Моделирование расчетов одиночных ошибок и их пачек в ЦСП

Моделирование расчетов одиночных ошибок и их пачек в ЦСП

Содержание

Реферат

Введение

Сокращения

Глава 1. Классификация коэффициентов ошибок (КО)

Глава 2. Соотношения между различными КО и КО, группирующихся в пачки (КОП)

.1 Вывод формул для КО

.2 Классификация КОП

Глава 3. Расчет КО при их Пуассоновском распределении. Задача 1

.1 Математическая модель Пуассоновской оценки ошибок

.2 Разработка алгоритма расчёта времени Пуассоновской оценки

.3 Разработка программ расчета коэффициентов ошибок

.4 Численный расчет КО по задаче 1

Глава 4. Расчет КОП для их Пуассоновского распределения. Задача 2

.1 Математическая модель Пуассоновской оценки КОП

.2 Разработка алгоритма расчёта КОП, для Пуассоновской плотности вероятности их распределения

4.3 Разработка программ расчета коэффициентов ошибок

.4 Примеры расчета КОП по задаче 2

Заключение

Приложения

Реферат

Тема дипломной работы "Моделирование расчетов одиночных ошибок и их пачек в ЦСП".

Ключевые слова:

- цифровая система передачи;

- плезиохронная цифровая иерархия;

синхронная цифровая иерархия;

- коэффициент ошибок;

- коэффициент ошибок по ошибкам, группирующихся в пачки.

В представленной дипломной работе проведена разработка математического обеспечения для решения задач. Разработаны алгоритмы расчета времени Пуассоновской оценки, а также алгоритмы расчета КО по ошибкам, группирующимся в пачки для распределения Пуассона. Выполнен их расчет на ЭВМ по программе, написанной на языке Q - BASIC.

Введение

Для решения задач по определению числа ошибок в ЦСП СЦИ необходимо создать программное обеспечение, которое позволяет проводить расчеты указанных параметров систем. В частности оно может быть использовано в методических указаниях к контрольным задачам для студентов заочного отделения.

Широкое внедрение и бурное развитие ЦСП и оптоволоконных линий связи требует своих методов расчета и математического аппарата для определения коэффициентов ошибок, в том числе и для ошибок, группирующихся в пачки, а также времени их измерения. Разрабатываемый математический аппарат позволяет определять эти коэффициенты ошибок систем при вводе их в эксплуатацию или во время эксплуатации.

Сокращения

КО - коэффициент ошибок;

КОБ - коэффициент ошибок по битам (BER - Bit Error Ratio);

КОП - коэффициент ошибок по ошибкам, группирующихся в пачки;

КОПБ - коэффициент ошибок по проверочным блокам;

КОС - коэффициент ошибок по секундам с ошибкам (ESR - Error Second Ratio);

КОСБ - коэффициент ошибок по субблокам;

ОО - одиночные ошибки;

ПБ - проверочный блок;

ПО - пачки ошибок;

ПСБ - проверочный по паритетности субблок;

ПЦИ - плезиохронная цифровая иерархия (PDH - Plesiochronous Digital Hierarchy);

СП - скорость передачи;

СЦИ - синхронная цифровая иерархия (SDH - Sinchronous Digital Hierarchy);

ЦСП - цифровая система передачи.

Глава 1. Классификация коэффициентов ошибок (КО)

Как известно, коэффициент ошибок (КО) по битам (КОБ, или BER -Bit Error Ratio) в любой цифровой системе передачи (ЦСП)  ступени плезиохронной или синхронной цифровой иерархии (ПЦИ или СЦИ):

, (1)

где  - количество ошибочных бит (Error Bits),  - число переданных за время  бит (число измерительных бит),  (бит/с) - битовая скорость передачи (СП) сигнала.

Измерители КОБ используют прямой и точный метод обнаружения, как одиночных ошибок, так и их пачек. Недостаток измерений КОБ - необходимость перерыва в передаче сигнала для измерений.

Для  ступеней ЦСП ПЦИ или ЦСП СЦИ коэффициенты ошибок по проверочным блокам (ПБ) - КОПБ, серьезно различаются между собой.

а) Для  ступени ЦСП ПЦИ КОПБ

,  (2а)

где  - количество блоков с ошибками (Error Blocks), в каждом из которых находится одна или более битовых ошибок,

 - число переданных за время  измерительных блоков,

 (блок/с) - блоковая СП испытательного сигнала (табл. 1).

ПБ, применяемые для измерения КОПБ в ЦСП ПЦИ, имеют следующие особенности, указанные в табл. 1.

Число бит в каждом ПБ

Определение ошибочного ПБ происходит в результате обнаружения диспаритетности двух остатков от деления полинома двоичных степеней на двоичный проверочный полином (например CRC-4, CRC-7), полученных, соответственно на входе и выходе сетевого тракта ЦСП.

б) Для j ступени ЦСП СЦИ КОПБ

, (2б)

где  - количество блоков с ошибками, в каждом из которых находится один или более ошибочных субблоков (описание которых дано ниже),  - число переданных за время  измерительных блоков,

 (блок/с) - блоковая СП испытательного сигнала (табл. 2).

ПБ, применяемые для измерения КОПБ в ЦСП СЦИ, имеют следующие особенности (табл. 2).

СП ПБ равна

,

где  - число чередующихся битовых листов, которое будет пояснено ниже.

Число бит в ПБ в j ступени ЦСП СЦИ

,

где  - битовая СП.

Чтобы с помощью простого контроля паритетности двух цифровых сумм (ЦС) битов ПБ в пунктах передачи и приема обнаружить пачки битовых ошибок, которые обычно состоят из подряд или близко расположенных бит, каждый ПБ делят на проверочных по паритетности субблоков (ПСБ) и делают так, чтобы эти ошибочные биты попали в разные ПСБ. Именно с этой целью число подряд следующих  бит в ПБ делят на  подряд следующих обычных субблоков по бит в каждом.

Из этих субблоков внутри  формируют другие субблоки - проверочные субблоки (ПСБ - с чередующимися через  битами. Число этих ПСБ - равно шагу их формирования из ПБ и составляет величину .

Число бит  в одном ПСБ-

 ,

а его скорость

Величина  зависит от ступени j иерархии ЦСП СЦИ: ==2, а ==8, (табл. 2).

Коэффициент ошибки по ПСБ (КОСБ)  ступени CЦИ

, (3)

где  - количество субблоков с ошибками, в каждом из которых находится одна или более битовых ошибок,

 - число переданных за время  измерительных субблоков,

 (блок/с) - субблоковая СП.

Правила формирования  таковы. В первом  (или  расположены биты с номером 1 из каждого из  обычных субблоков, содержащих по  бит, во втором  (или  - биты с номером 2 из каждого из  обычных субблоков, …, в i- м (или - находятся биты с номером i из каждого из  обычных субблоков, …, в последнем, - м  (или  расположены биты с номером  из каждого из  обычных субблоков.

Следовательно, каждый m-ый бит в i -м  расположен между m-ми битами соседних  и  и, следовательно, возможно обнаружение следующих подряд  ошибок ( пачки ошибок). ПБ представляют стопкой из  листов, а  - вложенным в нее битовым листом (bit interleave) с номером i, где i=1,2,…, .

Для обнаружения ошибок в любом i- м  (или  независимо от других  подсчитываются цифровые суммы (ЦС) (по модулю 2) всех бит этого , в двух пунктах: в пункте А (передача) - величина  и в пункте В (прием) - .

Сравнение величин  и  в пункте В позволяет обнаружить ошибки как диспаритетность (неравенство) переданных и принятых ЦС.

Например, если =, то имеет место битовая паритетность (равенство) ЦС битовых листов переданного и принятого  (BIP - bit interleaved parity) и считается, что в данном  (или  нет одиночных ошибок (но возможно с очень малой вероятностью существование четного числа одиночных битовых ошибок (пачки ошибок), которые нельзя обнаружить этим методом).

Если же ≠, то появляется битовая диспаритетность (неравенство) ЦС переданных и принятых  (или  и в данном  (или  фиксируется одна одиночная ошибка (но возможно с очень малой вероятностью появление нечетного числа битовых ошибок (пачки ошибок), которые нельзя обнаружить этим методом).

Обозначим каждую из диспаритетностей ЦС передачи и приема как

= 1,

где - ЦС  в пункте А,  - ЦС для того же , в пункте B, знак  означает сложение по модулю 2 всех бит .

Очевидно, что сумма диспаритетностей ЦС передачи и приема равна числу ошибок в ПБ

 =.

Таким образом, применяемый в системах ГЦИ код с аббревиатурой  (bit interleaved parity - ) осуществляет проверку битовой паритетности i-х  (или  по  бит, а каждый бит в этом блоке имеет номер i внутри каждого из , содержащих по бит.

Рассмотрим кратко особенности одной из процедур определения числа ошибочных ПСБ, которая состоит в том, что она обычно проводится в сверхблоке или, что то же самое, в сверхцикле, состоящем из двух проверочных блоков(ПБ) или циклов(Ц), и рассматривает сразу два этих приходящих сверхцикла. Например, для определенности можно выбрать два любых сверхцикла: один содержит ПБ/Ц−(m−1) и ПБ/Ц−m, а другой содержит ПБ/Ц−m и ПБ/Ц−(m+1).

Введем в запись ЦС номера ПБ/Ц. Тогда условие паритетности ЦС в пунктах передачи и приема (условие отсутствия ошибок) в ПБ/Ц−(m−1) будет иметь вид

 == 0,

где  − ЦС , сосчитанная в пункте А (на передаче) для ПБ−(m−1),

 − ЦС для того же , вычисленная в пункте B (на приеме) для того же ПБ−(m−1).

Условие диспаритетности ЦС в пунктах передачи и приема (условие наличия ошибок) в ПБ/Ц−(m−1) - таково

 == 1,

В пункте А (передача) необходимо произвести следующие операции в ПБ/Ц−(m−1) и ПБ/Ц−m:

) расчет ЦС  в каждом , входящем в ПБ/Ц−(m−1);

) фиксация в ПБ/Ц−m (запись в память) величины , занимающей  бит (i=1,2,…, ), которую можно представить в виде , где i- номер , (m−1) - номер ПБ/Ц, где сосчитана ЦС, m - номер ПБ/Ц, где записана эта ЦС;

) фиксация в ПБ/Ц−m (запись в память) числа ошибочных  из ПБ/Ц−(m−1) в виде , где  означает двоичную систему счисления, l=≤ - число бит для записи указанного числа ошибок.

В пункте В (прием) производятся следующие операции:

) расчет новой ЦС  в каждом  того же ПБ/Ц−(m−1) с учетом возможных ошибок, появившихся в секции АВ;

) определение приращения ошибочных , как числа диспаритетностей передаваемых и принятых их ЦС в секции АВ в десятичной системе счисления

 =

или

 =−;

) вычисление результирующего числа ошибочных  внутри ПБ/Ц−(m−1)

= + ,

где − десятичное число ошибок, полученное из l бит двоичного числа ;

) фиксация (запись в память) результата расчета  в двоичной системе счисления в ПБ/Ц−m при помощи l бит в виде в ПБ/Ц−m;

) учет появления новых значений бит, как в показателе счетчика ЦС , так и в счетчике ошибок , приводящих к диспаритетности двух ЦС  в ПБ/Ц−m (вычисленных в пунктах А и В), равной

= , (4)

где

=

− биты диспаритетности двух ЦС  для ПБ/Ц−(m−1) в пунктах А и В,

=

- биты диспаритетности ЦС двух показателей счетчиков ошибок в пунктах А и В;

) определение величин бит, компенсирующих изменения  ЦС  внутри ПБ/Ц−m записанного в ПБ/Ц−(m+1) в виде

=;

) вычисление искомого нового значения каждого i- го бита ЦС  внутри ПБ/Ц−m в пункте В ( подготовка к расчету ошибок в ПБ/Ц−m) в соответствии с (4)

==,

где  и - величины бит счетчика ошибок при l≤, а при  < l <- это фиксированная вставка бит.

Поскольку  больше блоковой скорости передачи в раз, то, как будет показано ниже, при прочих равных условиях измерений доверительная вероятность измерения КОСБ выше, чем в КОПБ.

Определение коэффициента ошибки по секундам, содержащим ошибки (КОС) опирается на КОПБ.

Коэффициент ошибки по секундам (ESR - Error Second Ratio) в  ступени ЦСП, как ПЦИ, так и СЦИ

,

где  - число измерительных (испытательных) секунд, содержащих один или более проверочных блоков с ошибками (ПБ),

 - число измерительных (испытательных) секунд во времени ,

 - СП измерительных секунд, имеющая размерность: измерительных секунды/астрономические секунды (1/сек).

Особенность скорости  связана с тем, что измерительная секунда - это событие в теории вероятностей, не имеющее размерности времени и всегда - целое число. Иначе: измерительная секунда - это сверхблок, содержащий число блоков, равное . Из табл. 1 и 2 можно найти числа блоков в секундном сверхблоке любой ЦСП. Например в ЦСП СЦИ (табл. 2) этот сверхблок содержит 1000· ПБ или 1000·ПСБ. Поэтому  можно обозначить так . КОС равен

. (5)

В дальнейшем для сокращения записи примем , , , .

В соответствии с определением блока с ошибками, данным выше, можно написать для ЦСП ПЦИ и СЦИ

. (6а)

В случае отсутствия пачек битовых ошибок (6а) превращается в равенство

.(6б)

По аналогии с (6а) для КОСБ в ЦСП СЦИ, можно написать

. (6в)

Более сильным по сравнению с предыдущим выражением оказывается равенство (при отсутствии пачек ошибок)     

. (6г)

Очевидно, что для КОПБ из его определения следует неравенство

, (6д)

а при отсутствии пачек субблоковых ошибок

, (6е)

Используя определение секунды с ошибками, приведенное выше, и с учетом (6а - 6е), можно получить неравенства

 (7а)

В случае отсутствия пачек ошибок (7а) превращается в равенство:

 (7б)

Необходимо подчеркнуть, что в дальнейшем нужно осторожно использовать переходы от неравенств к равенствам, которые справедливы только при , ,  и отсутствии ошибок, группирующихся в пачки. Если в расчётах по равенству (7б) окажется, что какой-то коэффициент больше 1 (например, ), то необходимо вернутся, к неравенству (7а) и принять этот коэффициент, равным 1 (например, ), так как в любом измерении число блоков с ошибками, или секунд с ошибками не может быть больше числа переданных блоков или сверхблоков. При условии одинакового времени измерений

 (8а)

из (7б) следует соотношение для условия одиночных ошибок (ОО)

или

 (8б)

справедливое при отсутствии пачек ошибок и условии

, , ,  (8в)

Таблица 1

Скорости передачи сигналов и их измерительных фрагментов в ЦСП ПЦИ

Тип цифрового сетевого тракта	Ступень иерархии	Битовая скорость передачи	Блоковая скорость передачи	Скорость передачи сверхблоков
-
-	-	кбит/с	кблок/с	свблок/с
Первичный	1	2048	1	1
Вторичный	2	8448	2	1
Третичный	3	34368	8	1
Четвертичный	4	139264	8	1

Таблица 2

Скорости передачи сигналов и их измерительных фрагментов в ЦСП СЦИ

Тип тракта (виртуального контейнера)	Ступень иерархии	Битовая скорость передачи	Субблоковая скорость передачи	Блоковая скорость передачи	Скорость передачи сверхблоков (по  кблоков)
ВК
-	-	кбит/с	ксблок/с	кблок/с	свблок/с
ВК-1	1	1664	4	2	1
ВК-2	2	6848	4	2	1
ВК-3	3	48960	64	8	1
ВК-4	4	150336	64	8	1

Таблица 3

Зависимость  при  для Пуассоновского распределения вероятностей

	0	1	2	3	4	5	6	7
	0,05	0,199	0,423	0,647	0,815	0,916	0,966	0,988

Таблица 4

Зависимость  при  для Пуассоновского распределения вероятностей

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	2,48 * 10(-3)	1,74 * 10(-2)	6,2 * 10(-2)	0,151	0,285	0,446	0,606	0,744	0,847	0,916	0,957	0,98	0,991

Глава 2. Соотношения между различными КО и КО, группирующихся в пачки (КОП)

.1 Вывод формул для КО

С целью упрощения формул для КО перейдем от буквенных индексов в формулах к цифровым, для чего присвоим условные номера различным методам измерений (МИ) и применяемым в них проверочным фрагментам сигнала (ПФ) в следующем виде.

а) Измерение КОБ условно назовем методом измерения - 1 (МИ-1), в котором в качестве ПФ-1 используется бит, а (1) при этом превращается в

,

где  (табл. 1, табл. 2)

б). Измерение КОСБ будем условно считать методом измерения - 2 (МИ-2), в котором ПФ-2 - это ПСБ. МИ-2 применим только для ЦСП СЦИ соотношение (3) в этом случае приобретает вид

,

где  (табл. 2).

в) Если считать КОПБ методом измерения - 3 (МИ-3), где ПФ-3 - это ПБ, а величина КОПБ из (2а) и (2б)

,

где  (табл. 1, табл. 2).

г) Измерение КОС примем за метод измерения - 4 (МИ-4) и соотношение (5) будет иметь вид

,

где  (табл. 1, табл. 2).

Таким образом соотношения (1), (2), (3), (5) превращаются в одно соотношение

, (10)

где q - номер МИ,

j - номер ступени иерархии (СИ).

Пользуясь (10) рассмотрим условия существования одиночных ошибок (ОО) и пачек ошибок (ПО), значительно увеличивающих реальные относительные методические погрешности оценок КО.

Примем допущения:

). Время измерений  для всех МИ-q одинаково,

). ЦСП находится в нормальных условиях работы (без периодов неготовности)

 (11)

Из определений КОБ, КОПБ, КОСП, КОС, данных при помощи (1), (2), (3), (5), следует основная зависимость между величинами КО, характеризующими любые МИ-q и МИ-p

, (12а)

где ,  - КО в МИ-q, МИ-p

,  - СП в МИ-q, МИ-p при условии q>p.

В отсутствии ПО соотношение (12а) превращается в равенство, которое назовем условием существования ОО,

 (12б)

При наличии ПО соотношение переходит в неравенство

, (12в)

где q>p.

Более удобная запись (12а) получается, если умножить его на  и перебрать q и p от 1 до 4, например, для ЦСП СЦИ:

,

Или

.

Для ЦСП ПЦИ, где отсутствуют субблоки, справедливо условие

,

или

.

В общем виде,

. (13а)

Из (13а) условие существования ОО (12б) приобретет вид

, (13б)

а условие наличия ПО (12в)

, (13в)

где q>p.

Следует подчеркнуть, что при расчетах по (12б) и (13б) необходимо выполнения условий (11). При невыполнении (11) возможно получение  и тогда придется вернуться к (12в) и (13в) и принять , так как по определению КО число  ошибочных ПФ никогда не может превышать общего числа  переданных ПФ.

2.2 Классификация КОП

Рассмотрим различные варианты КО, группирующихся в пачки (КОП), основанные на различных методах измерений КО.

). Величина КОП в МИ-q, где q³2, для СИ-j (табл. 5,6,7,8), вычисленная при помощи МИ-1, равна

,

где

q=2,3,4 - для ЦСП СЦИ,

q=3,4 - для ЦСП ПЦИ,

- методический КО для МИ- q (q ³ 2).

). Величина КОП в МИ- q, где q ³3, для СИ-j, вычисляемая при помощи МИ-2 (для ЦСП ПЦИ эта величина КОП отсутствует, так как в ЦСП ПЦИ нет МИ-2), может быть определена по формуле

,

где

- КО по ПФ-q, полученный расчетным путем из  в МИ-2 и включающий в себя пачки ошибочных ПФ-1 и ПФ-2, не обнаруженных в МИ- q,

 - методический КО для МИ- q (q ³3).

). Величина КОП в МИ-4 для СИ-j, вычисленная при помощи МИ-3, равна

,

где

- КО по ПФ-4, полученный расчетным путем из  в МИ-3 и включающий в себя пачки ошибочных ПФ-3, не обнаруженные в МИ-4,

- методический КО для МИ-4 (табл. 5,6,7,8).

Используем (10) и запишем в общем виде КОП в МИ- q, обнаруженные при помощи более точного МИ-p в СИ- j:

, (14)

где  и  - числа ошибочных ПФp и ПФq в МИ-p и в МИ-q.

Из (14) при выполнении условия (10) можно найти относительную погрешность КОП, возникающих в МИ- q и обнаруживаемых при помощи МИ-p,

, (15)

где  и  - относительные методические погрешности измерения КО (см. п. 3.1).

Реальная относительная погрешность измерения КО в МИ- q с учетом выявленных ПО при помощи МИ- p пропорциональна максимальным значениям КО  и  и равна

.

Учитывая (14) и (15), получим

. (16)

Поскольку реальные доверительные вероятности как оценки КОП - , так и оценки КО -  получены при помощи двух МИ, то , где  - доверительная вероятность, одинаковая для каждого МИ.

Таблица 5.

Цифровая индексация КО в различных МИ для ЦСП СЦИ

Метод измерений	Методические КО	Методические ПФ	КО в j ступени иерархии	Фиксируемое количество ошибок в методических ПФ
МИ-1	КОБ	Бит		биты
МИ-2	КОСБ	субблок		³ 1 бит
МИ-3	КОПБ	Блок		³ 1 субблок
МИ-4	КОС	сверхблок		³ 1 блок

Таблица 6.

Цифровая индексация КО в различных МИ для ЦСП ПЦИ

Метод измеренийМетодические КОМетодические ПФКО в j ступени иерархииФиксируемое количество ошибок в методических ПФ
МИ-1	КОБ	Бит		биты
МИ-3	КОПБ	Блок		³ 1 бит
МИ-4	КОС	сверхблок		³ 1 блок

Таблица 7.

Обозначения коэффициентов ошибок, группирующихся в пачки (КОП) для ЦСП СЦИ.

МИ-p  МИ-q	МИ-1	МИ-2	МИ-3	Обнаруженные ошибки Необнаруженные ошибки
МИ-2		¾	¾	1 ПФ-1 > 1ПФ-1
МИ-3			¾	1 ПФ-2 > 1ПФ-2
МИ-4				1 ПФ-3 > 1ПФ-3

Таблица 8.

Обозначения коэффициентов ошибок, группирующихся в пачки

(КОП) для ЦСП ПЦИ.

МИ-p  МИ-q	МИ-1	МИ-3	Обнаруженные ошибки Необнаруженные ошибки
МИ-3		¾	1 ПФ-1 > 1ПФ-1
МИ-4			1 ПФ-3 > 1ПФ-3

Глава 3. Расчёт КО при их Пуассоновском распределении. Задача 1

В задаче рассмотрены условия существования только ОО и одинаковое время измерений в каждом МИ.

В j ступени иерархии ЦСП найти время Пуассоновской оценки , максимальную и минимальную погрешности измерения  и , полученные в двух измерениях КО , где  - номер измерения, q - номер метода измерения МИ-q, а А и Б, соответственно, верхняя и нижняя границы доверительного интервала, доверительные границы:  и - чисел наблюдаемых в двух измерениях ошибок и , а также и  - КО с заданной доверительной вероятностью

.

Ступень иерархии

.

Здесь и в дальнейшем величина

, где

третья от конца цифра номера зачетной книжки,  и  - соответственно, вторая, и первая от конца цифры номера зачетной книжки. Например, если номер зачётной книжки оканчивается на 957 то ,

, , .

а). Для ЦСП ПЦИ (табл. 1).

.1. Числа битовых ошибок МИ-1 в двух измерениях за время  равны

, ,

где  и  соответствуют обозначениям в (17)…(25) и рис. 1,

КОБ в случае ОО

.

 

.2. Числа блоковых ошибок МИ-3 в двух измерениях и  за время  соответственно равны числам битовых ошибок в пункте 1.1, величина КОПБ для ОО

 

,

 

где  и  - соответственно, СП битов и блоков в тракте ЦСП ПЦИ (табл. 1).

.3. Числа секунд с ошибками МИ-4 за время  в двух измерениях и равны числам битовых ошибок в пункте 1.1,

КОС при условии ОО

,

 

где  и  - соответственно, СП битов и сверхблоков в тракте ПЦИ (табл. 1).

б). Для ЦСП СЦИ (табл. 2).

.1 Числа битовых ошибок МИ-1 в двух измерениях за время  равны

, ,

КОБ .

.2. Числа субблоковых ошибок МИ-2 в двух измерениях и  за время  соответственно равны числам битовых ошибок в пункте 1.1,

КОСБ в случае ОО

,

где  и  - соответственно, СП битов и субблоков.

1.3. Числа блоковых ошибок МИ-3 в двух измерениях и  за время  соответственно равны числам битовых ошибок в пункте 1.1, КОПБ для ОО

, где  и

- соответственно, СП битов и блоков.

1.4. Числа секунд с ошибками МИ-4 за время  в двух измерениях и  равны числам битовых ошибок в пункте 1.1,

КОС при наличии только ОО

 

,

 

где  и  - соответственно, СП битов и сверхблоков.

Расчеты выполнить отдельно для трактов ЦСП ПЦИ и ЦСП СЦИ.

Сделайте вывод о зависимости времени измерений  от числа наблюдаемых ошибок  и методических погрешностей  и .

.1 Математическая модель Пуассоновской оценки ошибок

Все расчеты производятся для соответствующей заданию ступени иерархии . Искомые величины  можно найти по формуле

 (17)

где  - номер измерения,

q - номер МИ,

 - СП (табл. 1, 2),

 - заданная ступень тракта ЦСП (табл. 1, 2).

Если величины границ интервалов по каждому из двух заданных измерений  () обозначить через (или , как на рис. 1) и (или ), то искомые значения относительных методических погрешностей оценок будут равны

, (18а)

, (18б)

а доверительные границы КО для каждого  испытания составят

, (19)

. (20)

Найдём численные значения доверительных границ.

Рис. 1. Пуассоновская плотность вероятности ошибки

На рис. 1. показана Пуассоновская плотность вероятности для m числа ошибок

. (21)

Разделим всю площадь под рис. 1. при помощи искомых границ   и   (при любых j и q) на три части:

первая часть, где справедливо неравенство для числа ошибок ,

, (22а)

вторая часть - для условия

,

третья часть, где ,

 (22а)

При заданной доверительной вероятности  искомые величины

, (23)

. (24)

Как известно, вычисление на ЭВМ величины (21) невозможно при  (на калькуляторе - при ). Для , применяется метод Гаусса, как приближение Пуассоновского распределения вероятностей.

Таким образом, для определения величин  и  можно сначала построить зависимость

, (25)

затем из этой зависимости при известных  и  по (23) и (24) найти искомые границы  и  доверительного интервала.

.2 Разработка алгоритма расчёта времени Пуассоновской оценки

Для нахождения времени Пуассоновской оценки выполним ряд вычислений:

·   вычисляем исходные данные;

·   определяем искомое время для двух испытаний;

·   находим границы доверительного интервала;

·   вычисляем относительные погрешности и суммарную относительную погрешность;

·   определяем доверительные границы коэффициентов ошибок;

·   берём отношение суммарной относительной погрешности в первом испытании к суммарной относительной погрешности во втором испытании,

где X - номер варианта задания от 0 до 9,

L - номер пункта задачи,

J - номер уровня тракта СЦИ.

Рис. 2. Структурная схема алгоритма задачи 1

Рис. 2. продолжение

3.3 Разработка программ расчета коэффициентов ошибок

Программа будет осуществлять расчет параметров в зависимости от номера пункта параметра, поэтому, в первую очередь, надо вывести на экран пронумерованный список параметров. Далее следует сделать запрос о номере параметра, чтобы пользователь мог из вышеописанного списка выбрать конкретный параметр. В вышеописанной задаче исходные данные формируются компьютером из трех последних цифр зачетной книжки:

,

где - третья от конца цифра номера зачетной книжки, - соответственно, вторая и первая от конца цифры номера зачетной книжки. Таким образом, X₁ будет иметь всего четыре значения: 1, 2, 3, 4, а  - десять значений от 0 до 9. Все это позволяет вывести на экран значения расчетов для любого выбранного параметра в виде четырех таблиц ответов, с навигацией X₂ по вертикали и X₃ по горизонтали и размерностью 10´10 ячеек, которые будут последовательно сменять друг друга. В заголовках таблиц выводятся номер пункта и его название, а также значения Y₁. Для удобства чтения и экономии места на экране, все значения имеют в целой части три числа и в дробной части два числа и выглядят следующим образом: ###.##. Величины выходящие за вышеозначенный предел, логарифмируем, используя логарифм по основанию 10. Из особенности задачи, в программе разработаны циклы для вычисления факториала и циклы для нахождения границ доверительного интервала при заданной доверительной вероятности. Из таблицы с ответами производится выборка минимального и максимального значений, чтобы видеть, не выходят ли значения ответов из границ реальных значений. Для печати ответов пользователь уведомляется сообщением в самом начале программы. При выводе на печать, пользователь получает на одном листе четыре таблицы, в заголовках которых, выводятся номер пункта и его название, а также значения Y₁.

3.4 Численный расчет КО по задаче 1

Примеры расчетов КО в ЦСП ПЦИ.

Пример 1.1. Для ,  (см. задачу 1.). Из условия задачи: , , кбит/с (табл. 1), , , .

При одинаковых ,  и в соответствии с (11) и (13б) во всех пунктах задачи времена Пуассоновских оценок из (10)

368,8 с,

737,65 с,

где q=1,3,4.

Вычислим для двух измерений i=1,2 (рис. 1) границы доверительной вероятности при помощи (22а) и (22б)

;

.

Из (23) и (24) находим для  доверительные границы (табл.3): ; .

Искомые относительные погрешности для первого измерения

,         

.

Суммарная относительная погрешность

.

Из (23) и (24) вычислим для  доверительные границы (табл.4): ; .

Искомые относительные погрешности для второго измерения

,

.

Суммарная относительная погрешность

.

Из (19) и (20) искомые граничные значения:

1,35·10 ^-9,

6,59·10 ^-9,

1,98·10 ^-9,   

5,96·10 ^-9.

Относительное уменьшение доверительного интервала во втором измерении по сравнению с первым равно

.

Вывод: при увеличении времени измерений в 2 раза доверительный интервал уменьшился в 1,32 раз при той же доверительной вероятности, а зависимость между временем наблюдения и средним количеством полученных ошибок  - линейная.

Пример 1.2. Для ,  (см. задачу 1.). Из условия задачи: , , кбит/с и кблок/с (табл. 1),

,

, .

Времена Пуассоновских оценок, границы доверительной вероятности, методические относительные погрешности такие же как в примере 1.1 для ЦСП ПЦИ. Из (19) и (20) получим искомые величины

2,77·10 ^-6,

1,3·10 ^-5,

4,067·10 ^-6,

1,22·10 ^-5.

Вывод такой же как и в примере 1.1 для ЦСП ПЦИ.

Пример 1.3. Для ,  (см. задачу 1.). Из условия задачи: , , кбит/с и свблок/с (табл. 1),

,

, .

Времена Пуассоновских оценок, границы доверительной вероятности, методические относительные погрешности такие же как в примере 1.1 для ЦСП ПЦИ. Из (19) и (20) получаем искомые значения:

2,77·10 ^-3,

0,014,

4,067·10 ^-3,

0,012.

Вывод такой же как и в примере 1.1 для ЦСП ПЦИ.

Примеры расчетов КО в ЦСП СЦИ.

Пример 1.1. Для ,  (см. задачу 1.). Из условия задачи: , , кбит/с (табл. 1), , , .

При одинаковых ,  и в соответствии с (11) и (13б) во всех пунктах задачи времена Пуассоновских оценок из (10)

453,94 с,

907,88 с,

где q=1,3,4. Поскольку заданные числа измеренных ошибок и заданные доверительные вероятности измерений такие же, как в примере 1.1 для ЦСП ПЦИ, то и результаты вычислений относительных погрешностей первого и второго измерений совпадают с примером 1.1. Поэтому из решения примера 1.1 для ЦСП ПЦИ:

,

,

.

,

.

.

Из (19) и (20) можно найти граничные значения для

1,35·10 ^-9,

6,59·10 ^-9,

1,98·10 ^-9,

5,96·10 ^-9.

Относительное уменьшение доверительного интервала во втором испытании по сравнению с первым равно

.

Вывод: при увеличении времени испытаний в 2 раза доверительный интервал уменьшился в 1,32 раз при той же доверительной вероятности, а зависимость между временем наблюдения и средним количеством полученных ошибок  - линейная.

Пример 1.2. Для ,  (см. задачу 1.). Из условия задачи: , , кбит/с и ксблок/с (табл. 1),

,

, .

Времена Пуассоновских оценок, границы доверительной вероятности, методические относительные погрешности такие же как в примере 1.1 для ЦСП СЦИ.

Теперь из (19) и (20) получим искомые величины

5,62·10 ^-7,   

2,74·10 ^-6,

8,26·10 ^-7,   

2,48·10 ^-6.

Вывод такой же как и в примере 1.1 для ЦСП СЦИ.

Пример 1.3. Для ,  (см. задачу 1.). Из условия задачи: , , кбит/с и кблок/с (табл. 1),

,

, .

Времена Пуассоновских оценок, границы доверительной вероятности, методические относительные погрешности такие же как в примере 1.1 для ЦСП СЦИ.

Теперь из (19) и (20) получим искомые величины

1,123·10 ^-6,

5,49·10 ^-6,

1,65·10 ^-6,

4,96·10 ^-6.

Вывод такой же как и в примере 1.1 для ЦСП СЦИ.

Пример 1.4. Для ,  (см. задачу 1.). Из условия задачи: , , кбит/с и свблок/с (табл. 1),

,

, .

Времена Пуассоновских оценок, границы доверительной вероятности, методические относительные погрешности такие же как в примере 1.1 для ЦСП СЦИ.

Теперь из (19) и (20) получим искомые величины

2,25·10 ^-3,

1,1·10 ^-2,

3,3·10 ^-3,

9,9·10 ^-3.

Вывод такой же как и в примере 1.1 для ЦСП СЦИ.

Глава 4. Расчет КОП для их Пуассоновского распределения. Задача 2

В тракте j ступени ЦСП СЦИ (табл.2), где

,

за время

секунд (с) проведено четыре параллельных измерения нижеуказанными методами.

Найти при заданной доверительной вероятности

КО и  (q=1,2,3,4), КОП =, а также относительные методические погрешности этих коэффициентов и , (q=1,2,3,4) в каждом измерении для следующих случаев и реальную максимальную относительную погрешность  величину . В данной задаче буквы А и Б означают, соответственно, верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала.

2.1. Число битовых ошибок МИ-1

 

2.2. Число субблоковых ошибок в МИ-2

 

.

 

2.3. Число блоковых ошибок в МИ-3

 

.

2.4. Число секундных ошибок в МИ-4 .

          В МИ-1 КОП равен нулю. В МИ-2,3,4 КОП вычисляется с помощью более точного МИ-1.

Определение величин , ,  указано в условии к задаче 1.

4.1 Математическая модель Пуассоновской оценки КОП

Для пачек ошибок (ПО) используем иную индексацию, чем для одиночных ошибок (ОО).

Из (10) можно найти методические КО для МИ-q

,

где 4³q>1,

 - СП в МИ-q в тракте ЦСП  порядка,

 - заданное время измерений.

При помощи (12б) можно определить коэффициент ошибок, который соответствовал бы случаю отсутствия пачек ошибок во втором испытании,

.

КОП для МИ-q, вычисленный при помощи МИ-1 (табл. 7):

.

Из (1) находим количество ошибок, группирующихся в пачки,

.

Поскольку , ,  - величины, не превышающие число 34, применим Пуассоновское распределение для нахождения следующих доверительных границ

,  - для величины  в МИ-1,

,  - для значения  в МИ-q,

,  - для числа ПО .

После определения этих доверительных границ по формулам (18а) и (18б) можно найти относительные методические погрешности погрешности: для  (или )

,

,

;

для  (или ),

,

,

.

Для оценки  (или ) можно использовать (15),

.

Поскольку искомые доверительные границы наблюдаемых чисел ошибок ,  и ,  являются аргументами доверительных вероятностей , то сначала надо найти границы доверительных вероятностей

 и .

После этого надо рассчитать таблицу значений  по (25) (например, такую же, как табл. 4) и из этой таблицы определить ,  и , , соответствующие  и .

Полученные оценки для , ,  являются ответом задачи. Однако реальная максимальная относительная методическая погрешность для  больше, чем полученный результат для . Найдём из (16) эту реальную максимальную относительную погрешность

.

4.2 Разработка алгоритма расчёта КОП, для Пуассоновской плотности вероятности их распределения

Для нахождения коэффициентов ошибок по ошибкам, группирующимся в пачки, выполним ряд вычислений:

·   вычисляем исходные данные;

·   находим коэффициенты ошибок в двух испытаниях, а также коэффициент ошибок по пачкам ошибок;

·   определяем границы доверительного интервала;

·   вычисляем относительные погрешности для границ доверительного интервала;

·   определяем относительную погрешность для пачек ошибок;

·   вычисляем реальную максимальную относительную погрешность,

где X - номер варианта задания от 0 до 9,

L - номер пункта задачи,

J - номер уровня тракта СЦИ.

Рис. 3. Структурная схема алгоритма задачи 2

Рис. 3. продолжение

Рис. 3. продолжение

4.3 Разработка программ расчета коэффициентов ошибок

Программа будет осуществлять расчет параметров в зависимости от номера пункта параметра, поэтому, в первую очередь, надо вывести на экран пронумерованный список параметров. Далее следует сделать запрос о номере параметра, чтобы пользователь мог из вышеописанного списка выбрать конкретный параметр. В вышеописанной задаче исходные данные формируются компьютером из трех последних цифр зачетной книжки:

,

где - третья от конца цифра номера зачетной книжки, - соответственно, вторая и первая от конца цифры номера зачетной книжки. Таким образом, X₁ будет иметь всего четыре значения: 1, 2, 3, 4, а  - десять значений от 0 до 9. Все это позволяет вывести на экран значения расчетов для любого выбранного параметра в виде четырех таблиц ответов, с навигацией X₂ по вертикали и X₃ по горизонтали и размерностью 10´10 ячеек, которые будут последовательно сменять друг друга. В заголовках таблиц выводятся номер пункта и его название, а также значения Y₁. Для удобства чтения и экономии места на экране, все значения имеют в целой части три числа и в дробной части два числа и выглядят следующим образом: ###.##. Величины выходящие за вышеозначенный предел, логарифмируем, используя логарифм по основанию 10. Из особенности задачи, в программе разработаны циклы для вычисления факториала и циклы для нахождения границ доверительного интервала при заданной доверительной вероятности. Из таблицы с ответами производится выборка минимального и максимального значений, чтобы видеть, не выходят ли значения ответов из границ реальных значений. Для печати ответов пользователь уведомляется сообщением в самом начале программы. При выводе на печать, пользователь получает на одном листе четыре таблицы, в заголовках которых, выводятся номер пункта и его название, а также значения Y₁.

Пример 2.1. Для ,  (см. задачу 2.) исходные величины: ,  с, ,  кбит/с, .

Искомый коэффициент ошибок:

.

Из (22а), (22б) границы доверительных вероятностей

,

.

Вычислим распределение вероятностей  по формуле (25) для  (табл. 4).

Для вычисленных выше  и  найдём границы для , которые будут необходимы для решений во всех нижеприведенных примерах

,

.

Относительные методические погрешности для

,

.

Суммарная относительная методическая погрешность, необходимая для решений во всех нижеприведенных примерах

.

КОП в этом случае равен нулю.

Пример 2.2. Для ,  (см. задачу 2.) исходные величины: ,  с, ,  ксубблок/с, .

Искомый методический коэффициент ошибок:

.

КО, вычисленный в предположении, что нет пачек ошибок,

,

откуда КОП и их число равны

,

.

Как и в примере 2.1 , . Вычислим Пуассоновское распределение вероятностей по (25)  для  (табл. 3). Искомые границы для  из  равны:

,

.

Относительные методические погрешности для :

математический обеспечение ошибка пуассон пачка

,

.

Суммарная относительная методическая погрешность в этом случае

.

Определим граничные значения числа пачек ошибок :

,

.

Поскольку первый результат  в законе Пуассона не имеет физического смысла и точность измерений в МИ-2 ниже чем в МИ-1, то полагаем, что .

Относительная погрешность числа пачек ошибок для  равна

.

Искомая реальная максимальная относительная методическая погрешность КО во втором измерении , обнаруженная при помощи первого измерения,

.

Пример 2.3. Для ,  (см. задачу 2.) исходные величины: ,  с, ,  кблок/с .

Искомый методический КО:

.

КО, вычисленный в предположении, что нет пачек ошибок,

,

откуда КОП и их число равны

,

.

Как и в примере 2.1 , . Вычислим Пуассоновское распределение вероятностей по (25)  для . Искомые границы для  из  равны:

1,

4,

Относительные методические погрешности для :

(2 - 1) / 2 = 0,5,

(4 - 2) / 2 = 1.

Суммарная относительная методическая погрешность в этом случае

0,5 + 1 = 1,5.

Определим граничные значения числа пачек ошибок :

3 - 4 = -1,

9 - 1 = 8.

Поскольку первый результат  не имеет физического смысла и точность измерений в МИ-3 ниже чем в МИ-1, то полагаем, что

Относительная методическая погрешность для пачек ошибок при

.

Искомая реальная максимальная относительная методическая погрешность КО во втором испытании , обнаруженная при помощи первого испытания,

.

Пример 2.4. Для ,  (см. задачу 2.) исходные величины: ,  с, ,  сверхблок/с .

Искомый методический КО:

.

КО, вычисленный в предположении, что нет пачек ошибок,

,

откуда КОП и их число равны

,

.

Как и в примере 2.1 , . Вычислим Пуассоновское распределение вероятностей по (25)  для . Искомые границы для  из  равны:

0, 2,

Относительные методические погрешности для :

(1 - 0) / 1 = 1,

(2 - 1) / 1 = 1.

Суммарная относительная методическая погрешность в этом случае

1 + 1 = 2.

Определим граничные значения числа пачек ошибок :

3 - 2 = 1,

9 - 0 = 9.

Относительная методическая погрешность для пачек ошибок при

.

Искомая реальная максимальная относительная методическая погрешность КО во втором испытании , обнаруженная при помощи первого испытания,

.

Таблица 9

Обозначения применяемые в тексте и программе

Обозначение	Название	Обозначение в программе	Единицы измерения
j	Ступень иерархии ЦСП	j	_
	Время испытаний Пуассоновского сигнала	T	с
	Коэффициент битовой ошибки (или коэффициент ошибок по битам)	k1	_
	Коэффициент субблоковой ошибки (или коэффициент ошибок по субблокам)	k2	_
	Коэффициент блоковой ошибки (или коэффициент ошибок по блокам)	k3	_
	Коэффициент сверхблоковой ошибки (или коэффициент ошибок по сверхблокам)	k4	_
	Число битовых ошибок	n1	бит
	Число субблоковых ошибок	n2	сблок
	Число блоковых ошибок	n3	блок
	Число сверхблоковых ошибок	n4	cвблок
	Число переданных за время  бит (число испытательных бит) в тракте  порядка	_	бит
	Число переданных за время  субблоков (число испытательных субблоков) в тракте  порядка	_	сблок
	Число переданных за время  блоков (число испытательных блоков) в тракте  порядка	_	блок
	Число переданных за время  сверхблоков (число испытательных сверхблоков) в тракте  порядка	_	свблок
	Битовая скорость передачи испытательного сигнала	B1(j)	бит/с
	Субблоковая скорость передачи испытательного сигнала	B2(j)	сблок/с
	Блоковая скорость передачи испытательного сигнала	B3(j)	блок/с
	Сверхблоковая скорость передачи испытательного сигнала	B4(j)	свблок/с
	Номер испытания (i=1,2)	_	_
	Измеренное среднее число ошибок в  измерении	_	бит, сблок, блок, свблок
	Число бит в каждом проверочном блоке	_	бит
и	Нижняя и верхняя доверительные границы наблюдаемого числа ошибок  в i измерении	niA, niB	бит, сблок, блок, свблок
и	Относительная погрешность в i измерении	DiA, DiB	_
и	Нижняя и верхняя границы доверительных интервалов коэффициентов ошибок в i измерении	kiA, kiB	_
	Число ошибок	_	_
W(n)	Пуассоновская плотность вероятности ошибки	_	_
	Доверительная вероятность оценки ошибок в тракте j порядка	Pj	_
и	Нижняя и верхняя границы доверительной вероятности	Pa, Pb	_
	Коэффициент ошибки в первом испытании для МИ-p (p=1)	k1	_
	Коэффициент ошибки во втором испытании для МИ-q (4³q>p)	k2, k3, k4	_
	Измеренный коэффициент ошибки в предположении, что во втором испытании для МИ-q (4³q>p) не было пачек ошибок	ks2, ks3, ks4	_
	Измеренный коэффициент ошибок по ошибкам, группирующимся в пачки	kj21, kj31, kj41	_
	Число битовых ошибок в первом испытании для МИ-p (p=1)	n1	бит
	Число битовых ошибок во втором испытании для МИ-q (4³q>p)	n2, n3, n4	бит
	Число ошибок, группирующихся в пачки	nj21, nj31, nj41	бит
и	Нижняя и верхняя доверительные границы для числа ошибок  для МИ-p (p=1)	nj1A , nj1B	бит
и	Нижняя и верхняя доверительные границы для числа ошибок  для МИ-q (4³q>p)	nj2A, nj2B, nj3A, nj3B, nj4A, nj4B,	бит
и	Нижняя и верхняя доверительные границы для числа ошибок, группирующихся в пачки  (p=1, 4³q>p)	nj21A, nj21B, nj31A, nj31B, nj41A, nj41B,	бит
и	Относительные погрешности в первом испытании для МИ-p (p=1)	Dj1A, Dj1B	_
	Суммарная относительная погрешность в первом испытании для МИ-p (p=1)	Dj1	_
и	Относительные погрешности во втором испытании для МИ-q (4³q>p)	Dj2A, Dj2B, Dj3A, Dj2B, Dj4A, Dj2B,	_
	Суммарная относительная погрешность во втором испытании для МИ-q (4³q>p)	Dj2, Dj3, Dj4	_
	Относительная погрешность для пачек ошибок (p=1, 4³q>p)	Dj21, Dj31, Dj41	_
	Реальная относительная погрешность (p=1, 4³q>p)	Dreal	_

Заключение

Разработанный в данной работе математический аппарат позволяет проводить расчеты таких параметров ЦСП для Пуассоновского распределении ошибок, как время измерения коэффициента ошибок и относительные погрешности измерений при заданной доверительной вероятности, скорости передачи сигнала и коэффициента ошибок. Также можно выполнить обратную задачу, то есть при заданном времени измерения, доверительной вероятности и скорости передачи сигнала найти коэффициент ошибок, коэффициент ошибок, группирующихся в пачки, и относительные погрешности их расчета.

Данная работа может использоваться, как методические указания для студентов. Созданное программное обеспечение облегчает проверку расчетов преподавателями путем простой сверки с таблицами расчетов.