|
Вариант
|
a
|
b
|
c1
|
с2
|
z1
|
z2
|
|
3
|
0.1
|
2
|
-1
|
0.7
|
0.3
|
1.2 Функция дожития
Опишем функцию дожития на примере
новорожденного. Возраст в момент смерти T
для этого новорожденного является случайной величиной непрерывного типа.
Обозначим через F(t)
функцию распределения этой случайной величины,
(1)
и положим
(2)
Функция S(t)
называется функцией дожития. Для любого положительного t
величина S(t)
является вероятностью того, что новорожденный достигнет возраста t.
Распределение случайной величины T
может определяться либо заданием функции распределения F(t) либо функции S(t).
В демографии функция дожития традиционно использовалась как исходная точка для
дальнейших исследований. В теории вероятностей и в статистике такую роль играет
функция распределения[2].
.3 Интенсивность смертности (функция смертности)
Формула
(3)
выражает в терминах функции распределения и в
терминах функции дожития условную вероятность того, что лицо умрет в возрасте
между t и z
при условии, при условии, что оно доживет до возраста t.
Если разность t-z
постоянна
и равна с, то рассматриваемая как функция от t,
эта условная вероятность описывает распределение вероятности смерти в ближайшем
будущем (между моментами времени 0 и c)
для лица, достигшего возраста t.
Аналог этой функции, рассматривающий смерть в определенный момент, можно
получить, используя плотность вероятности смерти по достижении возраста t,
т.е. формулу (3) с 
(4)
В этом выражении 
является
функцией плотности распределения непрерывной случайной величины "возраст в
момент смерти". Функция 
в формуле (4)
может интерпретироваться в терминах условных плотностей. Для каждого возраста t
она дает значение в точке t
условной функции плотности случайной величины T
при условии дожития до возраста t
и обозначается через µ(t)
[2].
Получаем
(5)
Из свойств функций f(t)
и S(t)
следует, что 
.
В актуарной науке и в демографии µ(t)
называется интенсивностью смертности. В теории надежности
<#"551277.files/image013.gif">(6)
Плотность вероятности[3]:
(7)
Интенсивность отказа µ(t)
[3]:
(8)
Кумулятивный риск H(t)
[3]:
(9)
Заменяя 
на
новую переменную x приводим
интеграл к виду[3]:
(10)
Средняя длительность процесса[3]:
(11)
В задачах, с конечным числом различных значений z,возможно
и не потребуется дальнейшее уточнение вида функции ψ(z).В
других постановках может потребоваться параметрическое задание ψ(z);
тогда записываем ψ(z;β).Так
как ψ(z,β)≥0;
ψ(0;β)=1,то
естественно предположить в качестве такой функции[3] 
При сравнении двух групп с единственной бинарной
поясняющей переменной можно положить[3]
или 
.5 Программа-функция на MATLAB
Программа-функция на MATLAB
для вычисления и графического преставления функции дожития и смертности для модели
ускоренных испытаний.
function km(a,b,c1,c2,z1,z2)
t=0:14;=exp(c1*z1+c2*z2); % функция учитывающая
влияние двух факторов z1 и z2=(a/b)*(exp(b*t)-1); % базовый кумулятивный
риск=exp(-H0);% стандартная функция дожития=exp(-f*H0); % функция дожития c учетом
влияния двух факторов z1 и z2
subplot(2,1,1);(t,S1,'b
--',t,S,'k');('t')('S(t)')('S1(t)','S(t)')
on
M0=a*exp(b*t);%
стандартная функция смертности
M1=a*f*exp(b*f*t);%
функция смертности c учетом
влияния двух факторов z1
и z2
hold on
Рисунок 1 Графическое представление стандартной
функции дожития 
и функции дожития
с учетом факторов риска 
для модели
ускоренных испытаний
Рисунок 2 Графическое представление функции
смертности 
и функции
смертности с учетом факторов риска 
для
модели ускоренных испытаний.
Заключение
Итак, модель ускоренных испытаний определяется
через функцию дожития, при стандартных условиях z=0
и с помощью изменяющего основную функцию дожития множителя, задаваемого
различными способами[1].
Если основная задача исследования состоит в
изучении качественного влияния поясняющих переменных на дожитие, то выбор
модели может и иметь решающего значения. С другой стороны, если задача связана
или с относительно «тонкими» вопросами зависимости от поясняющих переменных,
или с различением альтернативных описаний модели, то, вероятно, может
потребоваться очень много высококачественных данных. В некоторых случаях,
особенно в физических науках, возможно нужна специальная теория для выбора
модели.
функция дожитие смертность программа
Список литературы
1. Кокс
Д.Р., Оукс Д. Анализ данных типа времени жизни / Пер. с англ. О.В. Селезнёва. -
М.: Финансы и статистика,1988. - 191с.
2. StatSoft,
Inc. (2001). Электронный учебник по статистике. Москва, StatSoft.
WEB: <http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm>.
3. Михальский
А.И. Лекционные материалы по курсу КТ в МБС,2012