Динамика вращения твердого тела на примере диска и шара радиусом R

Динамика вращения твердого тела на примере диска и шара радиусом R

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Курсова робота

з дисципліни фізика

на тему: „Динаміка обертання твердого тіла на прикладі диска та шара радіусом R”

Содержание

Вступление

Глава 1. Динамика вращения твёрдого тела

.1 Теорема Гюгенса-Штейнера

.2 Момент инерции диска

.3 Момент инерции шара

Глава 2. Определим момент инерции шара и диска

.1 Момент инерции шара радиусом R

.2 Момент инерции диска радиусом R

Вывод

Список использованной литературы

Вступление

Теорема Гюйгенса - Штейнера , или просто теорема Штейнера(названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса).

Якоб Штейнер - швейцарский математик, основатель синтетической геометрии кривых линий и поверхностей 2-го и высших порядков. Получил образование в Инфертене у Песталоцци, в 1818 г. Поступил в Гейдельбергский университет. Окончив там образование, в 1821г., поступил в Берлине учителем в частный институт Пламанна.

С 1825 по 1835-й годы был учителем математики в берлинском городском промышленном училище. С 1835 г. начал преподавание в Берлинском университете <#"550901.files/image001.gif"> (1.1)

Кинетические энергии различных частиц различны, так как различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов:

 (1.2)

или

 (1.3)

Поскольку угловая скорость ω одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы:

 (1.4)

Величина I называется моментом инерции твердого тела. Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции частиц, составляющих это тело. Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела примет вид:

1.1 Теорема Гюйгенса-Штейнера

 (1.5)

Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:

; (1.6)

Где

d -расстояние между осями;

 - момент инерции тела относительно оси, проходящий через центр масс, который определяется:

; (1.7)

Так как α=R, то момент инерции относительно оси проходящей через т. А определяется:

 (1.8)

1.2 Момент инерции диска

Дифференциал массы равен моменту инерции этого кольца:

 (1.9)

Рис. 1.1

Тогда масса кольца определяется:

(1.10)

Дифференциал момента инерции равен моменту инерции этого кольца:

 (1.11)

Отсюда следует:

 (1.12)

Момент инерции диска равен:

 (1.13)

1.3 Момент инерции шара

Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

 (1.14)

Рис. 1.2

Масса и момент инерции такого диска составят

 (1.15)

(1.16 )

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

 (1.17)

Глава 2. Определение момента инерции шара и диска

.1 Момент инерции шара

Дан шар, радиусом R. Найти момент инерции шара, произвольной массой.

Дано:

Зависимость момента инерции шара от массы и радиуса

Таб. (2.1.)

Вывод: из формулы (2.1.) видно, что момент инерции шара пропорционален произведению массы шара на квадрат его радиуса.

2.2 Момент инерции диска

Дан диск произвольной массой и радиусом. Найти момент инерции диска.

Дано:

Произведём подстановку числовых значений и получили таблицу (2.2) :

Зависимость момента инерции диска от массы и радиуса

Таб.(2.2.)

Вывод: из формулы (2.2.) видно, что момент инерции шара пропорционален произведению массы шара на квадрат его радиуса, деленному пополам.

Вывод

Из проведённой работы стало видно, что момент инерции всегда зависит от массы тела и его геометрических характеристик, в частности радиуса. По полученным результатам ( таблица 2.1 и таблица 2.2) построим графическую зависимость :

Рис. 2.1.

На основании рис.3.1. можно сделать вывод, что момент инерции диска больше чем шара при одинаковых характеристиках  .

Cписок использованной литературы

1. Савельев И.В. «Курс общей физики»

. Трофимова Т.И. «Курс физики»

. Яворский Б.М., Пинтов А.А. «Основы физики»

. Волькенштейн «Сборник задач по общему курсу физики»

5. Чертов А.Г. «Задачник по физике»

. А.А. Пинский «Задачи по физике»

7. <http://www.physics.ru>

. <http://ru.wikipedia.org/>