Составление и использование математических моделей для решения линейных оптимизационных задач

Составление и использование математических моделей для решения линейных оптимизационных задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятский государственный университет»

(ФГБОУ ВПО «ВятГУ»)

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра электронных вычислительных машин

Составление и использование математических моделей для решения линейных оптимизационных задач

Отчет

Лабораторная работа №2 по дисциплине «Моделирование»

Вариант 8

Выполнил студент группы ВМ-32 ____________/Умрилов М.В./

Проверил старший преподаватель ____________/Блинова С.Д/.

Киров 2012

1. Цель работы

Целью работы являются:

- построение и использование математических и алгоритмических моделей для решения линейных оптимизационных задач;

-       освоение приемов работы с инструментом «Поиск решения» среды Microsoft Excel.

. Постановка задачи

У игрока имеется 500000 рублей. Требуется разделить имеющиеся денежные средства по четырём альтернативным вариантам игры. Игра имеет три исхода. Размеры выигрыша для каждого исхода приведены в таблице 1.

Таблица 1- Размеры выигрыша/проигрыша для каждого исхода игры

Выигрыш/проигрыш

1

2

3

4

1

-3

4

-7

15

2

5

-3

9

4

3

3

-9

10

-10

Объект моделирования - процесс получения максимального выигрыша, субъект - тот, кто решает данную задачу. Цель - оптимизация распределения денежных средств по вариантам игры с учетом вероятности выигрыша. Для достижения цели создается алгоритмическая и программная модель, на основе математической модели.

3. Разработка математической модели решения задачи

Для решения поставленной задачи следует обозначить через x1, x2, x3, x4 денежные ставки в каждый вариант игры. Задача, которую требуется решить, в соответствии с постановкой задачи относится к классу оптимизационных задач. Для решения оптимизационной задачи ее необходимо выразить через целевую функцию F(x) вида

F(x)= 5*x1-8*x2+12*x3+9*x4. (1)

Коэффициенты целевой функции (1) берутся из расчета суммы исходов для каждого варианта в соответствии с таблицей 1.

На целевую функцию накладываются следующие ограничения:

сумма ставок по каждому варианту не должна превышать 500000 рублей;

величины ставок должны быть целыми;

величины ставок должны быть неотрицательными.

Данные ограничения можно представить в виде

x1+ x2+ x3+ x4≤500000

xi - целые числа (2)

xi ≥ 0

По условию задачи целевую функцию нужно максимизировать. Результатом будет значение целевой функции при заданных ограничениях, а также вещественные значения xi. Таким образом, математической моделью решения данной задачи является целевая функция (1) и система ограничений (2), а поскольку целевая функция и ограничения линейно зависят от переменных, то данная модель является линейной.

4. Разработка алгоритмической модели выполнения задачи

Для нахождения оптимальной величины ставок используется программная модель Поиск решений, в качестве исходных значений для которой требуется ввести целевую функцию (1) и систему ограничений (2).

Алгоритмическая модель метода решения задачи в виде схемы работы системы представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Алгоритмическая модель метода решения задачи

Ввод системы ограничений и условий оптимизации для решения поставленной задачи представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 - Ввод исходных данных

. Получение результатов

Результат использования алгоритмической модели, описанной в пункте 4, представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 - Экранная форма результатов работы алгоритмической модели

математический алгоритмический модель решение задача

Как видно из рисунка 3 результатом решения линейной оптимизационной задачи являются следующие значения переменных: x1=0; x2=0; x3=500000; x4=0. Подставив полученные значения в целевую функцию, получили 5*0-8*0+12*500000+9*0=6000000 рублей.

6 Выводы по достижению цели работы

В результате работы с помощью программы Microsoft Excel было получено оптимальное распределение денежных средств для максимизации выигрыша, удовлетворяющее всем ограничениям. Таким образом, поставленная цель была выполнена.