полиномиальный алгоритм неизвестен <#"justify">Временная и пространственная сложности
Теория сложности вычислений возникла из потребности сравнивать быстродействие алгоритмов, чётко описывать их поведение (время исполнения и объём необходимой памяти) в зависимости от размера входа и выхода.
Количество элементарных операций, затраченных алгоритмом для решения конкретного экземпляра задачи, зависит не только от размера входных данных, но и от самих данных. Например, количество операций алгоритма сортировки вставками значительно меньше в случае, если входные данные уже отсортированы. Чтобы избежать подобных трудностей, рассматривают понятие временной сложности алгоритма в худшем случае.
Временная сложность алгоритма (в худшем случае) - это функция размера входных и выходных данных, равная максимальному количеству элементарных операций, проделываемых алгоритмом для решения экземпляра задачи указанного размера. В задачах, где размер выхода не превосходит или пропорционален размеру входа, можно рассматривать временную сложность как функцию размера только входных данных.
Аналогично понятию временной сложности в худшем случае определяется понятие временная сложность алгоритма в наилучшем случае. Также рассматривают понятие среднее время работы алгоритма, то есть математическое ожидание времени работы алгоритма. Иногда говорят просто: «Временная сложность алгоритма» или «Время работы алгоритма», имея в виду временную сложность алгоритма в худшем, наилучшем или среднем случае (в зависимости от контекста).
По аналогии с временной сложностью, определяют пространственную сложность алгоритма, только здесь говорят не о количестве элементарных операций, а об объёме используемой памяти.
Асимптотическая сложность
Несмотря на то, что функция временной сложности алгоритма в некоторых случаях может быть определена точно, в большинстве случаев искать точное её значение бессмысленно. Дело в том, что, во-первых, точное значение временной сложности зависит от определения элементарных операций (например, сложность можно измерять в количестве арифметических операций,битовых <#"justify"> операций или операций на машине Тьюринга <#"justify">Рассмотрение входных данных большого размера и оценка порядка роста времени работы алгоритма приводят к понятию асимптотической сложности алгоритма. При этом алгоритм с меньшей асимптотической сложностью является более эффективным для всех входных данных, за исключением лишь, возможно, данных малого размера. Для записи асимптотической сложности алгоритмов используются асимптотические обозначения.
В теории сложности вычислений <#"justify"> сведение - преобразование одной задачи к другой. В общем случае, если у нас есть алгоритм, преобразующий экземпляры задачи P1 в экземпляры задачи P2, которые имеют тот же ответ (да/нет), то говорят, что P1 сводится к P2. Таким образом, сводимость - это отношение между двумя задачами. С помощью такой связи могут быть доказаны вычислимость <#"justify"> задачи или ее принадлежность тому или иному классу сложности <#"justify">Классы сложности
Класс сложности
Класс сложности - это множество задач распознавания, для решения которых существуют алгоритмы, схожие по вычислительной сложности. Два важных представителя:
Класс P
Класс P <#"justify"> вмещает все те проблемы, решение которых считается «быстрым», то есть полиноминально <#"justify"> зависящим от размера входа. Сюда относится сортировка <#"justify"> и многие другие.
Класс NP
В теории алгоритмов <#"justify"> (функций <#"justify">Для каждого класса существует категория задач, которые являются «самыми сложными». Это означает, что любая задача из класса сводится к такой задаче, и притом сама задача лежит в классе. Такие задачи называют полными задачами для данного класса. Наиболее известными являются NP-полные задачи <#"justify">Полные задачи - хороший инструмент для доказательства равенства классов. Достаточно для одной такой задачи предоставить алгоритм, решающий её и принадлежащий более маленькому классу, и равенство будет доказано.
Класс NP содержит задачи, которые недетерминированная машина Тьюринга в состоянии решить за полиномиальное количество времени. Следует заметить, что недетерминированная машина Тьюринга является лишь абстрактной моделью, в то время как современные компьютеры соответствуют детерминированной машине Тьюринга с ограниченной памятью. Таким образом, класс NP включает в себя класс P, а также некоторые проблемы, для решения которых известны лишь алгоритмы, экспоненциально зависящие от размера входа (то есть неэффективные для больших входов). В класс NP входят многие знаменитые проблемы, такие как задача коммивояжёра, задача выполнимости булевых формул, факторизация и др.
Проблема равенства классов P и NP
Каждый класс сложности (в узком смысле) определяется как множество предикатов, обладающих некоторыми свойствами. Типичное определение класса сложности выглядит так:
Классом сложности X называется множество предикатов P(x), вычислимых на машинах Тьюринга <#"justify"> и использующих для вычисления <#"justify">В качестве ресурсов обычно берутся время вычисления (количество рабочих тактов машины Тьюринга) или рабочая зона (количество использованных ячеек на ленте во время работы). Языки, распознаваемые предикатами из некоторого класса (то есть множества слов, на которых предикат возвращает 1), также называются принадлежащими тому же классу.
Кроме того, многие классы могут также быть описаны в терминах математической логики <#"justify"> или теории игр <#"justify">Классы принято обозначать прописными буквами. Дополнение к классу C (то есть класс языков, дополнения которых принадлежат C) обозначается co-C.
Отношения между классами
Все классы сложности находятся в иерархическом отношении: одни включают в себя другие. Однако про большинство включений неизвестно, являются ли они строгими. Одна из наиболее известных открытых проблем в этой области - равенство классов P и NP <#"justify"> о не вырожденности иерархии (то есть все классы различны). Кроме того, известно, что EXPSPACE <#"justify"> не равен классу PSPACE <#"justify">Теория вычислимости берёт свое начало от диссертации Тьюринга <#"justify">Заключение
класс сложность алгоритм
В настоящее время исследования по теории вычислимости активно ведутся во всех странах мира. Россия всегда была одним из мировых центров исследований по теории вычислимости и её приложениям. Эти исследования берут начало от ранних работ Маркова <#"justify"> и Мальцева <#"justify"> по теории алгоритмов и её связям с алгеброй <#"justify"> в Новосибирске, школа Арсланова <#"justify"> в Казани) и других стран бывшего Советского Союза (Алма-Ата, Казахстан).
Список использованной литературы
1. Михеева Е.В. Информационные технологии: Учеб. Пособие для сред. проф. образования - М.: Издательский центр «Академия», 2005.
. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.
. Угринович Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям: Учебное пособие для общеобразовательных учреждений / Н.Д. Угринович, Л.Л. Босова, Н.И. Михайлова. - 4-е изд. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 394 с.
4. Жукова Е.Л., Бурда Е.Г. Информатика: Учеб. Пособие. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К»; Ростов н/Д: Наука-Пресс, 2007.- 272 с.