоков  и угла закручивания :

5.4 Определение суммарного ПКС

Поток касательных сил (ПКС) в тонкостенных оболочках с многозамкнутым контуром определяется как:

, (5.4.1)

где n - число контуров; - ПКС в стержне с открытым контуром поперечного сечения (образуется путем введения n условных разрезов).  - ПКС, компенсирующий условный разрез в i-ом контуре;  - функции, равные единице на участках контура сечения, где действует поток , и нулю на остальных участках.

Пользуясь формулой (5.4.1) определим суммарный ПКС на каждом участке:

6. Определение центра изгиба сечения

Зная, что в центре изгиба кручения не происходит, то заранее приравняем угол кручения нулю. Примем .

С учетом вышесказанного упростим систему уравнений (5.3.1) и запишем:

 (6.1)

Пользуясь формулами (5.3.2) - (5.3.12) и системой (6.1) определим положение центра изгиба:

Положение центра изгиба покажем на рис. 6.1:

7. Определение всех компонентов линейных и угловых перемещений

Линейные перемещения по осям х и у определим по следующим формулам:

 (7.1)

 (7.2)

Распределение перемещений по длине конструкции представим в виде рис. 7.1 и 7.2:

Рис. 7.1. Распределение линейного перемещения , м.

Рис. 7.2. Распределение линейного перемещения , м.

Запишем численные значения линейных перемещений в сечении :

;

.

Угловые перемещения определим по следующим формулам:

 (7.3)

 (7.4)

Запишем численные значения угловых перемещений в сечении , полученные при помощи формул (7.3) и (7.4):

8. Расчет на устойчивость

Запишем критерий устойчивости для нашей конструкции:

 (8.1)

где  - размеры участка полки; - изгибные жесткости; m - количество полуволн потери устойчивости; c - соотношение размеров полки.

Количество полуволн определяется из следующего неравенства:

 (8.3)

Определим изгибные жесткости по следующим формулам:

 (8.4)

 (8.5)

 (8.6)

 (8.7)

 (8.8)

где i - номер полки.

Проверим на устойчивость первую полку:

зададим размеры полки: , , тогда .

Запишем численные значения, полученные по формулам (8.4) - (8.8):

Нм,

Нм,

Нм,

Нм,

Нм.

Пользуясь неравенством (8.3) определим, что m=5.

По формуле (8.2) определим критическое усилие сжатия:

 Н/м.

Критическое усилие сдвига определим по следующей формуле:

Запишем численное значение критического усилия сдвига, определенного по формуле (8.9):

 Н/м.

Действующие усилия  и  определим как осредненное значение нормальных усилий  и суммарного ПКС в сечениях  и .

 Н/м,

 Н/м.

Запишем численное значение, определенное по формуле (8.1):

Полученное значение > 1, значит первая полка теряет устойчивость.

Проделаем все вышесказанное для второй полки и получим:

Полученное значение > 1, значит вторая полка тоже теряет устойчивость.

9. Проверка полученного решения

Составим уравнение равновесия на ось х:

Составим уравнение равновесия на ось у:

Определим погрешность:

Заключение

В данной работе было исследовано НДС полок, стенок и сосредоточенных элементов, которое возникает в результате действия распределенного по длине рассматриваемой конструкции давления. Определен суммарный поток касательных усилий, который возникает в результате того, что на многозамкнутый тонкостенный стержень действует нагрузка распределенная по всей длине конструкции.

Список используемых источников

1. Гагауз П.М. Конспект лекций по курсу «Механика и прочность конструкций из КМ»

. Карпов Я.С. , Гагауз Ф.М. Проектирование и КТР лонжеронного крыла из КМ. - Учеб. пособие. - Харьков: «ХАИ», 2004. - 143 с.