Расчет LC- и ARC- фильтров

Расчет LC- и ARC- фильтров

Санкт-Петербургский Государственный Университет Телекоммуникаций

им. проф. М.А.Бонч-Бруевича.

Курсовая работа по дисциплине

«Основы теории цепей»

«Расчет LC- и ARC- фильтров»

Выполнил:

Бабаян В.Л. Группа: Р-07

Проверил:

Доц. кафедры ТЭС Шушпанов Д.В.

Санкт-Петербург

2012

1. 
РАСЧЕТ LC - ФИЛЬТРА

1.1 Содержание задания

Рассчитать LC-фильтр, полагая, что его элементы имеют пренебрежимо малые потери.

Согласно заданного варианта 2, определяем исходные данные.

Код задания - 221.

Тип фильтра - ФВЧ.

Вид аппроксимации - по Чебышеву.

Режим работы фильтра - двусторонняя нагрузка (рис1.1).

Рис 1.1 Работа фильтра в режиме двусторонней нагрузки.

Исходные данные для расчета ФВЧ:

С = 0,2;

М = 1+С = 1,2;

0 = 45дБ. - гарантированное ослабление в полосе задержания;

f0 = 4,2M = 5,04кГц. - граничная частота полосы пропускания ФВЧ;

fk = 2,7M = 3,24кГц. - граничная частота полосы задерживания ФВЧ;

Δ a = 1,25дБ. - допустимая неравномерность характеристики ослабления в полосе пропускания.

Ослабление фильтра определяется выражением:

a(ω) = -20lg|H(jω)|, (1.1)

где H(jω)=H(p)| p= jω ;

передаточная функция для режима работы с двусторонней нагрузкой;

R1 = 600 Ом, а величина R2 находится при расчете фильтра.

1.2 Проектирование схемы фильтра

При расчете фильтра используем метод, основанный на частотном преобразовании фильтра прототипа нижних частот (ФПНЧ).

Определяем порядок ФПНЧ, который для фильтров с характеристиками Чебышева находится по формуле:

 (1.2)

где  - нормированная граничная частота полосы задержания ФПНЧ для расчета ФВЧ.

Рассчитанное значение n следует округлить до ближайшего большего целого числа.

Подставив заданные значения в (1.2), определим n :

 ;

Схема ФПНЧ 7-го порядка (n=7), в режиме двусторонней нагрузки, приведена на рис.1.2.

Рис 1.2 Схема ФПНЧ 7-го порядка в режиме двусторонней нагрузки.

Значения элементов  и  двусторонне нагруженного ФПНЧ с характеристиками Чебышева при ∆a=1.25дБ. и n=7:

;

;

;

;

;

;

;

Параметры элементов проектируемого ФВЧ определяем путем соответствующего пересчета параметров элементов ФПНЧ по формулам:

 ;

 ;

.

где  для фильтра работающего в режиме двусторонней нагрузки.

Схема ФВЧ, полученная в результате преобразования ФПНЧ 7-го порядка приведена на рис 1.3. Значения параметров фильтра приведены в таблице 1.1.

Рис 1.3 Схема LC-фильтра верхних частот 7-го порядка. Режим работы фильтра - двусторонняя нагрузка.

Таблица 1.1

1.3 Определение передаточной функции фильтра

Передаточная функция полиномиального ФПНЧ определяется по формуле:

где  - полином Гурвица n-й степени,  - коэффициент, определяющий величину ослабления фильтра на частоте .

Для ФПНЧ с характеристикой Чебышева при ∆a=1.25дБ. и n=7

 (индекс при B означает порядок ФПНЧ).

Сомножители полинома Гурвица для ФПНЧ 7-го порядка с характеристикой Чебышева при ∆a=1.25дБ. :

В результате получаем передаточную функцию полиномиального ФПНЧ:

Передаточную функцию проектируемого ФВЧ  находим частотным преобразованием передаточной функции  ФПНЧ по формулам преобразования, приведенным в таблице 1.2:

Таблица 1.2

Передаточная функция ФПНЧ Формула преобразованияПередаточная функция фильтра

Тип

Получаем искомую функцию:

(1.3)

при заданном значении :

 (1.4)

1.4 Расчет характеристики ослабления проектируемого фильтра

Передаточная характеристика проектируемого фильтра (1.4):

После преобразования числителя получаем:

;

Характеристика ослабления проектируемого фильтра определяется по формуле:

Расчет характеристики ослабления выполним на ПК по программе MATHCAD.

Выберем частотный диапазон и число расчетных точек достаточными для сопоставления рассчитанных характеристик с исходными требованиями к ним.

 ;

Характеристика ослабления проектируемого фильтра приведена на рис 1.4.

Рис 1.6 позволяет проанализировать значение неравномерности характеристики ослабления фильтра в полосе пропускания.

Рис 1.4 Характеристика ослабления проектируемого ФВЧ.

Рис 1.5 Полосы пропускания и задерживания проектируемого ФВЧ 7-го порядка.

Рис 1.6 Неравномерность характеристики ослабления фильтра в полосе пропускания.

1.5 Моделирование на ПК

Моделирование ФВЧ на ПК выполним с помощью программы Fastmean 5.0. Для этого изобразим на экране дисплея схему рассчитанного фильтра (рис 1.7) и снимем характеристику рабочего ослабления фильтра.

Рис 1.7 Схема рассчитанного ФВЧ 7-го порядка.

Рис 1.8 Характеристика рабочего ослабления рассчитанного ФВЧ.

2.  РАСЧЕТ ARC - ФИЛЬТРА

2.1    Содержание задания

Операторную передаточную функцию, полученную в задании 1, с точностью до постоянного множителя реализовать активной RC - цепью.

Привести схему ARC-фильтра, рассчитать параметры элементов звеньев методом уравнивания коэффициентов.

Получить выражения и построить графики АЧХ и ФЧХ , а также частотных зависимостей чувствительностей АЧХ и ФЧХ к изменению параметра заданного элемента Wk для звена фильтра N9 табл. 2.2 (вариант 2).

Рассчитать характеристику ослабления ARC-фильтра через его передаточную функцию H(p) моделирования фильтра на ПК.

Сравнить графики характеристик ослабления LC и ARC- фильтров и сделать выводы.

2.2    Построение схемы

Передаточная функция проектируемого фильтра, полученная в задании 1 - (1.3), (1.4):

Схему ARC - фильтра составим путем каскадно-развязанного соединения звеньев 2-го и 1-го порядков, каждое из которых реализует один из сомножителей функции H(p).

Произведем расчет добротности полюсов сомножителей передаточной функции.

;

;

;

Анализируя полученные значения добротностей, определяем тип ARC - звеньев.

звено.

;

При  выбираем звено с одним операционным усилителем. Схема N4 табл. 2.1 [1] . Схема приведена на рис 2.1.

Рис. 2.1 Схема ARC - звена.

звено.

;

При  выбираем звено с одним операционным усилителем. Схема N4 табл. 2.1 [1] . Схема приведена на рис 2.1.

Передаточная функция ARC - звена приведенного на рис.2.1 определяется выражением:

звено.

;

Для построения 3-го звена следует применить звено реализованное по методу АВТ, так как . Для реализации выбираем схему N9 табл. 2.2 [1]. Схема приведена на рис 2.2.

Рис 2.2 Схема звена АВТ-структуры.

звено.

В качестве звена реализующего сомножитель 1-го порядка используем высокочастотное RC- звено рис 2.3.

Рис.2.3 Высокочастотное RC-звено 1-го порядка.

При каскадном соединении звенья располагаем от входа к выходу цепи в порядке возрастания добротности полюса передачи. Высокочастотное

RC-звено располагается на выходе цепи. Полная схема ARC- фильтра верхних частот приведена на рис 2.4.

Рис 2.4 Схема ARC- фильтра верхних частот.

2.3    Расчет параметров ARC - фильтра

Для нахождения численных значений параметров элементов выбранных звеньев составим системы уравнений путем уравнивания численных коэффициентов реализуемого сомножителя передаточной функции фильтра, полученной в задании 1, с соответствующими коэффициентами передаточной функции применяемого звена.

Передаточная функция ФВЧ полученная в задании 1 (1.4):

Передаточная функция ФВЧ полученная в задании 1, должна быть реализована с точностью до постоянного множителя, поэтому нет необходимости уравнивать коэффициенты в числителях выражений.

Звено 1

Реализуемый сомножитель передаточной функции:

. (2.1)

 (2.2)

Уравниваем коэффициенты знаменателей (2.1) и (2.2)

;

,

составим систему уравнений.

Задаем равенство C1=C2=C3=C=Ф. и рассчитываем остальные параметры.

 ;

В результате получим:

C1=C2=C3=2 нФ.;

R1=1,795 кОм.;

R2=31,115 кОм.

Звено 2

Реализуемый сомножитель передаточной функции:

. (2.3)

Передаточная функция используемого ARC-звена:

 (2.4)

Уравниваем коэффициенты знаменателей (2.3) и (2.4)

;

,

составим систему уравнений.

Задаем равенство C1=C2=C3=C=Ф. и рассчитываем остальные параметры.

 ;

В результате получим:

C1=C2=C3=2 нФ.;

R1=1,242 кОм.;

R2=129,859 кОм.

Звено 3

Сомножитель передаточной функции фильтра для расчета 3-го звена имеет вид:

Схема используемого звена АВТ- структуры приведена на рис 2.5.

Приведенная схема содержит 3 блока: блоки 1 и 2 - интеграторы, блок 3 - алгебраический сумматор.

Выражение, описывающее работу интегратора 1-го блока, имеет вид:

Аналогично, для 2-го блока:

Рис 2.5 Схема используемого звена АВТ- структуры

Схема 3-го блока приведена на рис 2.6.

По схеме найдем зависимость между выходным и входными напряжениями методом узловых напряжений.

Рис 2.6 Схема блока 3.

Рассмотрим узел а.

n

;

;

;

Для узла б

;

;

;

Составим систему уравнений:

 ;

Определяем передаточную функцию АВТ-структуры.

 ;

;

;

;

В результате получаем передаточную функцию АВТ-структуры.

 (2.5)

Расчет элементов 3-го звена.

Примем значение Ф.; R3=R4=R5=R6=50 кОм..

В результате получаем:

нФ.;

1=184,932 кОм.; (2.6)

R2=1,329 кОм.

Расчет 4-го звена.

 ;

;

Примем R=600 Ом. и рассчитаем значение C.

 нФ.

Рассчитанные значения элементов ARC-фильтра верхних частот приведенного на рис 2.4 представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Определим величину плоского ослабления рассчитанного ARC- фильтра верхних частот. Для этого вычислим коэффициент .

где N - число сомножителей передаточной функции

, полученной в задании 1;

 - значение коэффициента перед p в старшей степени числителя H(p);

 - значения коэффициентов числителей передаточных функций

реализованных звеньев.

;

Отличие коэффициента  от 1 очень мало, поэтому характеристика ослабления рассчитанного ARC-фильтра практически не будет отличаться от требуемой.

2.4 Расчет частотных зависимостей параметрических чувствительностей АЧХ и ФЧХ звена АВТ- структуры

Схема заданного звена АВТ-структуры приведена на рис 2.7.

Передаточная функция

Рис 2.7 Схема звена АВТ-структуры.

Расчет произведен в п2.3. Рассчитанная передаточная функция (2.5)

Рассчитанные значения элементов (2.6)

нФ.;

1=184,932 кОм.;

R2=1,329 кОм.

Подставив значения элементов, получим:

 .

Переходим к комплексному виду:

;

.

АЧХ:

.

ФЧХ:

.

Графики АЧХ и ФЧХ приведенные на рис 2.7 и рис 2.8 построены на ПК при помощи программы MATHCAD.

Рис 2.7 График АЧХ звена АВТ.

Рис 2.8 График ФЧХ звена АВТ.

Рассчитаем частотную зависимость параметрических зависимостей чувствительностей АЧХ и ФЧХ заданного звена АВТ-структуры.

.

По операторной передаточной функции,  и  соответственно равны:

;

Получим операторную функцию чувствительности к изменению заданного параметра .

 ;

;

;

Подставляя численные значения элементов схемы, получаем:

Переходим к комплексной форме.

Получаем чувствительность АЧХ:

Чувствительность ФЧХ:

Графики параметрической чувствительности АЧХ и ФЧХ построенные в среде MATHCAD приведены на рис 2.9 и рис 2.10.

Рис 2.9 График параметрической чувствительности АЧХ.

Рис 2.10 График параметрической чувствительности ФЧХ.

2.5    Расчет характеристики ослабления фильтра на ПК

фильтр частота ослабление

Характеристику ослабления рассчитанного ARC-фильтра верхних частот смоделируем на ПК с использованием программы FASTMEAN.

Для этого изобразим на экране дисплея схему рассчитанного ARC ФВЧ, приведенную на рис 2.4. Значения элементов схемы возьмем из таблицы 2.1..

Заземлим балансный узел и определим нумерацию узлов. Выберем частотный диапазон измерения характеристики ослабления активного фильтра таким же, как при расчете ослабления LC-фильтра. Зададим параметры измерения (количество расчетных точек, входную и выходную величину).

В результате получим график характеристики ослабления рис 2.11 и график неравномерности характеристики ослабления рис 2.12 рассчитанного ARC- фильтра верхних частот. Сравним полученную характеристику ослабления ARC- фильтра с характеристиками LC- фильтра приведенными на рис 1.4, и рис 1.6.

Вывод

Графики характеристики ослабления рассчитанного ARC- фильтра верхних частот практически не отличаются от графиков характеристики рабочего ослабления рассчитанного LC-фильтра на всех частотах.

Спроектированные ARC- и LC-фильтры верхних частот удовлетворяют требуемым параметрам.

Гарантированное ослабление в полосе задержания больше 45 дБ.;

допустимая неравномерность характеристики рабочего ослабления LC-фильтра верхних частот и характеристики ослабления ARC-фильтра верхних частот не превышает 1,25 дБ.; граничные частоты полосы пропускания и полосы задерживания соответствуют заданным значениям ( ).

Тип фильтра, заданные параметры a0 , f0, fk, Δa, а также вид аппроксимации характеристики ослабления - реализованы как у LC- так и у ARC- фильтра.

Рис 2.11 Характеристика ослабления рассчитанного ARC-фильтра верхних частот.

Рис 2.12 Неравномерность характеристика ослабления рассчитанного ARC-фильтра верхних частот.